1、四川省木里县中学高三数学总复习 数列经典例题精析 新人教A版类型一：叠加法求数列的通项公式1.求分别满足下列条件的数列的通项公式.（1），； （2），.思路点拨: 分析（1）题的结构，可以判断数列是等差数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等差数列，但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解.解析：（1），数列是等差数列，且首项为，公差为 .（2）， 当时， ， ， ， 将上面个式子相加得到： （）， 当时，符合上式 故.总结升华：1. 在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是 关于的式子，则数列不是等差数列.2. 当数列的递
2、推公式是，可以利用叠加的方法求数列的通项公式.举一反三：【变式1】数列中，求通项公式.【答案】当时， ，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.【变式2】数列中，求通项公式.【答案】当时， ，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.类型二：叠乘法求数列的通项公式2.求分别满足下列条件的数列的通项公式.（1），； （2），.思路点拨: 分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以利用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（叠乘法）求解.解析：（1），数列是等比数列，且首项为，公比为 .（2）， 当时， ，
3、将上面个式子相乘得到： ， （）， 当时，符合上式 故.举一反三：【变式1】数列中，求通项公式.【答案】时，当时，符合上式【变式2】已知数列中，（nN+），求通项公式.【答案】由得， ，当时， 当时，符合上式类型三：变形为新的等差、等比数列求通项公式3.已知数列中, ()，求的通项公式.解析：方法一：()， , , 令，则， 是首项为且公比为的等比数列， , 方法二： ， -得: 成等比数列且公比为，首项， , 当时 . 当时，符合上式 总结升华：第一种解法通过两边同加一个数成为一个新的数列，这个新数列成等比数列.一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化
4、为求等比数列的通项，第二种方法利用了递推关系式的累差法.这两种方法均是常用的方法.举一反三：【变式1】已知数列中，求【答案】， ，令，则是首项为公比为的等比数列，【变式2】已知数列中，求【答案】令，则，即，为等比数列，且首项为，公比，故4数列中，,，求.思路点拨:对两边同除以得即可.解析：，两边同除以得， 成等差数列，公差为，首项， ，.总结升华：两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.举一反三：【变式1】数列中，,，求.【答案】， ，成等差数列，公差为，首项， ，.
5、【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，则，即，数列是以为首项，3为公比的等比数列，.。类型四：与的关系式的综合运用5.数列满足，（1）用表示 ；（2）证明：数列是等比数列；（3）求和的表达式.思路点拨: 由推出和，要证明是等比数列，只需利用定义证明是常数，这需要探求与的关系，再由等比数列的前n项和反过来求或直接利用关系式求.解析：（1）， 当时，即 当时 , ， 所以.（2）证明：,，显然, （常数）， 所以数列是等比数列，首项为，公比.（3）由（2）知：是以2为公比的等比数列，首项为， ，即， , 方法一： 方法二：数列的前n项和： ， 即， . 方法三：， .总
6、结升华： 1. 把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通 项公式求出递推数列的通项公式.2. 正确掌握和理解和之间的关系是解这类题目的关键.举一反三：【变式1】已知数列，（1）设，证明是等比数列并求；（2）设,证明是等差数列并求.（3）求数列的通项公式.【答案】(1) ,当时，当时，即(),数列是等比数列，首项为,公比为.(2) 由(1)知: ,.,即，即,数列为首项,公差为的等差数列.(3) 由（2）知：，所以【变式2】在数列中，若存在常数，使得对任意的正整数，均有成立.（1）求的值；（2）求证是等差数列.【答案】（1）由已知得， 又，得或. 若
7、，则当时，即，得， 这与已知矛盾， 当时，得， ，.（2）由（1）知， ， 解得，即. 所以， 即. 又因为（常数）， 所以数列成等差数列.类型五：应用题6. 某单位用分期付款的方式购买一套设备，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款后的第10个月应该付多少钱？全部贷款付清后，实际花了多少钱？解析：因购设备时已付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付清， 则每次付款的数额顺次构成数列， (万元) (万元) (万元) (万元) (,) 数列是首项为，公差为的等
8、差数列. (万元)，(万元) 20次分期付款总和为：(万元),实际共付1105+150=1255(万元) 答：第10个月付55.5万元，实际花1255万元.总结升华：存款、贷款与人民的生活休戚相关，解决此类问题常常转化为数列求解.7. 一工厂为提高产品质量、扩大再生产，需要征地、扩建厂房、购置新机器设备、改造旧设备、培训职工，因而需要大量资金.已知征地、农户拆迁费需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及培训职工需15万元，而该厂现有资金125万元，但流动备用资金需40万元，厂内干部30人每人投资4000元，工人180人每人投资1000元(不计利息在每年年底利润中分红
9、)，尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按照年利率9%的复利计算，若从次年年底开始分5年平均还清贷款及全部利息，那么该厂平均每年需还贷款多少万元(精确到0.1万元).思路点拨:本题涉及资金有以下几个方面：(1)扩大再生产急需资金40+100+60+15+40=255(万元)(2)已筹集资金125+0.430+0.1180=155(万元)(3)需向银行贷款255-155=100(万元)(4)还款情况分析： 向银行贷款100万元从次年年底起5年后若一次还清应为100(1+0.09)5(万元) 根据该厂的实际情况实行分期付款从次年年底算起，连续5年每年向银行还相同的贷款，到第5年底还完.解析：设该
10、厂平均每年需还贷款x万元，则 第1年年底还款x万元到第5年年底应为x1.094(万元)； 第2年年底还款x万元到第5年年底应为x1.093(万元)； 第3年年底还款x万元到第5年年底应为x1.092(万元) 第4年年底还款x万元到第5年年底应为x1.09(万元) 第5年年底还款x万元仅本金x(万元) 于是得方程x(1.094+1.093+1.092+1.09+1)=1001.095 所以 =1001.095 由计算器可计算得x25.7(万元).总结升华：分期付款问题可视作分期存款，即从次年年底每年存款x万元，按规定的利率，求得n年的本利和，然后向银行一次付清，这样就构成了以x万元为首项，1.0
11、9为公比的等比数列求前n项之和，从而列出方程，求出x.举一反三：【变式1】一个家庭为了给孩子将来上大学付学费，从孩子一出生起，每年到银行储蓄一笔钱，假设大学四年学费共需1万元，银行储蓄利率为月息4.725，每年按复利计算，为了使孩子到18岁上大学时本利共有1万元，他们每年要存入多少钱？（精确到1元）【答案】设每年存入a元，n年后本利和为. 从0岁到17岁共往银行存入18笔钱，故本利和为. 所以， 利用计算器，解得. 故每年需存款316元.【变式2】国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2001年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增。（1）试问从2001年
12、底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？（1.128=2.476，1.127=2.211）（精确到年）（2）为支持退耕还林工作，国家财政从2002年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元。试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？（精确到亿元）【答案】（1）设从2001年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，an，万亩。 则a1=515(1+12%)，a2=515(1+12%)2，an=515(1+12%)n， 5151.12(1.12n1)=58550.12，即1.12n=2.218。 又nN*，当n=7时，1
13、.127=2.211，此时完不成退耕还林计划， n=8 故到2009年底西部地区才能完成退耕还林计划。（2）设才政补助费为W亿元，则 W=(3000.7+20)(6370515)104=134.7（亿元）， 故西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付134.7亿元。【变式3】某国产名牌彩电，每月销售量为a台，改进技术的新产品投放市场后预计第一月销售量的增长率为200，以后每月销售量的增长率为前一个月的一半.(1)当新产品投放市场3个月后，预计新产品的月销售量是老产品的多少倍？(2)由于国外企业参与竞争，国产新彩电实际月销售的增长率比预计减少10，那么经过多少个月后，国产新彩电实际月销售量达到最大？最大月销售量是老产品的多少倍（结果保留小数点后一位）？【答案】（1）设n个月后新彩电销量为，则 故三个月后预计国产彩电月销售量是老产品的9倍.（2）由于国外进口彩电参与竞争，实际月销售量的增长率比预计减少10，故 因为数列是一个单调递减数列， 要使取得最大值，只要，又 ，则 即经过5个月国产彩电实际月销售量达到最大，最大月销售是老产品的9.1倍14
