1、第四章 根轨迹,已知开环系统的极点和零点，当增益变化的时候，闭环系统的极点变化的轨迹。,4.1 闭环系统的根轨迹,4.1.1 根轨迹的定义这一章考虑如下的反馈系统。设开环传递函数为（zi,pj可能复数）：其中的Kr称为根轨迹增益。,注意：与开环增益不同！,4.1 闭环系统的根轨迹,闭环系统的特征方程为根轨迹就是当Kr变化时（通常是零变到正无穷大），闭环极点的轨迹。设分子和分母的次数分别为m和n，通常nm，由于上述方程是n次的，故根轨迹有n根分支。上式等价于：,4.1.2 幅值条件和相角条件,其中第一个式子称为根轨迹的相角条件，第二个式子称为根轨迹的幅值条件。注意到s+z就是-z到s的向量，因此
2、点s在根轨迹上的充要条件是：（所有开环零点到s的幅角之和）-（所有开环极点到s的幅角之和）=的奇数倍。,例：,作下图的根轨迹,开环只有极点，极点到s的幅角之和为奇数倍。,例,如果开环传递函数为 ，求它的根轨迹。实轴上的根轨迹。复平面上的根轨迹。设 在根轨迹上，于是,42 绘制根轨迹的基本规则,根轨迹的起点和终点由于 当Kr=0时， 根轨迹起源于开环的极点（正好n个）。当Kr=时，,根轨迹终止于开环的零点。（多余的n-m支奔向何方？）,42 绘制根轨迹的基本规则,实轴上的根轨迹 复数零极点对实轴上的根轨迹没有影响，所以实轴上的根轨迹由实数零极点确定。 一个实数在根轨迹上，如果它的右面有奇数个零极
3、点。复平面上的根轨迹 因为这是实数多项式，复根成对出现，所以复平面上的根轨迹关于实轴对称。,复习,根轨迹的定义当K变化的时候，闭环特征根的轨迹，即 的根的轨迹作根轨迹的幅角条件和幅值条件：,复习,根轨迹的特征根轨迹起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。当零点个数小于极点个数的时候，剩余的趋向无穷。实轴上的根轨迹： 实轴上的点的右面有奇数个零极点，则它在根轨迹上。复平面上的根轨迹： 复平面上的根轨迹关于实轴对称。,42 绘制根轨迹的基本规则,无穷远的根轨迹 有n-m支根轨迹趋向无穷大，它们与实轴的夹角分别为 与实轴交点为 这是因为,42 绘制根轨迹的基本规则,实轴上根轨迹的分离和汇合 两
4、支实轴上的根轨迹必定要分离或者汇合，分离和汇合点是重根。可用求重根的办法求出这类点。 或者 对应正的Kr。,42 绘制根轨迹的基本规则,根轨迹与虚轴的交点 利用Routh表可以求出临界稳定的Kr，和对应的虚轴上的极点。,列出Routh阵列,使s行为零,得对应虚极点。出射角和入射角 出射角是根轨迹离开开环极点的角度，入射角是进入开环零点的角度。计算公式为：,入射角出射角,42 绘制根轨迹的基本规则,例：求的根轨迹,1。在复平面上作出起点与终点 起点：0，-1，-2j2 终点：-4 2。实轴上的根轨迹（-，-4，-1，03。实轴上的分离点和汇合点解方程得到s=-5.12(汇合点), s=-0.48（分离点）,42 绘制根轨迹的基本规则,例：求的根轨迹,4。无穷远性质： 渐近线夹角：60，180。实轴交点 （-5+4）/3 5。与虚轴交点：j1.71 Kr=6.64,42 绘制根轨迹的基本规则,6. 分离点和汇合点 s=-5.12, s=-0.48,7。出射角：约为-116.5,-5.12,-0.48,练习,A4-1, A4-5(1) (3)(5)(7)(9)A4-6,
