1、 高考解析几何专题 “平面直线的方程”高考要求分析【知识点1】 直线的点法向式方程和点方向式方程【考试要求】掌握直线的点法向式方程和点方向式方程,认识坐标法在建立形与数关系中的作用。【解读说明】掌握两种题型,一是利用点法向式方程和点方向式方程解决求直线方程问题;二是会根据一般式方程求直线的法向量和方向向量。【举例说明】1、 已知点和点是三角形的三个顶点,求AC边的垂直平分线的方程。【解析】所求直线的法向量是,利用点法向式求直线方程。【答案】2、 求过点且以直线的法向量为方向向量的直线方程。【解析】根据一般式方程求直线的法向量(3,-2),再利用点方向是方程求直线方程。【答案】 3、过抛物线的焦
2、点,方向向量为的直线的一个点方向式方程是 【解析】先根据抛物线方程求焦点坐标,然后写出点方向式方程。注意方程形式。 【答案】【知识点2】直线的一般式方程【考试要求】会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义;懂得二元一次方程的图形是直线。【解读说明】能够根据一般式方程求直线法向量和方向向量,再就是会求直线的斜率及画直线。【举例说明】1、 写出直线的一个方向向量和一个法向量。 【答案】2、 光线由射到直线上,反射后过点,求反射光线所在直线的方程。 【解析】根据物理原理,反射光线经过点Q和点P关于直线的对称点,所以只需求出这个对称点,然后根据两点坐标求直线方程。 【答案】【知
3、识点3】直线的倾斜角与斜率【考试要求】掌握点斜式方程【解读说明】首先掌握直线倾斜角和斜率的概念和关系,会根据斜率求倾斜角或根据倾斜角求斜率,重点掌握利用点斜式求直线方程。【举例说明】1、 直线的倾斜角是 【答案】 2、求过点,且倾斜角为的直线方程。【答案】【知识点3】两条直线的平行关系与垂直关系【考试要求】会通过直线方程判断两条直线平行或垂直。利用直线的法向量(或方向向量)讨论两条直线具有平行关系或垂直关系时,它们的方程应满足的条件。【解读说明】教材上通过行列式的计算去判断直线的位置关系,避免了讨论斜率存在和不存在的情况。【举例说明】1、 若直线平行,则_ 【答案】-12、 当为何值时,三条直
4、线,不能构成三角形? 【答案】 3、已知点P(-1,1)和点Q(2,2),若直线:与线段PQ不相交,则实数的取值范围是 。【答案】 【知识点4】两条相交直线的交点与夹角【考试要求】会求两条相交直线的交点坐标与夹角。【解读说明】会利用夹角公式求直线方程。求方程时也要注意直线斜率存在和不存在的情况。【举例说明】1、 直线,若与的夹角为,则 【答案】0或 2、等腰直角三角形斜边所在直线方程为,直角顶点为C(4, 1),求两条直角边所在直线方程。【答案】或【知识点5】点到直线的距离【考试要求】掌握点到直线的距离公式。【解读说明】点到直线距离公式在解决圆与直线位置关系问题是会用到,会灵活应用距离公式。【
5、举例说明】1、 已知直线,则的最小值为 【答案】2、 与直线平行且距离为的直线方程为 【答案】-1或7 3、经过点(2, 1),且与原点相距的直线方程为 【答案】-1或-7 4、已知两条平行线并且各自绕着A、B旋转始终保持平行,若间的距离为d,则当d取得最大值时直线的方程为 【答案】 5、若直线被两平行线与所截得线段的长为,则直线的倾斜角是 . 【答案】 或 “曲线方程”高考要求分析【知识点6】曲线方程的概念【考试要求】理解曲线方程的概念,以简单的几何轨迹问题为例,会求曲线方程的一般方法和步骤,知道适当选取坐标系的意义,会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点。形成通过坐标系建立曲线的方
6、程、再用代数方法研究曲线性质的基本思想。【解读说明】掌握求曲线方程的几种类型,重点掌握结合后面圆锥曲线的定义求曲线的轨迹方程。对于求轨迹的一般方法也要会用,一般步骤:建 设 现 代 化。【举例说明】 1、下列四组方程中, 组表示同一曲线 A. 与 B. 与 C与 D. 与 【答案】D 2、若曲线与有两个不同的交点,则 A. B. C. D. 【答案】B 3、一动点到点的距离是它到点的距离的2倍,则此动点的轨迹方程是 【答案】 4、已知实数成等差数列,点在直线上的射影是Q,则Q的轨迹方程是_。 【答案】 5、在平面直角坐标系中,定义点之间的“直角距离”为。若到点的“直角距离”相等,其中实数满足,
7、则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 【答案】 6、已知曲线C:和定点A(3,1),B为曲线C上任意一点,若,当点B在曲线C上运动时,求点P的轨迹方程。 【解析】两个动点问题,其中一个在已知曲线上动,利用代换法求轨迹方程。【答案】7、 已知定圆A:和定圆B:,有一动圆C,与圆A内切,与圆B外切,求动圆圆心C的轨迹方程。【解析】利用椭圆的定义求动点轨迹方程。【答案】8、 已知椭圆C:,分别为椭圆的左右焦点,P为椭圆上任意一点,过右焦点做外角平分线的垂线,垂足为点T,求动点点T的轨迹方程。 【答案】 9、已知平面上的线段及点,任取上一点,线段长度的最小值称为点到线段的距离,记作.(1)求点到线段的
8、距离;(2)设是长为2的线段,求点的集合所表示图形的面积;(3)写出到两条线段距离相等的点的集合,其中,是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种,满分分别是2分,6分,8分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分. ,. ,. ,.【答案】解:(1)设是线段上任一点,则. 当时,. (2)不妨设、为线段的两个端点, 则为线段、线段、半圆、半圆所围成的区域. 这是因为对,则;而对,则;对,则. 于是所表示的图形面积为. (3) 选择,. 选择, 选择,. 【知识点7】圆的标准方程与一般方程【考试要求】以直线与圆的位置关系为例,体验用代数方法研究几何问题的思想方法。掌握圆的标准方
9、程与一般方程。【解读说明】会根据圆的一般式方程求圆心,半径及画图,会解决圆与直线位置关系问题,重点是相切的问题,如求切线方程。【举例说明】1、 直线被圆所截得的弦长为 【答案】2、 以为圆心,且与直线相切的圆的方程为 【答案】 3、已知实数满足,(1)求的最大值;(2)求的范围;(3)求的最小值。 【答案】 4、已知为圆的两条互相垂直的弦,交于点,求四边形面积的最大值。 【答案】 5 5、方程为的曲线上任意两点之间距离的最大值为 . 【答案】【知识点8】椭圆的标准方程与几何性质【考试要求】掌握椭圆的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在x轴上椭圆的标准方程。【解读说明】掌握椭圆的定义和方程,会求椭
10、圆的方程,椭圆的性质掌握两类题型,一种是利用性质求方程,一种是利用性质解决最值问题和一些综合问题。【举例说明】1、 若椭圆的两个焦点为,椭圆的弦AB过点,且的周长为12,那么该椭圆的方程为 【答案】2、 设椭圆的标准方程为,若其焦点在x轴上,则的取值范围是 【答案】 3、求与椭圆有相同焦点,且经过点的椭圆方程。 【答案】 4、 在椭圆内有一点,弦AB的中点恰为点M,求弦AB所在直线的方程。 【解析】中点弦问题的点差法。 【答案】5、 若点M是椭圆上的一点,是焦点,若,求的面积。 【解析】 【答案】 6、已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上的任意一点,则的最大值是_ 【解析】椭圆定义和基本不等式的综合
11、应用。 【答案】 25 7、已知椭圆:(),其左、右焦点分别为、,且、成等比数列(1)求的值(2)若椭圆的上顶点、右顶点分别为、,求证:(3)若为椭圆上的任意一点,是否存在过点、的直线,使与轴的交点满足?若存在,求直线的斜率;若不存在,请说明理由 【答案】解:(1)由题设及,得(4分)(2)由题设,又,得,于是,故(3)由题设,显然直线垂直于轴时不合题意,设直线的方程为,来源:Zxx得,又,及,得点的坐标为,因为点在椭圆上,所以,又,得,与矛盾,故不存在满足题意的直线 8、已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为,焦点坐标分别为,。(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知,是椭圆C上异于、的任意一点,直线
12、、分别交y轴于、,求的值;(3)在(2)的条件下,若,且,分别以OG、OH为边作两正方形,求此两正方形的面积和的最小值,并求出取得最小值时的G、H点坐标。 【答案】 解:(1)、 所以椭圆C的标准方程为。 (2)设,直线 令x=0,得:,网所以:=, (3), 又 两正方形的面积和为当且仅当时,等式成立。两正方形的面积和的最小值为10,此时G、H。9、已知椭圆,常数、,且(1)当时,过椭圆左焦点的直线交椭圆于点,与轴交于点,若,求直线的斜率;来源:Z,xx,k.Com(2)过原点且斜率分别为和()的两条直线与椭圆的交点为(按逆时针顺序排列,且点位于第一象限内),试用表示四边形的面积;来源:学_
13、科_网Z_K(3)求的最大值【解析】利用函数单调性解决圆锥曲线中的最值问题。【答案】解(1) 设满足题意的点为, (2) 设点A联立方程组于是是此方程的解,故 (3) 设,则 理由:对任意两个实数 来源:网,于是 10、已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形。(1)求椭圆方程;(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点。证明:为定值;来源:学|科|网(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。 【答案】 解:(1),椭圆方程为。(2),设,则。直线:,即代入椭圆
14、得。,。,(定值)。(3)设存在满足条件,则。,则由得 ,从而得。 存在满足条件。【知识点9】双曲线的标准方程与几何性质【考试要求】掌握双曲线的标准方程和几何性质。重点讨论焦点在x轴上的双曲线的标准方程。【解读说明】掌握双曲线的定义和方程,对于双曲线的性质,首先要掌握双曲线的渐近线相关题型,根据渐近线去双曲线方程,再就是根据范围解决最值问题。【举例说明】1、 等轴双曲线的左焦点为F,若点P为左下半支上任意一点(不同于左顶点),则直线PF的斜率的取值范围是 【答案】2、 求与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的方程。 【解析】考查双曲线的渐近线,掌握共渐近线问题的解决思路。 【答案】3、 在
15、中,已知,顶点A为动点,且满足,求动点A的轨迹方程。【答案】4、 斜率为2的直线被双曲线所截得的弦长为4,求直线的方程。 【答案】 5、设双曲线的半焦距为已知原点到直线:的距离等于,则的最小值为_ 【答案】 4 6、若经过点且以为方向向量的直线与双曲线相交于不同两点、,则实数的取值范围是 . 【答案】7、已知双曲线C:的一个焦点是,且。(1)求双曲线C的方程;(2)设经过焦点的直线的一个法向量为,当直线与双曲线C的右支相交于不同的两点时,求实数的取值范围;并证明中点在曲线上。(3)设(2)中直线与双曲线C的右支相交于两点,问是否存在实数,使得为锐角?若存在,请求出的范围;若不存在,请说明理由。
16、【答案】解:(1) 。 (2) 由得 由 得 即 设,则 来源:Zxxk 。 x#(3), , 因为 即 , 【知识点10】抛物线的标准方程与几何性质【考试要求】掌握抛物线的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在x轴上抛物线的标准方程。【解读说明】掌握抛物线的定义和方程,会解决直线和抛物线的综合问题。【举例说明】1、 若抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离等于5,则p= 【答案】42、 经过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB,则AB的长为 【答案】3、 若动点P到点的距离比到直线的距离少1,则动点P的轨迹方程是 【答案】 4、设抛物线上一点到该抛物线准线与直线的距离之和为,若取到最小值,则点的坐标为
17、. 【答案】 5、设常数,对, 是平面上任意一点,定义运算“”:, ,.(1)若,求动点的轨迹C;(2)计算和,并说明其几何意义;(3)在(1)中的轨迹C中,是否存在两点,使之满足且?若存在,求出的取值范围,并请求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)由可知:,所以轨迹C为抛物线在第一象限内的部分,包括原点;(2), 分别表示P点到原点和到直线的距离;(3)设若存在为,则由且得,即, 即,所以的两个根.要使存在,必须,即, 所以必须.当时,由于,即.或设,由得介于之间,即.所以=。 6、如图,平面上定点到定直线的距离,为该平面上的动点,过作直线的垂线,垂足为,且来(1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点的轨迹的方程;(2)过点的直线交轨迹于、两点,交直线于点,已知,求证:为定值【答案】(1)方法一:如图,以线段的中点为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系则, 设动点的坐标为,则动点的坐标为, 由,得,方法二:由得,所以,动点的轨迹是抛物线,以线段的中点为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系,可得轨迹的方程为:(2)方法一:如图,设直线的方程为,则. 联立方程组消去得,故 由,得,整理得,.方法二由已知,得. 于是, 如图,过、两点分别作准线的垂线,垂足分别为、,则有 由,得谢谢大家!