1、第三章 基本初等函数（三角函数）3.1任意角三角函数一、知识导学1角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.2弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中是以作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3弧度与角度的换算：；1.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.4弧长公式、扇形面积公式：,其中为弧长，为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积
2、公式中当时的情形.5任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是.这六个函数统称为三角函数.6三角函数的定义域三角函数定义域RR7三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析1在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边
3、落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与角终边相同的角的集合表示.，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍.2值得注意的几种范围角的表示法“0间的角”指；“第一象限角”可表示为；“小于90的角”可表示为.3在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.4确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.5根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与的同名三角函数值相等；（2），故有，这是三角函数中最基本的一组不等关系.6在计算或化
4、简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲例1若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数是（）.A1 B.2 C.3 D.4错解： ，故选B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误正解：法1在中，在大角对大边，法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .例2已知角的终边关于轴对称，则与的关系为.错解：角的终边关于轴对称，+，（错因：把关于轴对称片认为关于轴
5、的正半轴对称.正解：角的终边关于轴对称 即说明：（1）若角的终边关于轴对称，则与的关系为（2）若角的终边关于原点轴对称，则与的关系为（3）若角的终边在同一条直线上，则与的关系为例3已知 ，试确定的象限.错解：，是第二象限角，即从而故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角.错因：导出是第二象限角是正确的，由即可确定，而题中不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.正解：，是第二象限角，又由知，故是第四象限角. 例4已知角的终边经过，求的值.错解：错因：在求得的过程中误认为0正解：若，则，且角在第二象限若，则，且角在第四象限说明：（1）给
6、出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.例5（1）已知为第三象限角，则是第象限角，是第象限角；（2）若，则是第象限角.解：（1）是第三象限角，即，当为偶数时，为第二象限角当为奇数时，为第四象限角而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.（2）因为，所以为第二象限角.点评：为第一、二象限角时，为第一、三象限角，为第三、四象限角时，为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.例6一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为，则扇形的弧长扇形的面积所以当时
7、，即时.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.例7已知是第三象限角，化简。解：原式又是第三象限角，所以，原式。点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.例8若角满足条件，则在第（）象限A.一B.二C.三D.四解：角在第二象限.故选B.例9已知，且.（1）试判断的符号；（2）试判断的符号.解：（1）由题意，所以.（2）由题意知为第二象限角，所以.四、典型习题导练1已知钝角的终边经过点，且，
8、则的值为 ）AB C D2角的终边与角的终边关于y轴对称，则为（ ）A.- B.- C.（2k+1）-(kZ) D.k-（kZ）3.若sintg0,kZ，则角的集合为（ ）A2k，2k + B.( 2k,2k+)C.( 2k，2k+) D.以上都不对4当0x时,则方程cos (cosx)=0的解集为( )A. B. C. D.5下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是( )A.cos3tg3ctg3sine B.sin3cos3tg3ctg3C.cot3tan3cos3sin3 D.sin3tan3cos3cot36已知x(0, ),则下面四式: 中正确命题的序号是 .si
9、nxxtgx sin(cosx)cosxcos(sinx)sin3x+cos3x1 cos(sinx)sin(cosx)cosx7有以下四组角：(1)k+；(2)k-；(3)2k；(4)-k+(kz)其中终边相同的是（ ）A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3) C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)8若角的终边过点(sin30，-cos30),则sin等于（ ）A. B. C. D.9函数y= 的定义域是_,值域是_.3.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1同角三角函数的基本关系式平方关系：；商数关系：；倒数关系： 同角三角函数的基本关系式可用图表示 （
10、1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系； （3）每个三角函数为相邻两函数的积.2诱导公式()角 函数正弦余弦记忆口诀函数名不变符号看象限函数名不变符号看象限 诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.3诱导公式解决常见题型 （1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数； （2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.二、疑难知识导析1三角变换的常见技巧 “1”的代换；，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式）；2在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般
11、思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.三、典型例题导讲例1已知_错解：两边同时平方，由得解得： 或解得：错因：没有注意到条件时，由于所以的值为正而导致错误.正解： 两边同时平方，有 求出例2若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a1,0b1，求tanA的值错解：由得tan A=tan B错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由 2+2得a2si
12、n2B+b2cos2B=1cos2B= sin2B= tan 2B=B为锐角 tan B= 得tan A=tan B=例3（05年高考重庆卷）若函数的最大值为2，试确定常数a的值.点评：本试题将三角函数“”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. 例4 （05年高考北京卷）已知=2，求 （1）的值； （2）的值解：（1） tan=2, ;所以=；（2）由(I), tan=, 所以=.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. 例5化简：错解：原式错因：对三角函数诱导公式不完
13、全理解，不加讨论而导致错误.正解：原式（1）当，时原式+=0（2）当，时原式+=0例6（05年高考江苏卷）若，则=（ ）A B C D错解：=12=错因：诱导公式应用符号错.正解：=1+2=.故选A.例7（05年高考福建卷）已知. （1）求sinxcosx的值； （2）求的值. 解法一：（1）由 即 又 故 （2） 解法二：（1）联立方程 由得将其代入，整理得 故 （2）点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.例8 (1)化简： +cos2csc2(2)设sin(+)=,且sin20求sin,tan解：原式= +cos2csc2
14、=cos2+sin2+cos2csc2=1+cot2=csc2(2)解：由sin(+ )=- cos=- sin202k22k+k0)的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）,又f(2+x)=f(2x),f(0)0,求这个函数的解析式.解：f(2+x)=f(2-x)f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）=6-2=4，即T=16，=.将N（6,0）代入f(x)=sin(x+j)得：sin(+j)=0， 得：j=2k+或j=2k+(kZ), f(0)0, j=2k+(kZ),满足条件的最小正数j=, 所求解析式f(x)=sin(x+).例8 已知ABC的周长为6
15、，成等比数列，求 （1）ABC的面积S的最大值； （2）的取值范围. 解 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b=ac，由余弦定理得,故有，又从而 （1）所以，即 （2）所以 ， 四、典型习题导练1.在RtABC中,C=90,则sinAcos2(45)-sincosA.有最大值和最小值0 B.有最大值但无最小值C.即无最大值也无最小值 D.有最大值但无最小值2.要得到y=sin2x的图像,只需将y=cos(2x-)的图像 ( )A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移3电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=的图像如图所示，则当秒时，电流强度是 安.4.在ABC中,sin=,则ABC的形状为 5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是 .6如果方程x2-4xcos+2=0与方程2x2+4xsin2-1=0有一根，互为倒数求值， 其中0.7. 如图，已知一半径为1，圆心角为的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积. 8在分别是角A、B、C的对边，设，求sinB的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
