1、二次函数经典难题（含精解）一选择题（共1小题）1顶点为P的抛物线y=x22x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则PAB的面积为（）A1B2C3D6二填空题（共12小题）2作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）21，则抛物线C1所对应的函数解析式是_3抛物线关于原点对称的抛物线解析式为_4将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180，则旋转后的抛物线解析式是_5如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H
2、同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为_6如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_7抛物线y=ax2+bx+c经过直角ABC的顶点A（1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在ABC的内部（不包括边界），则a的范围是_8已知抛物线y=x26x+a的顶点在x轴上，则a=_；若抛物线与x轴有两个交点，则a的
3、范围是_9抛物线y=x22x+a2的顶点在直线y=2上，则a=_10若抛物线y=x22x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是_11若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是_12如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则ac的值是_13抛物线y=ax2+bx1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为_三解答题（共17小题）14已知抛物线C1的解析式是y=2x24x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式15将抛物线C1：y=（x+1）22绕点P（t，2）旋转180得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛
4、物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式16如图，抛物线y1=x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标_；（2）阴影部分的面积S=_；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式17已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线（1）请直接写出抛物线y=2x24x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式_，伴随直线的解析式_；（
5、2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=x23和y=x3，则这条抛物线的解析式是_；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2x10，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD请求出a、b、c应满足的条件18设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式19已知抛
6、物线C：y=ax2+bx+c（a0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点（1）如图1，若AOB=60，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180得到抛物线C，求抛物线C、C的解析式；（3）在（2）的条件下，设A为抛物线C的顶点，求抛物线C或C上使得PB=PA的点P的坐标20如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且CBO=60，CAO=45，求抛物线的解析式和直线BC的解析式21已知：如图，抛物线y=x2+bx+c经过直线y=x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，
7、抛物线的顶点为D（1）求此抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得ABM的面积与ABD的面积相等的点M的坐标22已知抛物线的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式23如图，抛物线y=x2+bxc经过直线y=x3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使SAPC：SACD=5：4的点P的坐标24已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二
8、次项系数为（a0）（）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；（）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ONBM的值为常数？（）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x上，请说明理由25如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）25的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C
9、2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式26如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（3，0），B（1，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围27如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA（1）求抛物线的解析式； （2）若点C（3，b）在该抛物线上，求SABC的值28如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直
10、线l：y=x5上（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状29如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线（1）已知抛物线a：y=x22x+1判断下列抛物线b：y=x22x+2，c：y=x2+4x3与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：y=x22x+1绕点P（t，2）旋转180得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；（3）M为抛物线a；y=x22x+1的顶点，Q为抛物线a的交融
11、抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使其直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题30如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=时，y取最大值（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且SABP：SBPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：是否存在a的值，使得MON=90
12、？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由猜想当MON90时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1顶点为P的抛物线y=x22x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则PAB的面积为（）A1B2C3D6考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析：根据题目意思，求出A和B的坐标，再求三角形的面积则可解答：解：当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x22x+3
13、=（x1）2+2，把它绕顶点P旋转180得到一个新的抛物线是y=（x1）2+2=x2+2x+1，x=0时，y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），PAB的面积=2（32）=1故选A点评：本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力，难度较大二填空题（共12小题）2作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）21，则抛物线C1所对应的函数解析式是y=2（x1）2+2考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有专题：应用题分析：根据题意易得抛物线C的顶点，进而可得到抛物线
14、B的坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式解答：解：根据题意易得抛物线C的顶点为（1，1），是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，抛物线B的坐标为（1，2），可设抛物线B的坐标为y=2（xh）2+k，代入得：y=2（x1）22，易得抛物线A的二次项系数为2，顶点坐标为（1，2），抛物线A的解析式为y=2（x1）2+2，故答案为y=2（x1）2+2点评：本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，
15、关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中3抛物线关于原点对称的抛物线解析式为考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析：根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可解答：解：关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，抛物线y=x2+x+2关于原点对称的抛物线的解析式为：y=（x）2+（x）+2，即y=x2+x2故答案为：y=x2+x2点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键4将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180，则旋转后的抛物线解析式是y=x21考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有
16、分析：根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可解答：解：根据题意，y=（x）2+1，得到y=x21故旋转后的抛物线解析式是y=x21点评：考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式5如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为55考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：首先建立平面坐标系：过点G作GMx轴于点M，进而得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用FG+MG=10，进而求出即可解答：解：如图建立平面坐标系：过点G作GMx轴于点M，设抛物线解析式为：y=ax2
17、，正方形ABCD边长为10，B点坐标为：（5，10），将B点代入y=ax2，则10=25a，解得：a=，设G点坐标为：（a，a2），则GF=2a，MG=10GF，即a2=102a，整理的：a2+5a25=0，解得：a1=，a2=（不合题意舍去），正方形EFGH的边长FG=2a=55故答案为：55点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键6如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、
18、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为考点：列表法与树状图法；抛物线与x轴的交点菁优网版权所有分析：由系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，可得系数a、b、c为：0，1，1；然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案解答：解：系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，系数a、b、c为：0，1，1；画树状图得：共有18种等可能的结果，该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有：（1，0，1），（1，0，1），该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为：=故答案为：
19、点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比7抛物线y=ax2+bx+c经过直角ABC的顶点A（1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在ABC的内部（不包括边界），则a的范围是a0或0a考点：二次函数的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再求出ACO和CBO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，利用ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ，设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x4），
20、整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可解答：解：点A（1，0），B（4，0），OA=1，OB=4，易得ACOCBO，=，即=，解得OC=2，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0），B（4，0），对称轴为直线x=，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，则BQ=4=2.5，tanABC=，即=，解得PQ=，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x4），则y=a（x23x4）=a（x）2a，当点C在y轴正半轴时，0a，解得a0，当点C在y轴负半轴时，a0，解得0a，所以，a的取值范围是a0或0a故答案为：a0或0a点评：本题考查了二次函数的性质，相
21、似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论8已知抛物线y=x26x+a的顶点在x轴上，则a=9；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是a9考点：抛物线与x轴的交点菁优网版权所有分析：顶点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点，则判别式等于0，若抛物线与x轴有两个交点，则0，据此即可求解解答：解：=364a，则定点在x轴上，则364a=0，解得：a=9；抛物线与x轴有两个交点，则364a0，解得：a9故答案是：9；a9点评：本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果=0，与x轴有
22、一个交点；如果0，与x轴无交点9抛物线y=x22x+a2的顶点在直线y=2上，则a=2考点：待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义解答：解：因为抛物线的顶点坐标为（，）所以=2解得：a1=2，a2=1又因为要有意义则a0所以a=2点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a010若抛物线y=x22x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是4考点：二次函数的性质菁优网版权所有分析：根据抛物线顶点的横坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义解答：解：因为抛物线的顶点坐
23、标为（，），所以=2，解得：a1=4，a2=4，又因为要有意义，则a0，所以a=4故答案为4点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a011若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是2考点：二次函数的性质；二次函数的定义菁优网版权所有专题：计算题分析：先列出关于m的等式，再根据抛物线的顶点在x轴上方，求得m，所以只需令顶点纵坐标大于0即可解答：解：是抛物线，m22=2，解得m=2，抛物线的顶点在x轴上方08（m+2）0，m2，m=2故答案为：2点评：本题考查了二次函数的定义和性质，将函数与一元二次方程结合起来，有一定的综合性12如图，二次函数y=ax2+
24、c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则ac的值是2考点：二次函数的性质；正方形的性质菁优网版权所有分析：抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），由四边形ABCO是正方形，则C点坐标为标为（，），代入抛物线即可解答解答：解：抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，COB=90，CO=BC，COB是等腰直角三角形，C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，C点坐标为（，），将点C代入抛物线方程中得ac=2故答案为：2点评：本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案13抛物
25、线y=ax2+bx1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为10考点：二次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有专题：整体思想分析：把点（2，5）代入抛物线求出2a+b的值，然后整体代入进行计算即可得解解答：解：抛物线y=ax2+bx1经过点（2，5），4a+2b1=5，2a+b=3，6a+3b+1=3（2a+b）+1=33+1=10故答案为：10点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想三解答题（共17小题）14已知抛物线C1的解析式是y=2x24x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式考
26、点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析：利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可解答：解：抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即y=2x24x+5，因此所求抛物线C2的解析式是y=2x2+4x5点评：利用轴对称变换的特点可以解答15将抛物线C1：y=（x+1）22绕点P（t，2）旋转180得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析：先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C
27、2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解解答：解：y=（x+1）22的顶点坐标为（1，2），绕点P（t，2）旋转180得到抛物线C2的顶点坐标为（2t+1，6），抛物线C2的解析式为y=（x2t1）2+6，抛物线C1的顶点在抛物线C2上，（12t1）2+6=2，解得t1=3，t2=5，抛物线C2的解析式为y=（x7）2+6或y=（x+9）2+6点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，难度较大，求出旋转后的抛物线C2的顶点坐标是解题的关键，也是本题的难点16如图，抛物线y1=x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标（1，2）；（2）阴
28、影部分的面积S=2；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析：直接应用二次函数的知识解决问题解答：解：（1）读图找到最高点的坐标即可故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=12=2；（6分）（3）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称所以抛物线y3的顶点坐标为（1，2），于是可设抛物线y3的解析式为：y=a（x+1）22由对称性得a=1，所以y3=（x+1）22（10分）点评：考查二次函数的相关知识，考查学生基础
29、知识的同时还考查了识图能力17已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线（1）请直接写出抛物线y=2x24x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式y=2x2+1，伴随直线的解析式y=2x+1；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=x23和y=x3，则这条抛物线的解析式是y=x22x3；（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线L与x轴交于A
30、（x1，0）、B（x2，0）两点，x2x10，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD请求出a、b、c应满足的条件考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题；新定义分析：（1）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标然后根据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式根据M，P两点的坐标即可求出直线PM的解析式；（2）由题意可知：伴随抛物线的顶点坐标是抛物线与y轴交点坐标，伴随抛物线与伴随直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的顶点，据此可求出抛物线的解析式；（3）方法同（1）；（4）本题要考虑的a
31、、b、c满足的条件有：抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点，因此0，由于抛物线L中，x2x10，因此抛物线的对称轴x0，两根的积大于0根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长，根据AB=CD可得出另一个需满足的条件综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件解答：解：（1）y=2x2+1，y=2x+1；（2）将y=x23和y=x3组成方程组得，解得，或则原抛物线的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点坐标为（0，3）设原函数解析式为y=n（x1）24，将（0，3）代入y=n（x1）24得，3=n（01）24，解得，n=1，则原函数解析式为y=（x1）24，即y=x22x3（3）伴随抛物线的
32、顶点是（0，c），设它的解析式为y=m（x0）2+c（m0），此抛物线过P（，），=m（）2+c，解得m=a，伴随抛物线解析式为y=ax2+c；设伴随直线解析式为y=kx+c（k0），P（，）在此直线上，k=，伴随直线解析式为y=x+c；（4）抛物线L与x轴有两交点，1=b24ac0，b24ac；x2x10，x2+x1=0，x1x2=0，ab0，ac0对于伴随抛物线有y=ax2+c，有2=0（4ac）=4ac0，由ax2+c=0，得x=C（，0），D（，0），CD=2，又AB=x2x1=，AB=CD，则有：2=，即b2=8ac，综合b2=8ac，b24ac0，ab0，ac0可得a、b、c需满足
33、的条件为：b2=8ac且ab0（或b2=8ac且bc0）点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系18设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据抛物线与x轴的交点的距离公式得到=2，解得m=3b3a2，则平移所得抛物线
34、的解析式为y=x2+2ax+4b3a2；（2）先确定y=x2+2ax+b的顶点坐标为（a，ba2），由于通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点，则可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b3a2），然后把（a，ba2）代入可求出t=解答：解：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m，根据题意得=2，解得m=3b3a2，所以平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+3b3a2=x2+2ax+4b3a2；（2）y=x2+2ax+b=（x+a）2+ba2，其顶点坐标为（a，ba2），新抛物线的表达式过抛物线y=x2+2ax+4b3a2与x轴两交点，可设新抛物线解析式为y=t（
35、x2+2ax+4b3a2），把（a，ba2）代入得ba2=t（a22a2+4b3a2），解得t=，所以新抛物线的表达式过抛物线y=x2+ax+ba2点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：=b24ac决定抛物线与x轴的交点个数；=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有
36、交点19已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点（1）如图1，若AOB=60，求抛物线C的解析式；（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180得到抛物线C，求抛物线C、C的解析式；（3）在（2）的条件下，设A为抛物线C的顶点，求抛物线C或C上使得PB=PA的点P的坐标考点：二次函数综合题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）先连接AB，根据A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，得出AO=AB，再根据AOB=60，得出ABO是等边三
37、角形，再过A作AEx轴于E，在RtOAE中，求出OD、AE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式；（2）先过A作AEOB于E，根据题意得出OE=OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C关于原点对称，从而得出抛物线C的解析式；（3）先作AB的垂直平分线l，分别交AB、x轴于M、N（n，0），由（2）知，抛物线C的顶点为A（2，2），得出AB的中点M的坐标，再作MHx轴于H，得出MHNBHM，则MH2=H
38、NHB，求出N点的坐标，再根据直线l过点M（1，1）、N（，0），得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA，从而得出P1，P2坐标，再根据抛物线C上也存在两点使得PB=PA，得出P3，P4的坐标，即可求出答案解答：解：（1）连接ABA点是抛物线C的顶点，且抛物线C交x轴于O、B，AO=AB，又AOB=60，ABO是等边三角形，过A作ADx轴于D，在RtOAD中，OD=2，AD=，顶点A的坐标为（2，）设抛物线C的解析式为（a0），将O（0，0）的坐标代入，求得：a=，抛物线C的解析式为（2）过A作AEOB于E，抛物线C：y=ax2+bx+c（a0）过原点和B（4，
39、0），顶点为A，OE=OB=2，又直线OA的解析式为y=x，AE=OE=2，点A的坐标为（2，2），将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a0）中，a=，抛物线C的解析式为，又抛物线C、C关于原点对称，抛物线C的解析式为；（3）作AB的垂直平分线l，分别交AB、x轴于M、N（n，0），由前可知，抛物线C的顶点为A（2，2），故AB的中点M的坐标为（1，1）作MHx轴于H，MHNBHM，则MH2=HNHB，即12=（1n）（41），即N点的坐标为（，0）直线l过点M（1，1）、N（，0），直线l的解析式为y=3x+2，解得在抛物线C上存在两点使得PB=PA，其坐标分别为P1（，），P2（，
40、）；解得，在抛物线C上也存在两点使得PB=PA，其坐标分别为P3（5+，173），P4（5，17+3）点P的坐标是：P1（，），P2（，），P3（5+，173），P4（5，17+3）点评：本题是二次函数的综合，其中涉及到的知识点有旋转的性质，点的坐标，待定系数法求二次函数等知识点，难度较大，综合性较强20（1999烟台）如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且CBO=60，CAO=45，求抛物线的解析式和直线BC的解析式考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式菁优网版权所有分析：根据抛物线的解析式，易求得C点的坐标，即可得到OC的长；可分
41、别在RtOBC和RtOAC中，通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式解答：解：由题意得C（0，）在RtCOB中，CBO=60，OB=OCcot60=1B点的坐标是（1，0）；（1分）在RtCOA中，CAO=45，OA=OC=A点坐标（，0）由抛物线过A、B两点，得解得抛物线解析式为y=x2（）x+（4分）设直线BC的解析式为y=mx+n，得n=，m=直线BC解析式为y=x+（6分）点评：此题主要考查的是用待定系数法求一次函数及二次函数解析式的方法21已知：如图，抛物线y=x2+bx+c经过直线y=x+3与坐标轴的两个交点A、B，此
42、抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D（1）求此抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得ABM的面积与ABD的面积相等的点M的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）先根据直线y=x+3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标，由于ABM和ABD同底，因此面积比等于高的比，即M点纵坐标的绝对值：D点纵坐标的绝对值=5：4据此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出M点的坐标解答：解：（1）直线y=x+3与坐标轴的两个交点坐标分别是A（3，0），B（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，c=39+3b+c=0，得到b=2，c=3，抛物线的解析式y=x2+2x+3（2）作经
