1、带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析1、 求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时，一般先根据题意画出运动的轨迹，确定圆心，从而根据几何关系求出半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。1、首先确定圆心：一个基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。三个常用方法：方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。例1：如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（，0）点以速度v，沿与x正方向成60的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好
2、垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为，洛仑兹力是向心力 ，由解得.射出点的纵坐标为（r+rsin30）=1.5r,因此射出点坐标为（0，）。方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。例2：电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方
3、向的距离为L，如图2所示，求：（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量为e）解析：（1）联结AP的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦AP的中垂线，由于电子通过A点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A点的半径与磁场的左边界重合。AP弦的中垂线OC与磁场左边界的交点O即是电子圆运动的圆心，以O为圆心以OA为半径画圆弧，如图3所示，（2）在M、N间加速后获得的速度为v，由动能定理得： 电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r，则： 在AQP中： 在ACO中 ： 由解得：B=方法三：利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子
4、通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。例3、一质量为m、带电量为+q 的粒子以速度v 从O点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从B 处穿过x轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为30，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60角斜向下的匀强电场中，通过了B点正下方的C点。如图示4所示，不计重力，试求： （1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）C点到B点的距离h。解析：（1）反向延长vb交y轴于O2点，作BO2O的角平分线交x轴于O1
5、，O1即为圆运动轨道的圆心，OO1即为圆运动轨道的半径，其半径为 画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交B O2于A点，最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r,则 利用解得（2） B到C 受电场力作用，做类平抛运动，沿初速方向： 沿电场方向： 利用消去t解得.2半径的确定和计算一个基本思路：半径一般在确定圆心的基础上用平面几何知识求出，常常要解三角形。两个重要的几何特点：（1）粒子速度的偏转角（）等于回旋角（）并等于弦切角 （ AB弦与切线的夹角）的两倍（如图所示），即= =2；（2）相对的弦切角（）相等，与相邻的弦切角（）互补，即+ =18003.运动时间的
6、确定一个基本思路：利用圆心角与弦切角的关系或者四边形的内角和等于3600计算出粒子所转过的圆心角的大小。两个基本公式： , 例4:如图所示，在xOy平面上，a点坐标为（0，L），平面内一边界通过a点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，有一电子（质量为m，电量为e）从a点以初速度v0平行x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好在x轴上的b点（未标出）射出磁场区域，此时速度方向与x轴正方向夹角为60，求：（1）磁场的磁感应强度； （2）磁场区域圆心O1的坐标（，）； （3）电子在磁场中运动的时间练习1：如图所示，在第象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率
7、与x轴成30角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ B) A、1：2 B、2：1 C、 D、1：1二带电粒子在常见有界磁场区域的运动轨迹1、基本轨迹。（1）单直线边界磁场（如图1所示）。带电粒子垂直磁场进入磁场时。如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出；如果与磁场边界成夹角进入，仍以与磁场边界夹角飞出（有两种轨迹，图1中若两轨迹共弦，则12）（2）平行直线边界磁场（如图2所示）。带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边
8、界飞出。例5:如图所示，一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30，则电子的质量是 ，穿过磁场的时间是 ,若电子质量m已知,则要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足的条件为 。m=2dBe/V， t=d/3V， VBed/m 练习2如图所示，相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场方向射入，已知粒子速率一定，射入时速度方向与OM间夹角的范围为090，不计粒子的重力，则：（ ） ACDA.越大，粒子在磁场中运动的时间可能越短 B.越大，粒子在磁场中运动的路径一定
9、越长 C.越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离一定越小 D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与无关（3）矩形边界磁场（如图3所示）。带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；速度在某一范围内时从侧面边界飞出；速度为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切；速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。例6：长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
10、（AB ）A使粒子的速度V5BqL/4m；C使粒子的速度VBqL/m； D使粒子速度BqL/4mV0，y0)这是一个圆的方程，圆心在（0，R）处。磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积。磁场的最小面积为;练习题：1一电子以垂直于匀强磁场的速度vA，从A处进入长为d、宽为h的磁场区域如右图所示，发生偏移而从B处离开磁场，若电荷量为e，磁感应强度为B，圆弧AB的长为L，则（）(B)A电子在磁场中运动的时间为tB电子在磁场中运动的时间为tC洛伦兹力对电子做功是BevAhD电子在A、B两处的速度相同2如右图所示，平面直角坐标系的第象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的粒
11、子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则（）(BC)A该粒子带正电BA点与x轴的距离为C粒子由O到A经历时间tD运动过程中粒子的速度不变3如图(甲)所示，在以直角坐标系xOy的坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy所在平面的匀强磁场一带电粒子由磁场边界与x轴的交点A处，以速度v0沿x轴负方向射入磁场，粒子恰好能从磁场边界与y轴的交点C处，沿y轴正方向飞出磁场，不计带电粒子所受重力(1)求粒子的比荷.(2)若磁场的方向和所在空间的范围不变，而磁感应强度的大小变为B，该粒子仍从A处以相同的
12、速度射入磁场，粒子飞出磁场时速度的方向相对于入射方向改变了角，如图(乙)所示，求磁感应强度B的大小解答:(1)由几何关系可知，粒子的运动轨迹如图，其半径Rr，洛伦兹力等于向心力，即：qv0Bm 得.(2)粒子的运动轨迹如图，设其半径为R，洛伦兹力提供向心力，即qv0B 又因为tan 解得BBtan.4.如图所示，在一个圆形区域内，两个方向都垂直于纸面向外的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域、中，直径A2A4与A1A3的夹角为60，一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从区的边缘点A1处沿与A1A3成30角的方向射入磁场，再以垂直A2A4的方向经过圆心O进入区，最后再从A2处射出磁场已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求区和区中磁感应强度B1和B2的大小(忽略粒子重力)由题意知：tt1t2由式联立解得：B22B1，B1，B2.5.如右图所示，以ab为边界的两匀强磁场的磁感应强度为B12B2B，现有一质量为m、带电荷量q的粒子从O点以初速度v沿垂直于ab方向发射在图中作出粒子的运动轨迹，并求出粒子发射后第7次穿过直线ab时所经历的时间、路程及离开点O的距离(粒子重力不计)轨迹见解析图5
