1、数列的求和1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法： 3错位相减法：比如4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ； （三）例题分析：例1求和： 求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n项和思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：（1）当时，（2）当总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。2错位相减法求和例2已知数列，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。解： 当 当3.
2、裂项相消法求和例3.求和思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: 练习:求 答案: 4.倒序相加法求和例4求证：思路分析：由可用倒序相加法求和。证：令则 等式成立1an是首项a11，公差为d3的等差数列，如果an2 005，则序号n等于( )解析：由题设，代入通项公式ana1(n1)d，即2 00513(n1)，n6992在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力设等比数列an的公比为q(q0)，由题意得a1a2a321，即a1(1qq2)21，又a13，1qq27解得q2或q3(不合题意，舍去)，a3a4a5
3、a1q2(1qq2)3227843如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则( B )Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a5解析：由a1a8a4a5，排除C又a1a8a1(a17d)a127a1d，a4a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1a84已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则mn等于( C )解法1：设a1，a2d，a32d，a43d，而方程x22xm0中两根之和为2，x22xn0中两根之和也为2，a1a2a3a416d4，d，a1，a4是一个方程的两个根，a1，a3是另一个方程的两
4、个根，分别为m或n，mn，故选Cf2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1x2m，x3x4n由等差数列的性质：若gspq，则agasapaq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2，于是可得等差数列为，m，n，mn5等比数列an中，a29，a5243，则an的前4项和为S4120a29，a5243，q327， q3，a1q9，a13，6若数列an是等差数列，首项a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是( )4 005 4 0064 0074 008 解法1：由a2 003a2 0040，a2 003a
5、2 0040，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a10，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003a2 004，即a2 0030，a2 0040.S4 0060，S4 007(a1a4 007)2a2 0040，故4 006为Sn0的最大自然数. 选B(第6题)解法2：由a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，同解法1的分析得a2 0030，a2 0040，S2 003为Sn中的最大值Sn是关于n的二次函数，如草图所示，2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，在对称轴的右侧根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左
6、侧，4 007，4 008都在其右侧，Sn0的最大自然数是4 0067已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2826an是等差数列，a3a14，a4a16，又由a1，a3，a4成等比数列，(a14)2a1(a16)，解得a18，8设Sn是等差数列an的前n项和，若，则( )19已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则 设d和q分别为公差和公比，则413d且4(1)q4，d1，q22，10在等差数列an中，an0，an1an10(n2)，若S2n138，则n( 10 )an为等差数列，an1an1，2an，又an0，an2，an为常数
7、数列，而an，即2n119，11设f(x)，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为 .f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)设Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，则Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2Sf(6)f(5)f(5)f(4)f(5)f(6)6，Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)312已知等比数列an中，(1)若a3a4a58，则a2a3a4a5a6 由a3a5，得a42，a2a3a4a5a632(2)若a1a2324，a3a436，则a5a6 ，a5a6(a1a2)q44(3)若S42，S86，则a1
8、7a18a19a20 .，a17a18a19a20S4q163214在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则此数列前13项之和为 .a3a52a4，a7a132a10，6(a4a10)24，a4a104，S132615在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a1049 da6a55，a4a5a107(a52d)17(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列.(2)已知，成等差数列，求证，也成等差数列.判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数证明：（1）n1时，a1S1321，当n2时，anSnSn13n22n3
9、(n1)22(n1)6n5，n1时，亦满足，an6n5(nN*)首项a11，anan16n56(n1)56(常数)(nN*)，数列an成等差数列且a11，公差为6（2），成等差数列，化简得2acb(ac) 2，也成等差数列18设an是公比为 q 的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列(1)求q的值；(2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由（1）由题设2a3a1a2，即2a1q2a1a1q，a10，2q2q10，q1或（2）若q1，则Sn2n当n2时，SnbnSn10，故Snbn若q，则Sn2n ()当n2时，SnbnSn1，故
10、对于nN+，当2n9时，Snbn；当n10时，Snbn；当n11时，Snbn19数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1，2，3)求证：数列是等比数列an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得nSn12(n1) Sn，所以故是以2为公比的等比数列20已知数列an是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12S6成等比数列.证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7a13a4，即4 a1q6a13a1q3， 变形得(4q31)(q31)0，q3或q31(舍) 由； 111q61； 得
11、12S3，S6，S12S6成等比数列方法18四、数列通项与前项和的关系12题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9，9解析：将数列变形为，将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，。可得数列的通项公式为点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二 应用求数列通项例2已知数列的前项和，分别求其通项公式. 解析：当，当又不适合上式，故 三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列的首项和递
12、推关系，求其通项公式解析：因为，所以所以 以上个式相加得 即：点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。是数列成等差数列的充要条件。等差中项：若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。前项和公式 ； 是数列成等差数列的充要条件。判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列中项法：是等差数列通项公式法：是等差数列前项和公式法：是等2等差数列中，解3等差数列中，则前10或11项的和最大。解：为递减等差数列为最大。4已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为110解：成等差数列，公差为D其首项为，前10项的和为 6
13、.3等比数列知识要点1 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。2 递推关系与通项公式3 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。4 前项和公式5 等比数列的基本性质， 反之不真！ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。 仍成等比数列。6 等比数列与等比数列的转化 是等差数列是等比数列； 是正项等比数列是等差数列； 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。7 等比数列的判定法定义法：为等比数列；中项法：为等比数列； 通项公式法：为等比数列；前项和法
14、：为等比数列。二、性质运用例2：在等比数列中，求，若 在等比数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式 成立。 解：由等比数列的性质可知： 由等比数列的性质可知，是等差数列，因为由题设可知，如果在等差数列中有成立，我们知道，如果，而对于等比数列，则有所以可以得出结论，若成立，在本题中典例精析一、 错位相减法求和例1：求和： 解： 由得：点拨：若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法； 当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论； 当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。二、 裂项相消法求和例2：数列满足=8， （） 求数列
15、的通项公式；则所以，=8（1）（2）102三、 奇偶分析法求和例3：设二次函数 1 在等差数列中，=1，前项和满足 求数列的通项公式 记，求数列的前项和。解：设数列的公差为，由所以=由，有 所以 得课外练习 数列的前项和为，若等于（ B ）的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等差数列，那么的值为（ 0 ）A1 B1 C0 D10解：因为函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，所以又数列是首项为，公差为1的等差数列故原式=0，选C。22.（2009全国卷理）在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 . 已知在正项数列中，=2，且在双曲线上，数中，点（，）在直线上，其中是数列的前项和，求数列的通项公式；求证：数列是等比数列。若。解：由已知带点在上知， ，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。所以因为点（,）在直线上， 2.（2009辽宁卷理）设等比数列 的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = 【解析】设公比为q ,则1q33 q32 于是 16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 . 解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
