1、“点差法”巧解椭圆中点弦题型1、 重要结论及证明过程在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则. 证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又 同理可证，在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.二、典型例题1 、设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程； （2）的最大值和最小值.2 、在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别
2、为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.3、已知椭圆（0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.() 求椭圆的标准方程；() 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.4 、已知椭圆（0）的离心率为，过右焦点F的直线与C相交于A、B两点. 当的斜率为1时，坐标原点O到的距离为.（1）求的值；（2）C上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点P的坐标与的方程；若不存在，说明理由.5. 椭圆C的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于
3、A、B两点，使A、B两点关于直线对称，求的值.“点差法”巧解双曲线中点弦题型2、 重要结论及证明过程 在双曲线（0，0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则. 证明过程和椭圆证法相同（略）同理可证，在双曲线（0，0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.二、典型例题1. 已知双曲线，过点作直线交双曲线于A、B两点.（1）求弦AB的中点M的轨迹; （2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线的方程和弦AB的长.2.设A 、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分
4、线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？3、双曲线C的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的准线为右准线.（1）求双曲线C的方程；（2）设直线与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线对称，求的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型3、 重要结论及证明过程（略）在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.同理可证，在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.二、典型例题1、设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（）当时，求直线的方程.（理）当直线的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围.2. 已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.yO xMBNA 6
