1、立体几何难题汇编11. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（）能构成矩形；能构成不是矩形的平行四边形；能构成每个面都是等边三角形的四面体；能构成每个面都是直角三角形的四面体；能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体A2B3C4D5【考点】命题的真假判断与应用【专题】证明题【分析】画出图形，分类找出所有情况即可【解答】解：作出正方体：在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况：任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确；四面体A1-BC1D是每个面都是等边三角形的四
2、面体，所以正确；四面体B1-ABD的每个面都是直角三角形，所以正确；四面体A1-ABD的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角形由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故不正确综上可知：正确的结论个数是4故选C【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键2. 一个半径为1的小球在一个棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_ 【考点】棱锥的结构特征【专题】计算题；压轴题【分析】小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为 ，故小三角形的边长为 ，
3、做出面积相减，得到结果【解答】解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为故小三角形的边长为小球与一个面不能接触到的部分的面积为，几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是418=72故答案为：72【点评】本题考查棱柱的结构特征，本题解题的关键是看出小球的运动轨迹是什么，看出是一个正三角形，这样题目做起来就方向明确3. （2012上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 _.【考点】棱柱、棱锥、棱台的
4、体积【专题】计算题；压轴题【分析】作BEAD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可【解答】解：作BEAD于E，连接CE，则AD平面BEC，所以CEAD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然ABDACD，所以BE=CE取BC中点F，EFBC，EFAD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当ABD
5、是等腰直角三角形时几何体的体积最大，AB+BD=AC+CD=2a，AB=a，所以EB=EF= 所以几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力4. 如图，直线l平面，垂足为O，已知在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，AB= 该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）Al，（2）C则B、O两点间的最大距离为 _.【考点】点、线、面间的距离计算【专题】转化思想【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可【
6、解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图设ACO=，B（x，y），则有：x=ACcos+BCsin=2cos+sin，y=BCcos=cosx2+y2=4cos2+4sincos+1=2cos2+2sin2+3=2 sin（2+ ）+3，当sin（2+ ）=1时，x2+y2最大，为 +3，则B、O两点间的最大距离为1+ .故答案为：1+ 【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值5. 如图，直线l平面，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面内，B是直
7、线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为（）A4+2 B2 +2C4D4 【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征；简单空间图形的三视图【专题】计算题；压轴题；空间位置关系与距离【分析】确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论【解答】解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2 .虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注
8、意到AD垂直平面OBC，且平行平面，故其投影是以AD为底，O到AD 的距离投影，即（2+2 ）cos45=2+为高的等腰三角形，其面积= 故选A【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.6. 设l1，l2，l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线给出下列三个结论：Aili（i=1，2，3），使得A1A2A3是直角三角形；Aili（i=1，2，3），使得A1A2A3是等边三角形；三条直线上存在四点Ai（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【考点】命
9、题的真假判断与应用【专题】空间位置关系与距离【分析】本题利用画图结合运动变化的思想进行分析我们不妨先将A、B、C按如图所示放置，容易看出此时BCAB=AC现在，我们将A和B往上移，并且总保持AB=AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），而当A、B移得很高很高时，就得到和都是正确的至于，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可【解答】解：我们不妨先将A、B、C按如图所示放置容易看出此时BCAB=AC现在，我们将A和B往上移，并且总保持AB=AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），而当A、B移得很高很高时，不难想象ABC将会变得很扁，也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等
10、腰钝角三角形于是，在移动过程中，总有一刻，使ABC成为等边三角形，亦总有另一刻，使ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）这样，就得到和都是正确的至于，如图所示为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为假设A是，那么由ADAB，ADAC知L3ABC，从而ABC三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与ABAC矛盾同理可知D是时也矛盾；假设C是，那么由BCCA，BCCD知BCCAD，而l1CAD，故BCl1，从而BC为l1与l2的距离，于是EFBC，EF=BC，这样就得到EFFG，矛盾同理可知B是时也矛盾综上，不存在四点Ai（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体故选B【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力、化归与转化思想属于难题
