1、实数典型问题精析（培优）例1（2009年乌鲁木齐市中考题）的相反数是（ ）A BC D分析：本题考查实数的概念相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a的相反数是-a，选A.要谨防将相反数误认为倒数，错选D.例2（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；第3个数：；第个数：那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ）A第10个数B第11个数C第12个数D第13个数解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10
2、个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是，只要比较被减数即可，即比较的大小，答案一目了然.例3（荆门市）定义aba2b，则(12)3.解因为aba2b，所以(12)3(122)3(1)3(1)232.故应填上2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号.例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉
3、斯学派把1、3、6、10、，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（ ）A.133+10B.259+16C.3615+21D.4918+314=1+3 9=3+6 16=6+10解因为15和21是相邻的两个“三角形数”，且和又是36，刚好符合“正方形数”，所以3615+21符合题意，故应选C.（说明本题容易错选B，事实上，25虽然是“正方形数”，而9和16也是“正方形数”，并不是两个相邻“三角形数”）.例5（2009年荆门市中考题）若，则xy的
4、值为（ ）A1 B1 C2 D3分析：因为x-10，1-x 0，所以x1，x 1，即x1.而由，有1+y0，所以y-1，xy1-（1）2.例6（2009年宜宾市中考题）已知数据：，2其中无理数出现的频率为( )A20 B40 C60 D80分析：，和开方开不尽的数，所以和都是无理数；是无限不循环小数，也是无理数；而，-2都是有理数，所以无理数出现的频率为0.660，选C例7(2009年鄂州市中考题)为了求的值，可令S，则2S ，因此2S-S，所以仿照以上推理计算出的值是（ ）A B. C. D.解析：本题通过阅读理解的形式介绍了解决一类有理数运算问题的方法，利用例题介绍的方法，有：设S，则5S
5、，因此5S-S-1，所以S，选D.说明：你能从中得到解决这类问题的一般性规律吗？试一试.例8 （2009年枣庄市中考题）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：2的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则 解析：首先要理解差倒数的概念，再按照要求写出一列数，从中找出规律，再应用规律来解决问题.根据题意可得到：，4，可见这是一个无限循环的数列，其循环周期为3，而20096693+2，所以a2009与a2相同，即典型例题的探索（利用概念）例3. 已知：是的算术数平方根，是立方根，求的平方根。分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立解方程组，得：代入已知条件得：
6、，所以故MN的平方根是。练习：1. 已知，求的算术平方根与立方根。2. 若一个正数a的两个平方根分别为和，求的值。（大小比较）例4. 比较的大小。分析：要比较的大小，必须搞清a的取值范围，由知，由知，综合得，此时仍无法比较，为此可将a的取值分别为；三种情况进行讨论，各个击破。当时，取，则，显然有当时，当时，仿取特殊值可得（利用取值范围）例5. 已知有理数a满足，求的值。分析：观察表达式中的隐含条件，被开方数应为非负数即，亦即，故原已知式可化为：练习： 若x、y、m适合关系式，试求m的值。（思路：x-2005+y与2005-x-y互为相反数，且均有算术平方根，故二者分别为0）（规律探索）例6.
7、借助计算器计算下列各题：（1）（2）（3）（4）仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？分析：利用计算器计算得：（1），（2）（3），（4）观察上述各式的结果，容易猜想其中的规律为：个1与n个2组成的数的差的算术平方根等于n个3组成的数。即实数思想方法小结实数是整个数学学科的基础，对于初学者来讲，有些概念比较抽象、难懂，但是，如果我们运用数学的思想方法来指导本章的学习，却会收到良好的效果那么，在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算能力是一种重要的数学思维方法，估算思想就是在处理问题时，采用估算的方法达到问题解决的目的，在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范
8、围等问题时，常用到估算的方法进行解决。例1估计1的值是（ ）（A）在2和3之间（B）在3和4之间（C）在4和5之间（D）在5和6之间分析：此题主要考查学生的估算能力，首先要确定的取值范围，在估算1的取值范围。因为91016，所以，即34，4+15，从而可确定1的取值范围。解：选C.二、数形结合思想所谓数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来的一种方法。通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的。在数轴上表示实数，根据数轴上的数进行有关的计算等都能体现数形结合思想的重要作用。例2如图1，数轴上点表示，点关于原点的对
9、称点为，设点所表示的数为，求的值分析：此题是与数轴有关的数形结合的问题，要求的值，需要先根据数轴确定x的值，由数轴易得 从而可求出代数式的值。解：点表示的数是，且点与点关于原点对称，点表示的数是，即三、分类思想所谓分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结做出结论的思想方法。按照不同的标准，实数会有一些不同的分类方法。例3在所给的数据:0.585885888588885(相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( ).(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个解析：作此类题需要掌握实数的分类.判断一个数是哪类数，可以化
10、简后再判断，但是对于代数式分类判断，则不能化简后再判断，如是分式，对于数、式分类时，常用策略是：“数看结果，式看形式”.；显然、0.57都是有理数;所以无理数的个数为3.选B.解释理由如下：平方根典例分析平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.一、基本题型例1 求下列各数的算术平方根（1）；（2）；（3）.分析：根据算术平方根的定义，求一个数的算术平方根可转化为求一个数的平方等于的运算，更具体地说，就是找出平方后等于的正数.解：（1）因为，所以的算术平方根是，即；（2）因为，所以的
11、算术平方根是，即；（3）因为，又，所以的算术平方根是，即.点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似的错误.想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.分析：表示的平方根，故其结果是一对互为相反数；表示的负平方根，故其结果是负数；表示的算术平方根，故其结果是正数；表示的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为，所以=9.（2）因为，所以.（3）因为=，所以=.（4）因为，所以.点评：弄清与平方根有关的三种符
12、号、的意义是解决这类问题的关键.表示非负数的平方根.表示非负数的算术平方根，表示非负数的负平方根.注意.在具体解题时，符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.例3 若数的平方根是和，求的值.分析：因负数没有平方根，故必为非负数，故本题应分两种情况来解.解： 因为负数没有平方根，故必为非负数.（1）当为正数时，其平方根互为相反数，故（）+（）=，解得，故=，从而.（2）当为时，其平方根仍是，故且，此时两方程联立无解.综上所述，的值是.二、创新题型例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，则的值应是多少？有下面的解题过程：和都是算术平方根，故两者的被开
13、方数都是非负数,而和是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即=0，=0，故.问题：已知求的值.解：由阅读材料提供的信息，可得故. 进而可得.故=.点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.（穿墙术）例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第、个式子.；.分析：要写出第、个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第、个式子的被开方数应该分别是64和80.解：；.点评：这是一个探究性问
14、题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！平方根概念解题的几个技巧平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a0时，a的平方根是，即a是非负数. 例1、若求yx的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2x0,得x2;x20,得x2;进一步可得x=2.从而可求出y=6. 解 , x=2; 当x=2时,y=6.
15、yx=(6)2=36. 所以yx的立方根为. 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a0时，a的平方根是，而例2、已知：一个正数的平方根是2a1与2a，求a的平方的相反数的立方根.分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a1)+(2a)=0,从而可求出a=1,问题就解决了.解 2a1与2a是一正数的平方根,(2a1)+(2a)=0, a=1. a的平方的相反数的立方根是三、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.例3、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.（即负的平方根）分析 y=,要y最小
16、，就是要和最小，而0，0，显然是=0和=0，可得a=2,b=1.解 0，0，y=，=0和=0时，y最小.由=0和=0，可得a=2,b=1. 所以ba的非算术平方根是四、巧用平方根定义解方程.我们已经定义:如果x2=a （a0）那么x就叫a的平方根.若从方程的角度观察,这里的x实际是方程x2=a （a0）的根.例4、解方程（x+1）2=36.分析 把x+1看着是36的平方根即可.解 （x+1）2=36 x+1看着是36的平方根. x+1=6. x1=5 , x2=7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x+1)3=64这个方程呢?不妨试一试.利用平方根的定义
17、及性质解题如果一个数的平方等于a（a0），那么这个数是a的平方根根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题（例1与例2区别）例1 已知一个数的平方根是2a1和a11，求这个数分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数互为相反数的两个数的和为零解：由2a1+a11=0，得a=4，所以2a1=241=7所以这个数为72=49例2 已知2a1和a11是一个数的平方根，求这个数分析：根据平方根的定义，可知2a1和a11相等或互为相反数当2a1=a11时，a=10，所以2a1=21，这时所求得数为(21)2=441;当2a1+a11=0时,a=4,所以2a1=7,这时所求得数
18、为72=49.综上可知所求的数为49或441.（区别：类似3是9的平方根，但9的平方根不是3，是+3、-3.）例3 已知2x1的平方根是6,2x+y1的平方根是5,求2x3y+11的平方根.分析:因为2x1的平方根是6,所以2x1=36,所以2x=37;因为2x+y1的平方根是5,所以2x+y1=25,所以y=262x=11,所以2x3y+11=373(11)+11=81,因为81的平方根为9,所以2x3y+11的平方根为9.例4 若2m4与3m1是同一个数的平方根，则m为（ ）（A）3 （B）1 （C）3或1 （D）1分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m4=3m1，此时，m
19、=3；（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m4）+（3m1）=0，解得m=1所以选（C） 练一练:1. 已知x的平方根是2a13和3a 2,求x的值.2. 已知2a13和3a2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15,求x+y的平方根.答案:1.49;2. 49或1225; 3.从被开方数入手二次根式中被开方数的非负性，时常是求解二次根式问题的重要隐含条件。从被开方数入手，将会使很多问题迎刃而解。一、确定二次根式有意义例1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D.分析：二次根式的两个基本特征是带二次根号“”，被开方数必为非负数。A中被开方数
20、为负数；B中不带“”，而是“”；D中被开方数的正负无法确定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被开方数恒大于0，且带“”，故选（C）。例2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 分析：使二次根式在实数范围内有意义，必有被开方数大于等于0。如果式子中含有分母，分母不能为0。解：由2，当时，式有意义；由2x10（分母2x10）x ， 当x时，式有意义；由x10，x20，x1且x2 ，当x1且x2时，式有意义；由于( x3)0，x取任何实数时，式都有意义。二、含有相反数的被开方数根式的化简与求值例3.已知y=，求（xy64）的算术平方根。分析：由被开方数x7，7x互为相反数，且均
21、需满足被开方数大于等于0。故x7=7x=0，由此求出x、y。解：由 x77x0，得x=7，y91例4.设等式在实数范围内成立。其中，m、x、y是互不相等的三个实数，求代数式的值。解：由mxy，xm0， ym0又被开方数 xm0 ， my0即ym0即有xm0，ym0而被开方数 m0将m=0代入等式，得 xy0下面两道练习题，同学们不妨试试。1.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 2.若y=，试求（4x2y）2010的值。实数大小进行比较的常用方法实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知
22、识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。方法一：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当ab0时，得到ab。当ab0时，得到ab。当ab0，得到a=b。例1：（1）比较与的大小。 （2）比较1与1的大小。解 0 ， 。解 （1）（1）=0 ， 11。方法二：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当1时，ab；当1时，ab；当=1时，a=b。来比较a与b的大小。例2：比较与的大小。解：=1 方法三：倒数法 倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当时，ab。来比较a
23、与b的大小。例3：比较与的大小。解=+ ， =+又+（超纲，不作要求）方法四：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a0，b0时，可由得到ab来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例5：比较与的大小解：， =8+2。又8+28+2 。方法五：估算法估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4：比较与的大小解：34 31 方法六：移动因式法（穿墙术）移动因式法的基本是思路是，当a0，b0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。例6：比较2与3的大小解
24、：2=，3=。又2827， 23。方法七：取特值验证法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。例7：当时，的大小顺序是_。解：（特殊值法）取=，则：=，=2。2，。例（常德市）设a20，b(3)2，c，d，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.解因为a201，b(3)29，c，d2，而129，所以cadb.故应选A.除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令
25、人满意的结果。无限循环小数可以化成分数我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几，很容易化为分数无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的但无限循环小数却可以化成分数，下面请看：探索（1）：把0.323232（即0.）化成分数分析：设x=0.32+0.0032+0.000032+ 上面的方程两边都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+ 得100xx=32 99x=32 x= 所以0323232= 用同样方法，我们再探索把0.，0.0化为分数可知0.=
26、，0.0=我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字探索（2）：把0.4777和0.325656化成分数分析：把小数乘以10得0.477710=4.777 再把小数乘以100得0.4777100=47.77 得0.47771000.477710=47 40.477790=43 0.4777= 所以 0.4777= 再分析第二个数0.325656化成分数把小数乘以100得0.325656100=32.5656 把小数10000得0.32565610000=3256.56
27、 得0.325656（10000100）=3256320.3256569900=3224 0.325656=同样的方法，我们可化0.17=，0. 3=我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n，分母中就有n个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.17化成分数的分子是172517=1708，0. 3化成分数的分子是3293=326用数形结合思想解实数中问题数形结合思想是一种重要的解题思想方法，它可以使较繁杂或难解的题目由繁变简，
28、化难为易，出奇制胜，下面举例说明用数形结合思想解实数中的问题。a0b图1例1 实数a、b在数轴上的位置如图1所示，那么化简|a+b|+的结果是（ ）A、2b B、2a C、2a D、2b分析：由图1可观察出b0，a0，a+b0，ba0然后可化简。解：观察图1实数a、b在数轴上的位置可判定b0，a0，a+b0，ba0，然后化简|a+b|+=（a+b）+ba=2a，故选C。点评：借用数轴判断出某些字母（数）的大小，然后化简是实数化简经常用的一种方法。例2 如图2，数轴上表示1、的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）（也可用中点坐标公式）01CAB图2A、1 B、1 C
29、、2 D、2分析：通过A、B两点所表示的数求出C点坐标解：我们知道实数和数轴上的点一一对应，由图2知，|OA|=1，|OB|=，从而|AB|=|OB|OA|=1又点B、点C关于点A对称|AC|=|AB|=1这时|OC|=|OA|AC|=1（1）=2即点C所表示的点为2，故选C。点评：本题借用数轴和点的对称性求出C点坐标。例3 某种零件的合格品规格为（）mm，其中有一个不合格零件与合格品的要求相差0.02mm，这个不合格零件的直径其最大的可能值与最小的可能值的差是 mm。 （分析：本题已知中不合格品的取值范围不明确，若构作数轴图3，选用原点O表示直径为50mm的合格品，A、B分别表示合格品波动的
30、上、下限，则C、D分别表示不合格品波动的上、下限，易得答案）解 依题意作数轴如图3，选用原点O表示直径为50mm的合格品，A、B分别表示合格品波动的上、下限，则C、D分别表示不合格品波动的上、下限，则|CD|=|0.06（0.05）=0.11（mm）。00.040.06-0.03-0.05ACBD图3点评：有些实际问题不好解决时，借用数轴可出奇制胜。例4 化简：|a+2|2a3|（零点分段讨论法）分析：2、将数轴分为三部分，应讨论化简解：依题意作图如4所示，0-2图4当a2时，|a+2|2a3|=a2+2a3=a5当2a时，|a+2|2a3|=a+2（32a）=3a1当a时，|a+2|2a3|=a+2（2a3）=a+5。点评：将使绝对值里为0的数(零点)标在数轴上，可将实数分为几部分，然后进行讨论。
