1、朗培教育椭圆专题解析1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时, 的轨迹为椭圆 ; ; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为 以为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样
2、的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(ac);(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆
3、于A、B两点，则ABF2的周长为（ ）A.3 B.6 C.12 D.24解析C. 长半轴a=3，ABF2的周长为4a=122.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-1-2=7题型2 求椭圆的标准方程 例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转
4、化出参数的数量关系警示易漏焦点在y轴上的情况【新题导练】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.解析(0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则2，即k0，0k0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴
5、的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 ，选A.15. 如图，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得动点P的轨迹方程为，则曲线E方程为（2）直线MN的方程为由方程有两个不等的实数根MBN是钝角即解得：又
6、M、B、N三点不共线综上所述，k的取值范围是基础巩固训练1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) A B C D 解析 B . 2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为A、0B、1C、2D、3解析 A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0， 3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 A B C D解析 D. ,两式相减得：，4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 解析5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _. 解析 三角形三边的比是6.在平面直
7、角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 解析综合提高训练7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率求椭圆方程解析直线l的方程为：由已知由得：，即由得：故椭圆E方程为8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的值。解析（1）点是线段的中点 是的中位线又 椭圆的标准方程为=1 （2）点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点ACBC2a，AB2c2
8、在ABC中，由正弦定理， 9. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解析 ()由题意可得点A,B,C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是.椭圆的标准方程是()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.设M,N两点的坐标分别为联立方程: 消去整理得, 有若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,所以,即所以, 即 得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 参考例题：1、从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.解析 、 ，,， 又，, 而. 、为准线方程，, 由 所求椭圆方程为2、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，若，证明：的面积只与椭圆的短轴长有关 解析由 得，命题得证
