1、【研讨题目2】 信号与系统时域分析专题研讨【目的】 1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分； 2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题，锻炼学生分析问题和解决问题的能力；【知识点】 信号时域分析，卷积积分，卷积和【研讨题目】连续信号卷积积分的数值近似计算两个连续信号的卷积积分定义为为了能用数值方法进行计算，需对连续信号进行抽样。记xk=x(kD), hk=h(k),为进行数值计算所选定的抽样间隔，可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为(1)由式(1)可知，可以利用Matlab提供的conv函数近似计算连续信号的卷积积分。一、(*)理论分析为了对近似计算的结果进行分析，用解析的方法计算
2、下列卷积积分，推出卷积积分的解析表达式；(1) 时限信号卷积积分x1(t)=u(t)-u(t-1)，y1(t)=x1(t)*x1(t);卷积结果为：y1(t)= x1(t)*x1(t)=r(t)-2*r(t-1)+r(t-2)(2) 分段常数信号卷积积分 x2(t)= x1(t)+2 x1(t-1)+ x1(t-2)，h2(t)= x1(t)- x1(t-1)， y2(t)=x2(t)*h2(t);卷积结果为：y2(t)= x2(t)*h2(t)=y1(t)+y1(t-1)-y1(t-2)-y1(t-3) =r(t)-r(t-1)-2*r(t-2)+2*r(t-3)+r(t-4)-r(t-5)
3、 (3) 非时限信号卷积积分 x3(t)=u(t)，h3(t)=e-tu(t), y3(t)=x3(t)*h3(t) 卷积结果为：y3= x3(t)*h3(t) =1-exp(-t)*u(t)二、(*)时限信号卷积积分的近似计算取不同的值，用Matlab函数conv近似计算卷积积分y1(t)并画出其波形，讨论D的取值对计算结果的影响。上图中，绿线为间隔0.01的结果，蓝线是间隔0.1结果，红线为实际结果，由此可见：时间间隔越小，与实际结果越接近。附程序代码：t1=0:0.01:5;t2=0:0.1:5;t=0:0.1:5; x1=1.*(t1=0)-1.*(t1=1);x2=1.*(t2=0)
4、-1.*(t2=1); y1=convn(x1,x1);y2=convn(x2,x2);y=t.*t=0-2*(t-1).*t=1+(t-2).*t=2 N1=length(y1); %length函数取y1的长度%N2=length(y2); plot(t,y,r);hold on;plot(0:0.01:(N1-1).*0.01,y1*0.01,g);plot(0:0.1:(N2-1).*0.1,y2*0.1,b);axis(0 5 0 1)三、(*)分段常数信号卷积积分的Matlab计算(1)若x2k=1，2 ，1，0; k=0,1,2, h2k= 1，1 ; k=0,1，计算离散卷积y
5、2k=x2k*h2k； y2k=x2k*h2k结果如下：附程序代码：x2=1,2,1,0;h2=1,-1;y2=conv(x2,h2);N=length(y2);stem(0:N-1,y2);axis(0 8 -1 1)(2)比较y2(t)和y2k，你发现了什么？y2(t)的图像如下：附程序代码：t=0:0.1:5;y=t.*t=0-(t-1).*t=1-2*(t-2).*t=2+2*(t-3).*t=3+(t-4).*t=4-(t-5).*t=5plot(t,y);hold on;axis(0 8 -1 1)y2(t)和y2k图像比较：附程序代码：x2=1,2,1,0;h2=1,-1;y2=
6、conv(x2,h2);t=0:0.1:5;y=t.*t=0-(t-1).*t=1-2*(t-2).*t=2+2*(t-3).*t=3+(t-4).*t=4-(t-5).*t=5N=length(y2);stem(0:N-1,y2);hold on;axis(0 8 -1 1)plot(t,y);hold on;axis(0 8 -1 1)比较两图可知，y2(t)与y2t的卷积积分相似，将y2t向右平移一个单位后，两图像波形重合，若在y2t最前面补零，或缩小抽样间隔，即可由y2t的卷积积分近似地求解y2（t）地卷积积分。(3)对(2)中发现象进行理论分析，根据理论分析的结果，给出用Matlab
7、函数conv计算卷积积分y2(t) 的方法并画出卷积积分y2(t)的波形；x2(t)=u(t)+u(t-1)-u(t-2)-u(t-3),h2(t)=u(t)-2u(t-1)+u(t-2)x2k=1， 2 ，1， 0; k=0,1,2, h2k= 1，1;k=0,1当抽样间隔为0.1时，y2t比y2(t)超前一个单位，故在y2t最前面补零，采用plot即可画出y2(t)的正确波形。另外，由二题研讨可知，将抽样间隔缩小（例如抽样间隔取0.01），采用plot画图也可以得到y2(t)的正确波形。采用补零的方法画出y2(t)的波形为：附程序代码：x2=0,1,2,1,0;h2=1,-1; %在x2最
8、前面补零y2=conv(x2,h2);N=length(y2);plot(0:N-1,y2);axis(0 8 -1 1 (4)若分段常数的区间宽度不是1，应如何修改算法？ 如图，若间隔为0.5时，图像及代码如下：附程序代码：x2=1,2,1,0;h2=1,-1;y2=conv(x2,h2);N=length(y2);stem(0:0.5:(N-1).*0.5,y2); %红体为相比间隔为1的函数修改的部分axis(0 8 -1 1)(5)完成了分段常数信号卷积积分的分析和计算后，你对y1(t)的近似计算方法有无新的认识？可以由离散的卷积来近似的计算连续函数的卷积，但是要根据实际函数在0右边的
9、积分的值，来确定离散函数向右偏移的格数，如可以取y1（t）的边界值先进行离散序列的卷积，如在用y2t来近似计算y2（t）时，由于y2（t）在01时，存在卷积积分的由0逐渐增长，到1时，存在着积分的变化，所以应将离散的图形向右平移一个单位。同时由于连续序列卷积后也是连续的可以将相邻的离散点相连。这样可以较快的计算出y1（t）的近似。四、(*)非时限信号卷积积分的近似计算近似计算若卷积积分y3(t)。若出现问题请分析出现问题的原因，并给出一种解决问题的方案；根据提出的方案完成近似计算卷积分的程序；用近似方法计算y3（t）的代码及结果如下。当区间长度为20时：附程序代码：N=0.01;t=0:0.0
10、1:20;x=1*(t=0);y=exp(-t).*(t=0);yt=conv(x,y);subplot(211);n=0:0.01:40;plot(n,N*yt);axis(0 20 0 2);xlabel(时间（s）);ylabel(近似值yt(t);subplot(212);yt1=(1-exp(-t).*(t=0);plot(t,yt1);axis(0 inf 0 2);xlabel(时间（s）);ylabel(真实值yt(t);当区间长度为40时：附程序代码：N=0.01;t=0:0.01:20;x=1*(t=0);y=exp(-t).*(t=0);yt=conv(x,y);subp
11、lot(211);n=0:0.01:40;plot(n,N*yt);axis(0 40 0 2);xlabel(时间（s）);ylabel(近似值yt(t);subplot(212);yt1=(1-exp(-t).*(t=0);plot(t,yt1);axis(0 inf 0 2);xlabel(时间（s）);ylabel(真实值yt(t);出现这种情况的原因：因为conv函数无法计算一个无穷的卷积，题目中虽然是算了exp（-t）的卷积，但是实际取的是（0，20）这个区间内的值，在做卷积的计算过程中，使用matlab对t进行了赋值，在赋值以外的点，被认为时0，所以在t=0&t20的部分就相当于
12、是错误的，没有任何意义。解决方法：在绘制图形时，将绘制图形的坐标范围限定在t的取值范围之内，或绘制图形后去掉无效值。五、(*)卷积函数conv函数选项的定义与应用研究在新版MATLAB中，卷积函数conv提供了选项conv(A, B,valid )，下面将研究conv(A, B,valid )的定义及应用。（1）读MATLAB提供的关于conv的Help，给出卷积函数conv(A, B,valid )的定义。设计一些简单的实验，验证你给出的定义。你认为这样定义的卷积有何优缺点？键入“help conv”可知matlab对于valid的定义：C = CONV(A, B, SHAPE) retur
13、ns a subsection of the convolution with size specified by SHAPE: valid - returns only those parts of the convolution that are computed without the zero-padded edges. LENGTH(C)is MAX(LENGTH(A)-MAX(0,LENGTH(B)-1),0).【只返回那些卷积计算无零填充的边缘部分】接下来利用A=1 2 3 4 5和B=1 2 3对valid进行研究。根据计算，A与B的卷积为1,4,10,16,22,22,15。
14、用conv和conv-vaild分别计算的结果如下：结论：由图像可得，在valid模式下，计算卷积只会计算A,B序列完全重合的部分，略去未完全重合的部分。思考：与conv不同，valid 返回在卷积过程中，未使用边缘补 0 部分进行卷积计算，使得卷积出来的结果具有实际意义。但同时valid有一个显著缺点，即卷积运算时，只会将B翻转与A比较，而不会自动选择短的序列进行翻转，当B的长度大于A时，无法得出卷积结果。附代码：A=1 2 3 4 5;B=1 2 3 ;C=conv(A,B);C1=conv(A,B,valid); subplot(211)stem(1:length(C)-1,C);axi
15、s(-1,10,0,30); xlabel(conv(A,B)c=length(C) subplot(212)stem(1:length(C1)-1,C1);axis(-1,10,0,30); xlabel(conv(A,B,valid)c1=length(C1)附：valid的原理图解：图（1） 图（2）图（3） 图（4）图（5） 图（6）图（7） 图（8）图（1）（8）依次为b序列（b序列翻转后）向右平移07个单位长度。观察图像有：图（3）时序列b开始与序列a有重叠，但是图（3）图（4）两序列尚未完全重合，b序列均存在未重合部分。在valid模式下，它们因为缺少与之相乘的数，故b序列未完全
16、重合前不管重合部分，系统全部默认置零。图（5），（6），（7）b序列与序列a完全重合，这些部分可以计算卷积的值，分别为10，16，22，符合valid图像。而从图（8）开始序列b最右点移出序列a，两序列不再完全重合，系统再次完全置零。(2)能否用conv(A, B,valid )完成conv(A, B )？请给出解释，编程验证你的观点。观察(1)中结果,可以得到conv(A,B,valid)的返回值长度比conv(A,B)少两倍的length(B)-1,所以其结果是conv(A,B)两端各除去length(B)-1个值所得的结果；考虑卷积性质,B的valid卷积返回值长度应与conv(A,B)
17、相等，数值也应相同，将A两端各补充length(B)-1个0得到A1,得到与conv(A,B)相同的值。附代码：A=1 2 3 4 5;B=1 2 3;A1=zeros(1,length(B)-1),A,zeros(1,length(B)-1);C=conv(A,B);C1=conv(A1,B,valid); subplot(211)stem(1:length(C)-1,C);axis(-1,10,0,30);xlabel(conv(A,B)c=length(C) subplot(212)stem(1:length(C1)-1,C1);axis(-1,10,0,30);xlabel(conv(
18、A1,B,valid)c1=length(C1)(3) 探索能否用conv(A, B,valid )解决非时限信号卷积积分的近似计算出现的问题？若行，请给出解决问题的方案及实验结果。若不行，请给出理由。因函数conv(A1,B,valid)可削除结果中两端length(y)-1个值,故可以将非时限卷积积分结果的无效值削除；根据卷积性质,只需在x左端插入length(y)-1个0 ,即可削除因t取值有限而造成的无效值而保留有效值。例如重新计算y3(t)如下：附代码：t=0:0.01:20;x=1*(t=0);y=exp(-t).*(t=0);x1=zeros(1,length(y)-1),x;y
19、t=conv(x1,y,valid); subplot(211);plot(N*(1:length(yt),N*yt);axis(0 30 0 2);xlabel(Time);ylabel(近似值yt(t); subplot(212);yr=(1-exp(-t).*(t=0);plot(t,yr);axis(0 30 0 2);xlabel(Time);ylabel(真实值yr(t);(4)关于卷积conv(A, B,valid )的应用，你还有什么见解？欢迎发表新想法，胆要大，不要怕犯错。建议：因为valid的缺点是必须是前一个序列长于后一个序列所以希望，增加一个判断，比较 A，B长度，若B序列比A长交换A,B序列，其他算法不变，即可得到卷积结果【温馨提示】 (1) 研讨内容中标注的星号表示难度系数，(*)表示难度系数低，(*)表示难度系数中， (*)表示难度系数高。【研讨要求】(1)编写实现上述研讨内容的MATLAB仿真程序，画出程序运行结果图。(2)结合信号与系统基本原理，对程序运行结果进行分析和讨论。 (3)在研讨过程中，若发现问题，要进行探究，并给出解决问题的方案。(4)写出在本次研讨中自主学习内容，列出参考文献目录。
