1、1,第三章 自动控制系统的时域分析法,第一节 系统的稳定性分析,第二节 自动控制系统的动态性能分析,第三节 稳态性能分析,2,第一节 系统的稳定性分析,一、稳定性的概念,定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。,稳定性只取决于系统内部的结构和参数，而与初始条件和外作用的大小无关。,3,二、系统稳定的充分必要条件,线性系统特征方程的所有根的实部都必须是负数。,三、Hurwritz代数稳定判据,1Hurwritz代数稳定判据内容设线性系统的特征方程式为：D(s)=ansn+ an-
2、1sn-1+ a2s2+ a1s+ a0=0，则系统稳定的充要条件是：（1）特征方程的各项系数均为正值。必要条件（2）特征方程的Hurwritz行列式k(k=1，2， n)均大于0。充分条件,2Hurwritz行列式k的编写方法 第一行为特征式第二项、第四项等偶数项的系数； 第二行为特征式第一项、第三项等偶数项的系数； 第三、四行重复上二行的排列，但向右移一列，前一 列则用0代替。,4,其中,5,3推论,在特征方程式各项系数全为正的条件下，若所有奇次Hurwritz行列式为正，则所有偶次Hurwritz行列式必为正，反之亦然。,例3-1 设系统的特征方程式为 2s4+s3+3s2+5s+10=
3、0,试判断系统的稳定性.,解：（1）各项系数为正，且不为零，满足稳定的必要条件。 （2）系统的Hurritz行列式为,例3-2 已知系统的框图如图3-2所示，求当系统稳定时K的取值范围。,图3-2,所以，该系统不稳定。,解：因为未直接给出系统的特征方程式，故须求系统的闭环传递 函数，从而得到特征方程式D(s)。,（1）闭环系统的传递函数为：,（2）系统的特征方程式为s3+3s2+2s+K=0（3）稳定的必要条件是系统的特征方程式各项系数为正，因而要求K0 。,（4）系统稳定的充分条件是：,由此可见，加大系统增益对系统的稳定性不利。,因此，为保证系统闭环稳定，增益K的可调范围是,上例表明，某些系
4、统在一定的参数范围内，它是稳定的；超出这个范围，它就是不稳定的。这类系统称为条件稳定系统。但有些系统，无论如何调整其他参数，系统也不稳定。这类系统称为结构不稳定系统。如特征方程式缺项，或者出现负系数等。对于结构不稳定系统，必须采用校正措施才能改善其稳定性。,7,第二节 自动控制系统的动态性能分析,一、一阶系统 的时域分析,1、一阶系统的数学模型,图3-2为一典型一阶系统的框图。一阶系统的标准闭环传递函数为,T 时间常数,2、一阶系统的单位阶跃响应,若r(t)为单位阶跃信号，即R(s)=1/s，则,对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应为,其曲线如图3-3所示，它具有以下特点：,图3-3,t=3T
5、4T时,过渡过程基本结束;,t=0处斜率为1/T,t=T时,输出到达稳态 的63.2%;,t时,输出等于输 入值（公式中暂态项等于零）;,无振荡，无超调,3、一阶系统的性能指标,上升时间 ：,超调量 ：,调节时间 ：,9,二、二阶系统的时域分析,1、二阶系统的数学模型,方框图,标准闭环传递函数,阻尼比， n 自然振荡角频率T 时间常数,开环传递函数,10,2、二阶系统的单位阶跃响应,对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应为,其曲线如图35所示该曲线特点：衰减振荡,图35,12,3二阶系统的性能指标,1)上升时间tr： 定义：c(t)从0上升到c()所需的时间。,得,2)峰值时间tr： 定义：c(
6、t)从0上升到c()所需的时间。,取n=1，得,13,3)最大超调量,定义：,仅与阻尼比有关，越大， 则越小，系统的稳定性越好。,4)调整时间ts,定义：系统输出量与稳态值之差进入并一直保持在允许误差带内所需要的时间。取2%或5% 。,5)振荡次数 N,定义：在调整时间ts内，输出量c(t)在稳态值上下摆动的次数。,14,第三节 稳态性能分析,一、系统误差与稳态误差,系统误差,象函数形式,稳态误差,终值定理,15,线性系统的总误差为跟随误差和扰动误差的代数和，即,给定输入信号r(t)作用,扰动输入信号d(t)作用,16,二、输入信号作用下的稳态误差,与系统的开环传递函数G(s)及输入信号R(s
7、)有关,1、典型输入信号,2、型别,系统开环传递函数,注：含两个以上积分环节的系统不易稳定，所以很少采用II型以上的系统,17,3、稳态误差与输入信号、型别的关系,输入信号为单位阶跃信号,0型系统,I型及I型以上系统,输入信号为单位斜坡信号,0型系统,I型系统,II型及II型以上系统,18,输入信号为单位加速度信号,0型系统,I型系统,II型系统,II型以上系统,总结：稳态误差与输入信号有关 稳态误差与前向通路积分环节个数v和开环增益K有关。若v愈多，K愈大，跟随稳态精度愈高。,例3- 2 已知某单位反馈系统的开环传递函数为 当输入信号r(t)=2+4t+t2时，试求系统的稳态误差。,解：首先
8、判断系统的稳定性。由系统的开环传递函数得系统的闭环特征式为 D(s)=s(s+4)(s+5)+20(s+2)=s3+9s2+40s+40=0由二阶Hurwitz行列式 可知，该系统闭环是稳定的。,根据系统的开环传递函数,可知系统为v=1，K=2。由于输入信号是由阶跃、斜坡和加速度信号组成的复合信号，根据线性系统的叠加原理，系统总误差为各个信号单独作用下的误差之和。因此所求误差为,计算结果表明，该系统不能跟随给定的输入信号，应进行系统结构校正。,20,三、扰动信号作用下的稳态误差,当开环传递函数G(s)=G1(s)G2(s)H(s)1时，上式可近似为,则系统在扰动信号作用下的稳态误差为,设,可见
9、，输入信号作用下的稳态误差与系统的开环传递函数G(s)及输入信号R(s)有关，扰动信号作用下稳态误差的大小和有无，除了与扰动信号D(s)的形式有关外，当G(s)=G1(s)G2(s)H(s)1时，主要取决于扰动作用点前传递函数G1(s)中积分环节的个数v和放大倍数K。,同理从以上分析可知，系统在扰动信号作用下的稳态误差 与扰动信号有关，扰动信号不同，其稳态误差是不同的。 与扰动信号作用点前的积分环节个数v1和开环增益K1有关。若v1愈多，K1愈大， 则对扰动信号的稳态精度愈高。,例3-3 某系统的结构图如图3-8 所示，假设r(t)=t，d(t)=0.5，试计算该系统的稳态误差。,首先判断系统的稳定性。由系统的结构图，可得系统的闭环特征式为D(s)=s(3s+1)(0.2s+1)+40.5=0.6s3+3.2s2+s+2=0由二阶Hurwitz行列式可知，该系统闭环是稳定的。,图38,22,由此可知，系统为I型，开环放大倍数K=2，且输入为单位斜坡信号。因此 essr=1/K=1/2=0.5,计算在输入信号作用下的稳态误差essr。 系统的开环传递函数为,计算在扰动信号作用下的稳态误差essd,在输入信号和扰动信号同时作用下的总稳态误差ess,ess=ess+essd=0.5+0.125=0.625,
