1、第三章 离散傅里叶变换,DFT: Discrete Fourier Transform,学习目标,理解傅里叶变换的几种形式了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系了解频域抽样理论理解频谱分析过程了解序列的抽取与插值过程,作业练习,P132: 345(1)(2)(3)68910111214192026,一、Fourier变换的几种可能形式,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,连续时间、连续频率傅里叶变换,时
2、域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。,连续时间、离散频率傅里叶级数,时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的,四种傅里叶变换形式的归纳,傅里叶变换,傅里叶级数,序列的傅里叶变换,离散傅里叶变换,(DFS：离散傅里叶级数，DTFT：序列的傅里叶变换，DFT：离散傅里叶变换）,二 、周期序列的DFS及其性质,周期序列的
3、DFS正变换和反变换：,其中：,可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面单位圆上按等间隔角 抽样得到,DFS的性质,1、线性：,其中， 为任意常数,若,则,2、序列的移位,3、调制特性,4、周期卷积和,若,则,同样，利用对称性,若,则,三、离散傅里叶变换（DFT）,同样：X(k)也是一个N点的有限长序列,有限长序列的DFT正变换和反变换：,其中：,x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；,x(n)的DTFT在区间0，2上的N点等间隔抽样。,(DFT：离散傅里叶变换，DTFT：离散时间信号的傅里叶变换）,四、离散傅里叶变换的性质,DFT正变换和反变换：,1、
4、线性：,这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且,若,则,2、序列的圆周移位,定义：,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。,调制特性：,时域序列的调制等效于频域的圆周移位,3、共轭对称性,其中：,共轭反对称分量：,共轭对称分量：,任意周期序列：,定义：,则任意有限长序列：,圆周共轭反对称序列：,圆周共轭对称序列：,圆周共轭对称序列满足：,圆周共轭反对称序列满足：,同理：,其中：,序列 DFT,共轭对称性,序列 DFT,实数序列的共轭对称性,纯虚序列的共轭对称性,序列 DFT,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序
5、列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:,4、复共轭序列,5、DFT形式下的Parseval定理,6、圆周卷积和,若,则,圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加,N,N,N,同样，利用对称性,若,则,7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积,线性卷积：,讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：,对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；,对x2(n)周期延拓：,圆周卷积：,N,小结：线性卷积求解方法,时域直接求解,z变换法,DFT法,8、线性相关与圆周相关,线性相关：,自相关函数：,相关函数不满足交换率：,相关函数的z变换：,相关函数的频谱：,圆周相
6、关定理,当 时，圆周相关可完全代表线性相关,类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系,六 、抽样z变换频域抽样理论,时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。,频域抽样呢？,抽样条件？,内插公式？,x(n)为无限长序列混叠失真x(n)为有限长序列，长度为M,由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。,所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓,频率采样定理,若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。,用频域采样 表示 的内插公式,用频
7、域采样 表示 的内插公式,七 、用DFT对模拟信号作频谱分析,信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换,对连续时间非周期信号的DFT逼近,1）将 在 轴上等间隔（T）分段,2）将 截短成有限长序列,3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 ，时域周期延拓， 周期为,对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域抽样2）时域截断3）频域抽样,近似逼近：,对连续时间周期信号的DFS逼近,1）将 在 轴上等间隔（T）分段,2）频域截断：长度正好等于一个周期,近似逼近：,频率响应的混叠失真及参数的选择,同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。,信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾,1-14 有一调幅
8、信号用DFT做频谱分析，要求能分辨 的所有频率分量，问(1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）?(2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）?(3)抽样点数应为多少点？(4)若用 频率抽样，抽样数据为512点，做频谱分析，求 ，512点，并粗略画出 的幅频特性 ，标出主要点的坐标值。,（1）抽样频率应为,解：,（2）抽样时间间隔应为,频谱泄漏,改善方法：,对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏,1）增加x(n)长度,2）缓慢截短,栅栏效应,改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密,DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数,频率分辨率,提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率,八 、序列的抽取与插值,信号时间尺度变换（抽样频率的变换）抽取：减小抽样频率插值：加大抽样频率,1、序列的抽取,将x(n)的抽样频率减小D倍每D个抽样中取一个，D为整数，称为抽样因子,相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样,序列域直接抽取：,时域序列乘脉冲串,2、序列的插值,将x(n)的抽样频率增加I倍相邻两点之间等间隔插入 I-1个零点，I 称为插值因子,3、比值为有理数的抽样率转换,将x(n)的抽样频率增加 I /D 倍先插值 I 倍，再作D倍抽取,
