1、基本不等式一. 基本不等式公式：，常用 升级版： 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二考试题型【题型1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正 二定 三相等一正： 指的是注意范围为正数。二定： 指的是是定值为常数三相等：指的是取到最值时典型例题：例1 .求的值域分析：范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解： 得到例2 .求的值域解： （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） ， 即例3.求的值域分析：的范围是，不能用基本不等式，当取到最小值时，的值是，但不在范围内解：令 是对钩函数，利用图像可知：在上是单减函数，所以，（注：是将代入得到） 注意：使用基本不等式
2、时，注意取到最值，有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。例4求的值域分析：先换元，令，其中解： 总之：形如的函数，一般可通过换元法等价变形化为型函数，要注意t的取值范围；【失误与防范】1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致【题型2】条件是或为定值，求最值（值域）（简）例5若且，则的最大值是_解析：由于，
3、则，所以，则的最大值为例6已知为正实数，且满足，则的最大值为_解析：，当且仅当即时，取得最大值.例7已知，且，则的最小值为_解析：，当且仅当时，等号成立总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型3】条件是或为定值，求最值（范围）（难）方法：将整体代入例8.已知且，则的最小值是_解析： 所以最小值是例9. 已知，则的最小值是_解析：则所以最小值是例10.已知，且求的最小值是_解析：则从而最小值为9 【题型4】已知与关系式，求取值范围例11. 若正数满足，求及的取值范围解析：把与看成两个未知数，先要用基本不等式消元解：求的范围 （需要消去：孤立条件的将替换） ， （消结束，下面把看成整体，换元，求范围） 令，则变成 解得或（舍去），从而求的范围 （需要消去：孤立条件的 将替换） ， （消结束，下面把看成整体，换元，求范围）令则有，得到或（舍去）得到5
