1、 第一部分 相似三角形知识要点大全知识点1.相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关例1放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同例2下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80的两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角是100
2、的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_(填序号)解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似答案：知识点2比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,
3、c为比例内项，d是第四比例项（3）如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等例3已知线段a=2cm, b=6mm, 求分析：求即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比例4已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的长度分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,d统一单位后代入求c知识点3相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比
4、相等解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性例5若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长知识点4相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3
5、）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比注意：相似比是有顺序的，比如ABCA1B1C1，相似比为k,若A1B1C1ABC，则相似比为。若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等例6如图，已知ADEABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点D，E分别是AB，AC的中点吗？ 注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别解：因为ADEABC，所以，因为，所以，所以D，E分
6、别是AB，AC的中点知识点5相似三角的判定方法（1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似（3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似例7如图，点D在ABC的边AB上，满足怎样的条件时，ACD与ABC相似？
7、试分别加以列举 分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，ACD与ABC已有公共角A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可解：当满足以下三个条件之一时，ACDABC条件一：1=B；条件二：2=ACB；条件三：，即AC2=ADAB知识点6相似三角形的性质（1） 对应角相等，对应边的比相等；（2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方例8如图，已知ADEABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7（1） 求DE、AE的长；（2） 你还能发现哪些线段成比例 分析：此题重点考查
8、由两个三角形相似，可得到对应边成例，即例9已知ABCA1B1C1，=，ABC的周长为20cm，面积为40cm2求（1）A1B1C1的周长；（2）A1B1C1的面积分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解易求出A1B1C1的周长为30cm; A1B1C1的面积90cm2第二部分 相似三角形模型分析大全1、 相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）
9、双垂型： 2、 相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展共享性 一线三等角的变形 一线三直角的变形第三部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E 求证： 例2：已知：如图，ABC中，点E在中线AD上, 求证：（1）； （2）ACDEB 例3：已知：如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证： 相关练习：1、如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证： 2、已知：AD是RtABC中A的平分线，C=90，EF是AD的垂直平分线
10、交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)AMENMD; (2)ND=NCNB3、已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一点，CFBE于F。求证：EBDF=AEDB5 ACBPDE（第25题图）已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积双垂型1、如图，在ABC中，A=60，BD、
11、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，ABC和BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。共享型相似三角形1、ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长. 2、已知：如图，在RtABC中，AB=AC，DAE=45求证：（1）ABEACD； （2）一线三等角型相似三角形CADBEF例1：如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE
12、例2：（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；ABC备用图ABC备用图ABCPQABCD（2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.ABCDABCD 例3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长CDABP（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延
13、长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长例4：如图，在梯形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（3）若，求的长相关练习：1、如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且ABCDE(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由 2、如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F
14、（1）求证：DBEECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； 当时，求BP的长EDCBA（备用图）EDCBAP（第25题图）4、如图，已知边长为的等边，点在边上，点是射线上
15、一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，（1）写出图中与相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）若，试求的面积备用图一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。例2、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。【练习2】在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证：(2)、当，求的值（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域17
