1、线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角
2、线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n2）范德蒙德行列式数学归纳法证明8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|B|（3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值1、2、n，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）
3、克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=AT+BT（2）（kA）T=kAT（3）（AB）T=BTAT（4）|
4、A|T=|A|（5）（AT）T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|04、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/kA-1 (k0)（2）（AB）-1=B-1A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（AT）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A为数字矩阵：（A|E）初等行变换（E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E经过
5、一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）（四）矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O（2）r（Ann）=n（满秩） |A|0 A可逆；r（A）n|A|=0A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、n-1）r阶子式非零且所有r+1子式均为0。10、秩的性质：（7条）（1）A为mn阶矩阵，则r（A）min（m,n）
6、（2）r（AB）r（A）（B）（3）r（AB）minr（A），r（B）（4）r（kA）=r（A）（k0）（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）设A是mn阶矩阵，B是ns矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）n11、秩的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A为数字矩阵：A初等行变换阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数（五）伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：（8条）（1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1（2）（kA）*=kn-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A
7、|n-1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A| n-2A（8）r（A*）=n （r（A）=n）； r（A*）=1 （r（A）=n-1）； r（A*）=0 （r（A）n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆：3 向量（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（，）=T=T2、长度定义： |= 3、正交定义：（，）=T=T=a1b1+a2b2+anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=1（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量可由1
8、，2，s线性表示(1)非齐次线性方程组（1，2，s）（x1，x2，xs）T=有解。(2)r（1，2，s）=r（1，2，s，）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若1，2，s线性无关，1，2，s，线性相关，则可由1，2，s线性表示。7、线性表示的求法：（大题第二步）设1，2，s线性无关，可由其线性表示。（1，2，s|）初等行变换（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）线性相关=0（2）1，2线性相关1，2成比例9、线性相关的充要条件：向量组1，2，s线性相关（1）有
9、个向量可由其余向量线性表示；（2）齐次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0有非零解；（3）r（1，2，s）s 即秩小于个数 特别地，n个n维列向量1，2，n线性相关（1） r（1，2，n）n（2）|1，2，n |=0（3）（1，2，n）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组1，2，s 线性无关（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）齐次方程（1，2，s）（x1，x2，xs）T=0只有零解（3）r（1，2，s
10、）=s特别地，n个n维向量1，2，n 线性无关r（1，2，n）=n |1，2，n |0 矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。（2）若n维列向量1，2，3 线性无关，1，2，3 可以由其线性表示，即（1，2，3）=（1，2，3）C，则r（1，2，3）=r（C），从而线性无关。r（1，2，3）=
11、3 r（C）=3 |C|0（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数注:向量组1，2，s 的秩与矩阵A=（1，2，s）的秩相等16、极大线性无关组的求法（1）1，2，s 为抽象的：定义法（2）1，2，s 为数字的：（1，2，s）初等行变换阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若1，2，n 与1，2，n 是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（1，2，n）=（1，2，n）Cnn其中，C是从基1，2，n 到1，2，n 的过
12、渡矩阵。C=（1，2，n）-1（1，2，n）18、坐标变换公式：向量在基1，2，n与基1，2，n 的坐标分别为x=（x1，x2，xn）T，y=（y1，y2，yn）T，即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基1，2，n 到1，2，n 的过渡矩阵。C=（1，2，n）-1（1，2，n）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化设1，2，3 线性无关（1）正交化令1=1（2）单位化4 线性方程组（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式： (1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（1，2
13、，n）2、解的定义：若=（c1，c2，cn）T满足方程组Ax=b，即A=b，称是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）（2）有非零解r（A）n4、非齐次方程组：（1）无解r（A）r（A|b）r（A）=r（A）-1（2）唯一解r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解r（A）=r（A|b）n5、解的性质：（1）若1，2是Ax=0的解，则k11+k22是Ax=0的解（2）若是Ax=0的解，是Ax=b的解，则+是Ax=b的解（3）若1，2是Ax=b的解，则1-2是Ax=0的解【推广】（1）设1，2，s是Ax=b的解，则k
14、11+k22+kss为 Ax=b的解 （当ki=1） Ax=0的解 （当ki=0）（2）设1，2，s是Ax=b的s个线性无关的解，则2-1，3-1，s-1为Ax=0的s-1个线性无关的解。变式：1-2，3-2，s-22-1，3-2，s-s-1（三）基础解系6、基础解系定义：（1）1，2，s 是Ax=0的解（2）1，2，s 线性相关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。7、重要结论：（证明也很重要）设A施mn阶矩阵，B是ns阶矩阵，AB=O（1）B的列向量均为方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）n
15、（第2章，秩）8、总结：基础解系的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A为数字的：A初等行变换阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，1，2，n-r 为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k11+k22+kn-rn-r （其中k1，k2，kn-r为任意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，1，2，n-r 为Ax=0的基础解系，为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为+ k11+k22+kn-rn-r （其中k1，k2，kn-r为任意
16、常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：如果既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解 有非零解 13、重要结论（需要掌握证明）（1）设A是mn阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）（2）设A是mn阶矩阵，r（A）=n，B是ns阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）5 特征值与特征向量（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义： 设A为n阶矩阵，如果存在数及非零列向量，使得A=，称是矩阵A属于特征值的特征向量。2、特征多项式、特征方程的定义：
17、|E-A|称为矩阵A的特征多项式（的n次多项式）。|E-A |=0称为矩阵A的特征方程（的n次方程）。注:特征方程可以写为|A-E|=03、重要结论：（1）若为齐次方程Ax=0的非零解，则A=0，即为矩阵A特征值=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，1)T为特征值为k的特征向量。（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|E-A|=0，得矩阵A的n个特征值1，2，n注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作1=2=s=实数，不能省略)（
18、2）解齐次方程（iE-A）=0，得属于特征值i的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（iE-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1n-r（iE-A）ki（3）设A的特征值为1，2，n，则|A|=i，i=aii（4）当r（A）=1，即A=T，其中，均为n维非零列向量，则A的特征值为1=aii=T=T，2=n=0（5）设是矩阵A属于特征值的特征向量，则Af（A）ATA-1A*P-1AP（相似）f（）-1|A|-1/P-1（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作
19、AB8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP= ，称A可相似对角化。注：Ai=ii（i0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值i的特征向量10、相似对角化的充要条件（1）A有n个线性无关的特征向量（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量11
20、、相似对角化的充分条件：（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）（2）A为实对称矩阵12、重要结论：（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数（四）实对称矩阵13、性质（1）特征值全为实数（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=6 二次型（一）二次型及其标准形1、二次型： （1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，xn）=
21、d1x12+d2x22+dnxn2 这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形1y12+2y22+nyn2 其中，1，2，n 是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，i与i 对应即可。（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+zp2-zp+12-zp+q2称为二次
22、型的规范形。5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）相同的正负惯性指数相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x
23、TAx，如果任意x0，恒有xTAx0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。9、n元二次型xTAx正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型xTAx正定必要条件：（1）aii0（2）|A|011、总结：二次型xTAx正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：证A为实对称矩阵：AT=A；再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k0），Ak，AT，A-1，A*正定（2）若A、B
24、均为正定矩阵，则A+B正定线性代数行列式经典例题例1计算元素为aij = | ij|的n阶行列式.解 方法1 由题设知，=0，故其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行第二步用的每列加第列方法2 =例2. 设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y2前的系数. 于是= 所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D= 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D= x D+（1）a = x D+ a由于D= x + a，于是D= x D+ a=x（x D+a）+ a=xD+ ax + a= xD+ ax+
25、 ax + a=方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，第n列的x倍分别加到第1列上 =方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式D x k= x( + +a+x)=方法4 + + =（1）（1）a+（1）（1） ax+（1）（1）ax +（1）( a+x) x = 例4 计算n阶行列式： ()解 采用升阶（或加边）法该行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素 =这个题的特殊情形是=可作为公式记下来例5计算n阶“三对角”行列式D=解 方法1 递推法DDDD即有递推关系式 D=DD (n3)故 递推得到 而，代入得 （2.1）由递推公式得D 方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=上式右端第一个行列式等于D，而第二个行列式=于是得递推公式，已与（2.1）式相同方法3 在方法1中得递推公式D=DD又因为当时 D=D= =-2= =于是猜想，下面用数学归纳法证明当n=1时，等式成立，假设当nk 时成立当n=k+1是，由递推公式得D=DD =所以对于nN，等式都成立例6 计算阶行列式： 其中解 这道题有多种解法方法1 化为上三角行列式其中，于是方法2 升阶（或加边）法方法3 递推法将改写为+由于 因此=为递推公式，而，于是=
