1、初中数学共圆问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)问题探究：一个班级的学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？怎样排？四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：（1） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；（2） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识（1） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；（2） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；（3） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的
2、内对角，则这四点共圆；（4） 若点在线段的同侧，且，则四点共圆；（5） 若线段交于点，且，则四点共圆；（6） 若相交线段上各有一点，且，则四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。1如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）AcmB5cmC6cmD10cm2正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定个不同的圆3如图，若AD、BE为ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID=4如图，在ABC中，AD，
3、BE分别是A，B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则ODE的内切圆半径为5如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC=BC求证：DC平分BDE6如图，BD，AH分别是ABC的高，求证：A、B、H、D四点共圆7等腰梯形ABCD中，ADBC，求证：A，B，C，D四个顶点共圆8如图，四边形ABCD中，B=D=90，点E为AC的中点，则A，B，C，D四点共圆吗？9如图所示，I为ABC的内心，求证：BIC的外心O与A、B、C四点共圆10如图，在ABC中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C四点共圆11O和H分别是ABC的外心和垂心，若BAC=60，求证：B、
4、0、H、C的共圆12如图，AB为O直径，BFAB，E为BF上一点，AE和AF交O于C和D，求证：C、D、F、E四点共圆13如图，在ABC中，AB=AC，延长CA到P，延长AB到Q，使AP=BQ，求证：ABC的外心O与A，P，Q四点共圆14如图，点F是ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD=AB，BE=EC证明：B、E、D、F四点共圆15如图，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是ABC的外心，证明C，E，O，F四点共圆16设ADE内接于圆O，弦BC分别交AD、AE边于点F、G，且AB=AC，求证：F、D、E、G四点共圆参考答案1（2016常州）如图，
5、把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）AcmB5cmC6cmD10cm【解答】解：如图，连接MN，O=90，MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm，MN=10（cm）该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm故选：B2（2006黄石）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定5个不同的圆【解答】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆3如图，若AD、BE为ABC的两条角平分
6、线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID=【解答】解：连接CI，AD、BE为ABC的两条角平分线，BAI=BAC，IBA=ABC，AIB=180BAIIBA，AIB=180（CAB+CBA），又ABC+CBA+ACB=180，AIB=90+C，C，D，I，E四点共圆，EID+ACB=180，又AIB=EID，90+C+C=180，ACB=60，I为内心，ICD=30，DE=1，=2R，R=，ID=，故答案为：4（2005温州校级自主招生）如图，在ABC中，AD，BE分别是A，B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则ODE的内切圆半径为3【解答
7、】解：作OFED于点F，AD，BE分别是A，B的角平分线，AOB=90+C，CO平分ACB，又DOE=AOB，DOE+C=180，C=60，DOE=AOB=120，又OD=OE，OED=ODE=30，FD=，tan30=，FO=，OD=OE=，ODE的周长为：2+3，ODE的面积为：3=，ODE的内切圆半径为=3故答案为：35如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC=BC求证：DC平分BDE【解答】证明：A，B，C，D四点共圆，2=1，3=ABC，AC=BC，1=ABC，2=3，DC平分BDE6如图，BD，AH分别是ABC的高，求证：A、B、H、D四点共圆【解答】证明：取AB的中点O，连接DO
8、、HO，BD，AH分别是ABC的高，DAB和HAB都是直角三角形，且它们的斜边都是AB，点O为斜边中点，DO=HO=AB=AO=BO，也就是说，点D、H、B在以O为圆心、OA为半径的圆上，即点D、H、B、A都在以O为圆心、以OA为半径的圆上，故可得：A、B、H、D四点共圆7等腰梯形ABCD中，ADBC，求证：A，B，C，D四个顶点共圆【解答】证明：如图：ABCD是等腰梯形，且ADBC，A=D，B=C，A+B=180A+C=B+D=180根据对角互补的四边形是圆的内接四边形，所以A，B，C，D四点共圆8如图，四边形ABCD中，B=D=90，点E为AC的中点，则A，B，C，D四点共圆吗？【解答】解
9、：A，B，C，D四点共圆，理由如下：连结DE在RtABC中，ABC=90，点E为AC的中点，EB=EA=EC=AC，在RtADC中，ADC=90，点E为AC的中点，ED=EA=EC=AC，EA=EB=EC=ED，A、B、C、D四个点在以E为圆心，AC为直径的圆上，即A，B，C，D四点共圆9如图所示，I为ABC的内心，求证：BIC的外心O与A、B、C四点共圆【解答】证明：连接OB、BI、OC，由O是外心知IOC=2IBC由I是内心知ABC=2IBC从而IOC=ABC同理IOB=ACB而BAC+ABC+ACB=180，故BOC+BAC=180，于是O、B、A、C 四点共圆10如图，在ABC中，AD
10、BC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C四点共圆【解答】解：ADBC，DEAB，AED=ADB=90又DAE=BAD，AEDADB，=，即AD2=AEAB同理可得AD2=AFAC，AEAB=AFAC，即=又EAF=CAB，AEFACB，AEF=ACB，B、E、F、C四点共圆11O和H分别是ABC的外心和垂心，若BAC=60，求证：B、0、H、C的共圆【解答】证明：连接BH并延长交AC于E，连接CH并延长交AB于F，连接OB、OC，如图所示：O是三角形的外心，BAC=60，BOC=2BAC=120（同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）又垂心为点H，BEAC，ABE=90，ABE=90BAC=9
11、060=30，同理：ACF=30，HBC+HCB=180（BAC+ABE+ACF）=60，BHC=180（HBC+HCB）=18060=120，BOC=BHC，又O，H在BC边同侧，B，C，O，HI四点共圆12如图，AB为O直径，BFAB，E为BF上一点，AE和AF交O于C和D，求证：C、D、F、E四点共圆【解答】证明：连接BC、CD，如图所示：AB为O直径，ACB=90，BCE=90，BEC+EBC=90，BFAB，ABF=90，即ABC+EBC=90，ABC=BEC，ABC+ADC=180，BEC+ADC=180，CDF+ADC=180，BEC=CDF，C、D、F、E四点共圆13如图，在A
12、BC中，AB=AC，延长CA到P，延长AB到Q，使AP=BQ，求证：ABC的外心O与A，P，Q四点共圆【解答】证明：如图，作ABC的外接圆O，作OEAB于E，OFAC于F，连接OP、OQ、OB、OA，O是ABC的外心，OE=OF，OB=OA，由勾股定理得：BE2=OB2OE2，AF2=OA2OF2，BE=AF，AP=BQ，PF=QE，OEAB，OFAC OFP=OEQ=90，在RtOPF和RtOQE中，RtOPFRtOQE，P=Q，O、A、P、Q四点共圆，即：ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆14（2009黄冈校级自主招生）如图，点F是ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD=AB，
13、BE=EC证明：B、E、D、F四点共圆【解答】证明：连接FC，FB，则FC=FB（2分）连接EF，则CEFBEF，BFE=CFE（5分）A，B，F，C共圆，CAB+CFB=180（7分）CAB+2BFE=180AB=AD，ABD=ADB（8分）CAB+2ADB=180ADB=BFE（10分）B、E、D、F四点共圆（12分）15如图，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是ABC的外心，证明C，E，O，F四点共圆【解答】证明：如图，连接OB、OC、OE、OFOB=OC，OCB=OBC，又AC=BC，OCB=OCA，OBC=OCA，在ECO与FBO中，ECOFBO（
14、SAS），EOC=FOB，又AOC=BOC，EOF=COB，又EO=OF，OEF=OCF，C，E，O，F四点共圆16设ADE内接于圆O，弦BC分别交AD、AE边于点F、G，且AB=AC，求证：F、D、E、G四点共圆【解答】解：连接EF，CD，ADE=ADC+CDE，ADC=ABC，CDE=CAE，ADE=ABC+CAE，AB=AC，ABC=ACB，ADE=ACB+CAE，AGF=ACB+CAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和），ADE=AGF，ADE+EDF=180，AGF+FGE=180，EDF=EGF，F、D、E、G四点共圆（共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则可推出四个顶点共圆）9
