1、 等腰三角形1如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q（1）求证：（2）求的度数（3）求证：【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明，从而得到（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即 在和中， ， （2）由（1）知， ， 即（3）在和中， ， ， 又， ， 即， 【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转
2、变换的三角形全等2如图，在中,，的平分线AM的长15，求BC的长【分析】由AM平分，可得，则，所以在中，可得，由，可求出BC的长 解：在中，AM平分，在中，【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法3如图，求证：【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明证明：延长CE、BA交于点F，在和中，即，在和中，【点拨】（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线4如图，A
3、BC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G求证：DG=GE 【分析】由于ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论证法1：过D作DFAC，交BC于F（如图） DFB=ACB 又AB=AC， B=ACB B=DFB DB=DF CE=BD(已知)， DF=CE 又DGF=CGE，GDF=E， DFGECG（AAS） DG=GE证法2：过E作EMAB交BC延长线于M B=M 又AB=AC， B=ACB 又ACB=ECM， M=ECM EC=EM CE=BD(已知)
4、， EM=BD 在BDG与MEG中， BDGMEG（AAS） DG=GE【点拨】（1）本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE条件，构造新的 等腰三角形来寻求结论（2）本题在推证含DG、GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的 地方，主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边5已知：如图，ABC中，AB=AC，A=36，仿照图（1），请你再设计两种不同的方法，将ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（如图（1）（2）图(2)（3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每
5、个等腰三角形三个内角的度数）【分析】由于所给三角形是一个含36的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36，72，108等为内角的等腰三角形即可解：本题显然应有多种结果，现提供3种，以供同学们参考，如图中（2）、（3）、（4）；【点拨】像本例这种图形的分割问题的求解，一方面应把握原图形的特征，借助经验予以解决，另一方面还应大胆尝试，在操作中获得结果6如图，在一个宽度为的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时，Q点离地面的高度为c，此时梯子与地面的夹角为将梯子顶端放于对面一堵墙上R点，离开地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为可知，为什么？【分析】由，可知，又，可知为等边三角形，则，可推得 证明：连接RQ、RB，又，为等边三角形，在中，在线段PQ的垂直平分线上，在中，在中，即
