1、仿射几何在研究圆锥曲线中的一些应用 仁化县仁化中学 谢祖福摘要:本文主要结合实例,运用仿射几何的性质在解决圆锥曲线的问题作了一些尝试,以期达到对圆锥曲线问题的解法的化繁为简,化难为易,并且开阔数学视野,培养唯物辨证观点的目的。关键词:仿射几何 仿射性质 仿射变换 圆锥曲线高等几何是从古典几何过渡到近世几何的桥梁,它对中学初等几何和解析几何的教学有重大的指导意义,其中仿射几何是高等几何的重要组成部分,是联结高等几何与初等几何的纽带,是应用高等几何解决初等几何的一条重要通道。在这里,笔者试图利用仿射几何的一些基本性质,在仿射变换下,通过特殊的图形去研究复杂的图形,从而解决一些高中解析几何中圆锥曲线
2、一类的问题。我们知道,椭圆、双曲线、抛物线经过仿射变换,它们对应的图形分别是圆、特殊的双曲线即等轴双曲线x2y2=1和特殊的抛物线y2=2x。所以我们只要研究圆、双曲线x2y2=1和抛物线y2=2x的相应性质,利用其平行性、结合性、简比、面积比等仿射性质,其对应的椭圆、双曲线、抛物线的性质就相应知道了,从而能取得事半功倍的效果。一、利用仿射性质解决一些圆锥曲线的最值问题。 例:求椭圆的内接三角形面积的最大值。解:如图,设此椭圆可以由一圆经过仿射变换T后得到的。设圆的半径为r,椭圆的长、短半轴分别为a、b,则椭圆的面积为ab,且圆内接三角形面积最大的为圆内接正三角形,面积为r2。根据仿射变换的性
3、质 =常量即=,则=ab为所求的最大值。同理,此结论可以推广到求椭圆的内接矩形的最大值。例:求证椭圆的最大内接矩形的面积为2ab 。(此题留给读者自己证明)二、利用仿射几何的基本性质证明一些定值问题。例:C为双曲线的实轴AB所在直线上的一定点,直线CTOY轴,P是双曲线上不同于A、B任一点,直线AP、BP与CT分别交于M、N两点,求证CMCN为定值。证明:由仿射性质可知,此题只要对等轴双曲线x2y2=1进行证明即可。如图,等轴双曲线x2y2=1中,设P(sec, tan),A(-1,0)y M O T P B Ox C A N 直线PA的方程:y=(x+1)直线CT的方程:x=d由、得:y=(
4、d+1)故CM=(d+1)同理:CN=(d-1)所以CMCN=( d2-12) = d2- 1 (定值)由仿射性质,可知对于一般双曲线有CMCN=定值再如:若C为抛物线y2=2px(p0)的对称轴所在直线上的一定点,直线CTOY轴,P为抛物线上不同于顶点O的任意一点,直线OP与CT交于M点,直线PNOx轴与CT交于N点。试证CMCN为一定值。(图如下)本题证明由读者自行完成。三、利用仿射几何的基本性质证明一些平行问题。例:已知A、B分别为椭圆在横轴、纵轴上的顶点,C为线段AB的中点,求证过直线OC与椭圆的交点的切线平行于AB。证明: 如图,设此椭圆可以由一圆经过仿射变换T后得到,显然,在圆O中
5、,OCAB,ODL1,OEL2所以ABL1L2因为平行性为仿射不变性,故ABL1L2即过直线OC与椭圆的交点的切线平行于AB。四、利用仿射的性质求一些轨迹的问题。例:椭圆的内接ABC,它的边BC与长轴重合,A在椭圆上运动,求ABC的重心的轨迹。解:设此椭圆可以由一圆经仿射变换T后得到,显然,在圆中,满足此条件的点的轨迹是以O为圆心,以 OA为半径所画的圆。因此,在椭圆中是以O为中心,其长、短半轴分别为原椭圆长、短半轴的的椭圆。参考文献: 仿射几何及其在初等几何中的应用 李冠堂 李厚荣 梁康健编著辽宁教育出版社 圆锥曲线 王儒钲 编著 山东教育出版社 高中数学复数与平面解析几何 马顺业 王 剑 主编 金盾出版社6