1、第1讲 二次根式的性质和运算考点方法破译1了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典考题赏板【例】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. B. C. D.【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：被开方式中不能含分母；被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.；，最简二次根式是（）A, B,C, D,【例】(黔东南)方程，
2、当y0时，m的取值范围是（ ）A0m1 Bm2Cm2 Dm2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x80，xym0.化为y2m，则2m0，故选C.【变式题组】2（宁波）若实数x、y满足，则xy的值是_.3（荆门）若，则xy的值为（ ）A 1 B1C2 D34（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）Ax3 Bx3Cx4 Dx3且x45.（怀化），则abc_.【例】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A BC D【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A； B不能化简；C.；D，而.故
3、本题应选D.【变式题组】6如果最简二次根式与是同类二次根式，则a_7在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A和 B和C和D和8已知最简二次根式和是同类二次根式，则a_，b_.【例】下列计算正确的是（ ）A BC D【解法指导】正确运用二次根式的性质； ； 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. .故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ）A BC D10计算：_11_12(济宁)已知a为实数，那么（ ）Aa Ba C1 D013已知ab0，ab6，则的值为（ ）A B2CD【例】已知xy0，化简二次根式的正确结果为（ ）A BCD 【解法指导
4、】先要判断出y0，再根据xy0知x0. 故原式.选D.【变式题组】14已知a、b、c为ABC三边的长，则化简的结果是_.15观察下列分母有理化的计算：，算果中找出规律，并利用这一规律计算：_.16已知，则0x1，则_.【例】（辽宁）先化简吗，再求值：，其中，.已知，那么代数式值为_.【解法指导】对于，先化简代数式再代入求值；对于，根据已知数的特征求xy、xy的值，再代入求值.【解】原式，当，时，ab1，ab,原式.由题意得：xy1，xy10, 原式.【变式题组】17（威海）先化简，再求值：(ab)2(ab)(2ab)3a2，其中,.18（黄石）已知a是的小数部分，那么代数式的值为_.【例】已知
5、实数x、y满足，则3x22y23x3y2007的值为（ ）A2008B2008C1D1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a、b的关系，再代入求值.解:，由以上两式可得xy., 解得x22008，所以3x22y23x3y20073x22x23x3x2007x220071，故选D.【变式题组】19若a0，b0，且，求的值.演练巩固反馈提高01若，则估计m的值所在的范围是（ ）A1m2 B2m3C3m4D4m502（绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）A12B11C8D303（黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.04（贺州）下列根式中，不是最简二次
6、根式的是（）A. B. C. D.05下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.06（常德）设a20， b(3)2, , , 则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）AcadbBbdacCacdbDbcad07（十堰）下列运算正确的是（ ）A BC D08如果把式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A BCD09（徐州）如果式子化简的结果为2x3，则x的取值范围是（ ）Ax1Bx2C1x2 Dx010（怀化）函数中自变量的取值范围是_.11（湘西）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算ab.那么124_.12（荆州）先化简，再求值：，其中.13（广州）
7、先化简，再求值：，其中.培优升级奥赛检测01（凉山州）已知一个正数的平方根是3x2和5x6，则这个数是_.02已知a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有_对.03（全国竞赛）设，则_.04（全国竞赛）设,a是x的小数部分,b是x的小数部,则a3b33ab_.05（重庆竞赛）已知，则x2y2_.06（全国竞赛）已知，那么a、b、c的大小关系是（ ）AabcBbacCcbaDcab 07（武汉联赛）已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）AB3CD08（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则ab等于（ ）A1B0C1D209（全国竞赛）等于（ ）ABC5D110
8、已知，则的值为（ ）ABC D11已知，求abc的值.12已知与的小数部分分别是a和b，求ab3a4b8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点方法破译1会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典考题赏板【例】（河北竞赛）已知，那么的值等于_【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用表示或化简变形.解：两边平方得， ，两边同乘以x得， ，原式=【变式题组】1 若（0a1），则_2 设，则的值为（ ）ABCD不能确定【例】（全国初中数学联赛）满足等式2003的正整数对（x
9、,y）的个数是（ ）A1B2C3D4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为， ，则xy2003，且2003是质数， 正整数对（x,y）的个数有2对，应选B.【变式题组】3若a0，b0，且，求的值.【例】（四川）已知：，求代数式 的值.【解法指导】视x2，x2-4x为整体，把平方，移项用含a的代数式表示x2，x2-4x，注意0a1的制约.解：平方得， ， 化简原式 【变式题组】4（武汉）已知，求代数式的值. 5（五羊杯竞赛）已知，且，则a的值等于（ ）A5B5C9D9【例】（全国竞赛）如图，点A、C都在函数的图像上，点B、D都在x轴上，且使得O
10、AB、BCD都是等边三角形，则点D的坐标为_.【解法指导】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F.设yxAOBCDEFOE=a，BF=b，则AE=a，CF=b，所以，点A、C的坐标为（a,a）、（2ab,b），所以，解得，因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】6（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； （一） ； （二）； （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简：； （四）（1）请你用不同的方法化简；参照（三）试得：=_；（要有简化过程）参照（四）试得：=_；（要有简化过程）（2
11、）化简：【例】（五羊杯竞赛）设a、b、c、d为正实数，ab，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别为，求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD，使ABba，ADc，延长DA至E，使DEd，延长DC至F，使DFb，连结EF、FB、EB，则BF，EF，BE=，从而知BEF就是题设的三角形，而SBEFS长方形ABCDSBCFSABESDEF(ba)c(dc)(ba)bd(bcad)【变式题组】7(北京竞赛)已知a、b均为正数，且ab2，
12、求U演练巩固反馈提高01已知，那么代数式值为_02设，则（ ）A24B25CD03（天津）计算_04（北京竞赛）若有理数x、y、z满足，则_05（北京竞赛）正数m、n满足，则_06（河南竞赛）若，则的值是（ ）A2B4C6D807已知实数a满足，那么的值是（ ）A1999B2000C2001D200208设，则a、b、c之间的大小关系是（ ）AabcBcbaCcabDacb09已知，化简培优升级奥赛检测01（信利杯竞赛）已知，那么_02已知，则_ 03（江苏竞赛）已知，则_04（全国联赛），则x_05(T1杯联赛) 已知，那么_06（武汉选拔赛）如果，那么的值为（ ）AB2001C1D007（
13、绍兴竞赛）当时，代数式的值是（ ）A0B1C1D08（全国联赛）设a、b、c为有理数，且等式成立，则的值是（ ）A1999B2000C2001D不能确定 09计算：（1）（2）（3）（4）10已知实数a、b满足条件，化简代数式，将结果表示成不含b的形式.11已知，化简：12（奥林匹克竞赛）已知自然数x、y、z满足等式，求xyz的值. 第3讲 一元二次方程的解法考点方法破译1掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3会应用一元二次方程解实际应用题。经典考题赏析【例】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A.(m-2)x2-
14、2x-1=0 B.k2x+5k+3=0 C. D.【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为0，不是；D的分母中含字母，不符合.故选C.【变式题组】1（威海）若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，则另一个根是_.【例2】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1，那么代数式2m2+4n2-4n+1998=_.【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.解：由题意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，则原式=(4m+2)+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根与系数关系得m+n=2，原式
15、=2010.【变式题组】2（南昌）若3a2-a-2=0，则5+2a-6a2=_.3（烟台）设a、b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）A2006 B2007 C2008 D2009【例3】关于x的一元二次方程(m-3)x2+4x+m2-9=0有一个根为0，m的值为_.【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.解：依题意m2-9=0，m=3，根据方程是一元二次方程得m3，综合知m=-3.【变式题组】4（庆阳）若关于x的方程x2+2x+k-1=0的一个根是0，则k=_.5（东营）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2
16、=0的常数项为0，则m的值等于（ ）A1 B2 C1或2 D0【例4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.【解法指导】解：解法一：a=1，b=4,c=-1，x=.即x=-2.原方程的根为.解法二：配方，得(x+2)2=5，直接开平方，得,原方程的根为.【变式题组】6（清远）方程x2=16的解是（ ）Ax=4 Bx=4 Cx=-4 Dx=167.（南充）方程(x-3)(x+1)=x-3的解是（ ）A.x=0 B.x=3 C.x=3或x=-1 D.x=3或x=08.（咸宁）方程3x(x+1)=3x+3的解为（ ）Ax=1 Bx=-1 Cx1=0，x2=-1 Dx1=1，x2=-19.（温州）我们
17、已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.x2-3x+1=0；(x-1)2=3；x2-3x=0；x2-2x=4.【例5】（山西）解方程：6x2-x-12=0【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x2-x=2，配方得x2-x+(-)2=2+(-)2,(x-)2=()2，即x-=，x1=,x2=.【变式题组】10（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.11（武汉）解方程：x2-3x-1=0.12（山西）解方程：x2-2x-3=0.演练巩固反馈提高01（宁德）方程x2-4x=
18、0的解是_.02（十堰）方程(x+2)(x-1)=0的解为_.03（大兴安岭）方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（ ）Ax=5 Bx=或x=6 Cx=7 Dx=5或x=704（太原）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）A(x+1)2=6 B(x-1)2=6 C(x+2)2=9 D(x-2)2=905（云南）一元二次方程5x2-2x=0的解是（ ）A B C D06（黄石）已知a、b是关于x的一元二次方程x2+nx-1=0的两实数根，则式子的值是（ ）An2+2 B-n2+2 Cn2-2 D-n2-207（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮
19、传染中平均一个人传染的人数为（ ）A8人 B9人 C10人 D11人08（台州）用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（ ）A(x+2)2=1 B(x-2)2=1 C(x+2)2=9 D(x-2)2=909（义乌）解方程x2-2x-2=0.10（兰州）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x.11（新疆）解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.12（梧州）解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.13（长春）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.14（上海）解方程：培优升级奥赛检测01（鄂州）已知、为方程x2+4x+2=0的两个实根，则3+14+50=_.02已知x是一
20、元二次方程x2+3x-1=0的实数根，那么代数式的值为_.03（苏州）若x2-x-2=0，则的值等于（ ）.A B C D或04（全国联赛）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）.A0 B1 C2 D305（全国联赛）已知实数x、y满足：，y4+y2=3，则的值为（ ）.A7 B C D506（全国联赛）已知m=1+，n=1-，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，则a的值等于（ ）.A-5 B5 C-9 D907（毕节）三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是_.0
21、8（滨州）观察下列方程及其解的特征：的解为x1=x2=1；的解为x1=2，x2=；的解为x1=3，x2=；解答下列问题：请猜想：方程的解为_；请猜想：关于x的方程_的解为x1=a，x2=（a0）；下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性.解：原方程可化为5x2-26x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）09（泸州）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函数（x0）的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、An-1An都在x轴上.求P1的坐标；求y1+y2+y3+y10的值.第
22、4讲 根的判别式及根与系数的关系考点方法破译1掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；2理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.经典考题赏板【例】 （成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）Ak-1 B. C.k0，所以方程有两个不相等的实数根.（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得， 【变式题组】8(中山)已知一元二次方程.(1)若方程有两个实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根为，且+,求m的值.【例】 设实数s,t分别满足,并且st1，求的值.【解法指
23、导】 本题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.解：s0，第一个等式可以变形为： ,又st1， t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有,即st + 1 =99s，t = 19s 演练巩固反馈提高01(东营)若n（n0）是关于x的方程的根，则m+n的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 02(株洲)定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A B C D 03（崇左）一元二次方程的一个根为-1，则另一个根为 04(贺
24、州)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 05（上海）如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 1、 06（泰安）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .07（淄博）已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值08已知关于x的一元二次方程(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根之积等于,求的值.09（孝感）已知关于的一元二次方程有两个实数根和（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的
25、值10（鄂州）关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由11（北京）已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，12（淄博）已知是方程的两个实数根，且(1)求及a的值；(2)求的值培优升级奥赛检测01（全国联赛）设，且，则代数式的值为 （ ）A 5. B7. C 9. D.11.02（延边预赛）已知m是方程的一个根
26、，则代数式的值等于（ ）A2016 B.2017 C.2018 D.201903如果a、b都是质数，且,那么的值为（ ）A B. C. D或204（全国竞赛）已知实数，且满足的值为（ ）A23 B.-23 C.-2 D.-1305.(全国竞赛)设是关于x的方程的两个实数根，则的最大值为_06已知是方程的两个实数根，则07（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作,则_08已知关于x的方程：.(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为，满足,求m的值及相应的.09（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不
27、相等的实数根,(1)若,求m的值；（2）求的最大值.第5讲 一元二次方程的应用考点方法破译 1能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程； 2会建立一元二次方程模型解实际应用题经典考题赏析 【例l】 (南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A8人 B9人 C10人 D11人 【解法指导】 构建一元二次方程模型求解设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为x，患流感人数为x+l；第二轮被传染人数为x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9应选B 【变式题组】1(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010年
28、4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x，则关于x的方程为 2(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2。提高到121 m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为( ) A9 B10 C1l D123(太原)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 【例2】 (黄石)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2一12x+35=0的根，则该三角形的周长为( ) A14 B
29、12 C12或14 D。以上都不对【解法指导】 方程x2一12x+35=0可化为(x一7)(x一5)=0，解得x=7或x=5，当x=7时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取5，该三角形的周长为12应选B【变式题组】4(青海)方程x2一9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A12 B12或15 C15 D不能确定5(襄樊)如图，在平行四边形ABCD中，AE上BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x一3=0的根，则平行四边形ABCD的周长是( ) A、 B、C、 D、或 【例3】 (莆田)已知O1和O2的半径分别是一元二次方程（x1)(x
30、一2)=0的两根，且O1O2=2，则O1和O2的位置关系是 【解法指导】 依题意，O1和O2的半径分别为1和2，lO1O23，O1和O2相交【变式题组】 6(兰州)两圆的圆心距为l，两圆的半径分别是方程x2一5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是( ) A外离 B内切 C相交 D外切7(江苏)某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程 8(庆阳)如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部 分作为耕地若耕地面积需要55 l米。，则修建的路宽应为( ) A、1米 B、15米 C、2米
31、 D、25米 【例4】 (白银)在实数范围内定义运算“”，其法则为：ab=a2 - b2，求方程(43)x=24的解 【解法指导】 解此类题要严格按照定义进行变换 解：ab=a2 - b2(43)x=7x=72-x2 72-x2 =25x=5【变式题组】 9(全国竞赛)对于实数u、v，定义一种运算“”为：u v=uv+v,若关于x的方程x (a x)= 一有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 【例5】 (十堰)如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地(1) 怎样围才能使矩形场地的面积为750m2 ，(2)能否使所围矩形场地的面积为8l0 m2 ，为
32、什么?【解法指导】 解：(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 (80一x)米依题意，得x (80一x)=750，即x2一80x+1500=0解此方程，得x1=30，x2=50 墙的长度不超过45m, x2=50不合题意，应舍去当x=30时，(80一x)= (8030)=25所以，当所围矩形长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2 (2)不能因为由x (80一x)=810，得x2一80x+1620=0又b2-4ac=(一80)2一411620= - 800上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为8l0 m2【变式题组】10(广东)某种电脑病毒传播非常快，如果一
33、台电脑被感染，经过两轮感染后就会有8l台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台?巩固练习 反馈提高 ，1(南通)某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，20l0年该市计划投资“改水工程”1176万元 (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率；(2)从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万?2(长沙)当m为何值时，关于z的一元二次方程x24x+m一=0有两个相等的实数根? 此时这两个实数根是多少?3(贵阳)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?4(庆阳)某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影
