1、向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如读作向量，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如，表示由到的向量. 为向量的起点，为向量的终点）.向量 （或）的大小叫做向量的模，记作（或）.注： 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； 长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的 注意与0的区别 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D ）A.浮力
2、B.风速 C.位移 D.密度例2 下列说法中错误的是（ A ）A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的例3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆2）向量坐标的有关概念 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为和. 将向量的起点置于坐标原点，作，则叫做位置向量，如果点的坐标为，它在轴和轴上的投影分别为，则 向量的正交分解 在中，向量能表示成两个相互垂直的向量、分别乘上实数后组成的和式
3、，该和式称为、的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对叫做向量的坐标，记为=.一般地，对于以点为起点，点为终点的向量，容易推得，于是相应地就可以把有序实数对叫做的坐标，记作=.3）向量的坐标运算：， 则.4） 向量的模：设，由两点间距离公式，可求得向量的模. 注： 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； 向量的模是个标量，并且是一个非负实数. 例4 已知点的坐标为，点的坐标为，且，求点的坐标. 解：点的坐标为 或 .例5 已知，求、的坐标. 解： 例6 设向量，化简：（1）；（2）.解：都为.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反
4、的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）.已知与为非零向量，若，则的充要条件是，所以，向量平行的充要条件可以表示为： 例7 已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标. 解：的坐标为 或 .3. 定比分点公式 1）定比分点公式和中点公式 是直线l上的两点，是l上不同于的任一点，存在实数，使=，叫做点分所成的比，有三种情况：(内分) 0 (外分) -1 (外分) -10 已知、是直线上任一点，且=.是直线上的一点，令，则，这个公式叫做线段的定比分点公式，特别地时，为线段的中点，此时，叫做线段的中点公式. 注： 可得； 当时，定比分点的坐标公式和显然都无意义，也就是说，当时，定比分点不存
5、在 2）三角形重心坐标公式设的三个点的坐标分别为，为的重心，则 例8 在直角坐标系内，点在直线上，且，求出的坐标. 解：当在上时，；当在延长线上，.例9 已知，是直线上一点，若，求点的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得.*方法提炼*几个重要结论1. 若为不共线向量，则，为以为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. ；3. 为的重心 【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则
6、终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ C ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中,正确的结论为（ D ）(
7、1)ab且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)ab且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|b|是ab的充分不必要条件A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4)4. 已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C分的比是- B.点C分的比是-3C 点C分的比是- D 点A分的比是25. 已知两点、，点分有向线段所成的比为，则、的值为（ C ）A ， B.， C ， D ，6. ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在
8、x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ A ）A (2，-7) B (-7，2) C (-3，-5) D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件. 答案：必要非充分8. 已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定 . 答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x= 答案：2或10. ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为 答案：(8,-4)11. 已知M为ABC边AB上的一点，且，则M分所成的比为 答案：【巩固提高】12. 已知点、，线段上的
9、三等分点依次为、，求、点的坐标以及分所成的比解：P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比1、2分别为-,-2 13. 过、的直线与一次函数的图象交于点，求分所成的比值 解：14. 已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：（，），（，），（，）15. 设是所在平面内的一点，,则（ B ） (A). (B). (C). (D). 16. 若平面向量满足平行于轴，则.17在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点若(4,3)，(1,5)，则等于()A(6,21) B(2,7)C(6，21) D(2，7)解析：选A.22()(6,4)，(2,7)，3(6,21)18. 已知O为坐标原点，向量若A,B,C三点共线，且，求实数的值19. 已知点A(3，0),B(-1，-6), P是直线AB上一点，且，求点P的坐标.20. 已知向量和，且，求的值。
