1、第十二章轴对称 课题：12.1轴对称（第一课时）（一）轴对称图形1、做一做把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？2、看一看，想一想细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？3、归纳：轴对称图形定义：如果一个图形沿一条 折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。4、补充练习： 下列各图，你能画出它们的对称轴吗？ （二）轴对称1、归纳：轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是对称轴，两个图形中
2、的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。2、练习：标出下列图形中的对称点(三) 关于某条直线成轴对称的图形的性质特征1、归纳：成轴对称的两个图形全等如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？区别: 轴对称是说 个图形的位置关系,轴对称图形是说 个具有特殊形状的图形。 联系：都能沿着某条直线 。这条直线是对称轴。如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形当堂检测题：1、下面给出的每幅图中的两个图案是轴
3、对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点2、下列图形中，是轴对称的图形的个数是 （ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）43、下面的希腊字母中, 是轴对称图形的是（ ） A B C D4、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）课题：12.1轴对称（第二课时）（一）轴对称的性质1、如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点ABC分别是点A、B、C的对称点，线段AA、BB、CC与直线MN有什么关系？（1）设AA交对称轴MN于点P，将ABC和ABC沿MN折叠后，点A与A重合吗？于是有PA ，MPA （2）对于其他的对应点，如点B、B，C、C也有类似的情况吗？ （3）那么MN与线段AA，
4、BB，CC的连线有什么关系呢？ 2、垂直平分线的定义：经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 。（二）线段垂直平分线的性质1、归纳，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的 与这条线段 的距离 2、思考：反过来，如果PAPB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？3、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上（三）应用1、如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到
5、的图案是（ ）2、如下图，ADBC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？3、如下图，AB=AC，MB=MC直线AM是线段BC的垂直平分线吗？4、ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE3cm，ABD的周长为13cm，求ABC的周长。5、已知，如图1,正方形ABCD中过点B的一条直线L交AD于M，过正方形的其他三个顶点向此直线L做垂线段AE、CG、DF，垂足为E、G、F.求证：AE+DF=CG（1）当直线L顺时针旋转与CD相交于M点时，（如图2）AE、GC、DF又有怎样关系？请直接写出结论.（2）当直线L继续顺时针旋转（如图3），此时
6、AE、GC、DF又有怎样关系？请直接写出结论. 课题：12.1轴对称（第三课时）一、知识回顾1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连 的 线二、学习新知归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的 的 线，就可以得到这两个图形的对称轴应用1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?2、已知线段AB，作出它的垂直平分线CD，并拼出线段的中点O.3、如图，在五角星上作出一条对称轴（三）当堂检测题：1、画出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?2、如图，角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴3、如图，与图形A成轴对称的是
7、哪个图形?画出它们的对称轴4、线段、角、三角形、等腰三角形、直角三角形、等边三角形是否是轴对称图形?如果是，画出图形，以及它的对称轴，并指出各有几条对称轴。5、等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是 ，它共有 条对称轴；最少的是 ，有 条对称轴。6、把下列图形补成以l为对称轴的轴对称图形。7、下列说法中，错误的是( ) A.线段有两条对称轴 B.直角有一条对称轴C.等边三角形有三条对称轴 D.任何直角三角形都没有对称轴8、下列图形都是轴对称图形，试作出它们所有的对称轴。9、如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半轴对称与轴对称图形练习题一、判断题(4分6
8、=24分)( )1.全等的两图形必关于某一直线对称.( )2.关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.( )3.等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.( )4.若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称则两个三角形关于该直线轴对称.( )5.轴对称图形的对称轴有且只有一条.( )6.正方形的对称轴有四条.二、选择(5分6=30分)1.ABC中C=Rt，有一点既在BC的对称轴上，又在AC对称轴上，则该点一定是( )A.C点 B.BC中点 C.AC中点 D.AB中点2.在角、线段、等边三角形、钝角三角形中，轴对称图形有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.下列说法正确的是( )A.等边
9、三角形只有一条对称轴 B.等腰三角形对称轴为底边上的高C.直线AB不是轴对称图形 D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线4.下列图不是轴对称图形的是( )A.圆 B.正方形 C.直角三角形 D.等腰三角形5.O为锐角ABC的C平分线上一点，O关于AC、BC的对称点分别为P、Q，则POQ一定是( )A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形6.下列各命题的逆命题成立的是( )A.若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线B.两图形若关于某直线对称，则两图形全等.C.等腰三角形是轴对称图形 D.线段对称轴有二条三、填空(5分6=30分)1.两图形关于直线对称，则
10、两个图形一定 .2.若两图形关于直线对称，则图形上的对应点连线段被对称轴 .3.等边三角形的对称轴有 条.4.轴对称图形是对 个图形而言的，而轴对称是对 个图形而言的.5.两图形关于某直线对称，若它们的对应线段相交，交点必在 上.6.线段的对称轴除了它的中垂线外，还有 .四、解答(8分2=16分)1.如图3.15-7，线段AB的对称轴为直线MN.P、Q在MN上，求证PAQPBQ.2.已知MON=40，P为MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当PAB的周长取最小值时，求APB的度数.5.草原上两个居民点A、B在河流l的同旁(如图3.15-10)汽车从A点出发到B，途中需要到河边加水，
11、汽车在哪一点加水，可使行驶路程最短，在图中画出该点.课题：12.2.1作轴对称图形一、作轴对称图形1、 复习回顾：线段公理；垂直平分线的性质。2、 自己动手在一张半透明的纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么?改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么?归纳：(1) 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的、_完全相同； (2)新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线l的_； (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴_。3、把图1补成关于直线l对称的图形ABl图2l图1归纳： 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴
12、的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。二、合作探究：1、如图2，如何在直线l上找一点P，使线段PA与PB的和最小？aaa2、把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。l3、把图中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的图案。4、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。5、 城北中学八班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO
13、)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。BC 。.D. 。.OA6、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。课题：12.2.2用坐标表示轴对称一、知识回顾1、已知ABC，求作ABC，使它与ABC关于直线l成轴对称二、学习新知（一）关于x轴、y轴对称的点的坐标特点1、探索：在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？已知
14、A(2，3)B（1，2）C（3，5）D（2，1）E（4，0）关于x轴对称A( )B( )C( )D( )E( )关于y轴对称A( )B( )C( )D( )E( )3、归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的作标是 ；点（x，y）关于y轴对称的点的作标是 （二）应用1、如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（5，1），B（2，1），C（2，5），D（5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形归纳：对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。2、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标（3，
15、6）（-7，9）（-3，-5）（6，-1）（0，10）关于x轴对称的点关于y轴对称的点3、将一个点的纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的位置关系是 ；将一个点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到的点与原来的点的位置关系是 。4、已知点A（m+2，3）、B（-5，n+6）关于y轴对称，则m= ，n= 5、若点P（a，3）和P1（2，b）关于x轴对称，则方程ax+b=0的解为 。6、已知点A(2m+1，m-3)关于y轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是 。7、若3a-2+(b+3)2=0,点A（a，b）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，则点C的坐标是 。8、（1）请画出关
16、于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）；（2）直接写出三点的坐标（3）ABC的面积为 y12O1-1ABC9、若点P(a，b)、Q(c，d)两点关于直线x=2对称，则a、c间的关系是 ，b、d间的关系是 ；若点P(a，b)、Q(c，d)两点关于直线y= 2对称，则a、c间的关系是 ， b、d间的关系是 课题：12.3.1等腰三角形（第一课时）一、导入：1、复习回顾：.三角形全等的判定方法 .有两条边相等的三角形，叫叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角2、用剪刀剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么
17、？3、将2中的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形的哪些性质？性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“ ”）；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（简写成“ ”）你能证明这两个性质吗？4、填空：如图1，在ABC中AB=AC，BAD=CAD BD = ， 。ACBD图1AB=AC，BD=CD BAD= ， .AB=AC，ADBC BAD= ， BD= . 二、合作探究1、如图2，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.图2DCBA求ABC各角的度数。.2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形
18、顶角的度数为 。3、如图3，在ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE.图3EDCBA求证：BD=CE图4EDCBAM4、如图4，AB=AE，BC=DE,B=E,AMCD，垂足为点M求证：CM=DM 5、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为 。图5BFDAEC6、如图5，在ABC中，AB=AC，A=30o，BF=CE，BD=CF，求DFE的度数。7、（1）等腰三角形的一个角是110，它的另外两个角的度数是 （2）等腰三角形的一个角是80，它的另外两个角的度数是 8、如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数9、如图，AD/BC，CA平分BCD，
19、D=1100，并且AB=AC，求BAC的度数。ADBC10、等腰三角形ABC中，A=36 ，B=72 ，C=72 ，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角形ABC分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？图2DCBA课题：12.3.1等腰三角形（第二课时）一、 导入1、复习回顾：等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定2、用直尺和量角器画ABC，使B=C，再用刻度尺量一量线段AB、AC的长，你有什么发现？猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等。3、你能验证2中的猜想吗？已知：如图 在ABC中，B=CCBA求证：AB=AC 等
20、腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等（简写成：等角对等边”）。4、 等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？区别： 联系：二、 合作探究1.如图，AC和BD相交于点O，且ABDC，OC=OD，ABCDO求证：OA=OB2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。3.如图，在ABC中，AB=AC，B=36O，D、E是BC上的两点，且ADE=AED=2BAD，则图中的等腰三角形共有（ ）个。DCBAEDCBAA.3个 B.4个 C.5个 D.6个4.如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点O，过点O作EFBC，交AB
21、于点E，交AC于点FACBFEO求证：EF=EB+FC.5.如图，ADBC，BD平分ABC 求证：AB=AD6.如图，AB，CEDA，CE交AB于E，求证CEB是等腰三角形课题：12.3.1等边三角形（第一课时）一、知识回顾1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的 相等（2）等腰三角形 、 、 互相重合2、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，即 叫等边三角形。二、学习新知（一）等边三角形的性质和判定方法1、思考：（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？（3）你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边
22、三角形吗？2、归纳：（1）等边三角形的性质：等边三角形的 （2）等边三角形的判定： （二）应用1、如图，ABC是等边三角形，DEBC，交AB，AC于D，E，求证：ADE是等边三角形。2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。三、总结四、作业1、如图，ABD，AEC都是等边三角形，求证BEDC2、如图，ABAC，A40，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求DBC的度数。3、如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，BDE=CDF=60，图中有哪些与BD相等的线段？ 4、如图，ABC是等边三角形，B和C的平分线相交于D，BD、CD的垂直平分线分别
23、交BC于E、F，求证：BE=CF课题：12.3.1等边三角形（第二课时）一. 导入1. 复习回顾：等边三角形的性质与判定2. 问题：用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由3. 由2你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗？4. 由3，我们得到下面的性质定理：CBA在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。5. 填空：如右图，在ABC中，C=90o，A=30o BC= （ ） 二. 合作探究：1. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点
24、，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BC、DE要多长？2. 等腰三角形的底角为15，腰长为2a，则腰上的高为 。3. 已知：如图，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30 求证：BD=ABPFEDCBA4. 如图，ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BFAE于点F求证:BP=2PF 5已知：如右图，P、Q是ABC的边BC上的两点，并且PBPQQCAPAQ.求BAC的大小6如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P(1). 运动几秒后，ADE为直角三角形？（2）.求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点。 (提示：过点D作AF的平行线)PDCBAEF16
