1、盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组 函 数2.1函数题型分类原则总述函数考题的已知条件和问题的现象比较复杂，为了建立简洁的思路体系，最好是以函数的概念为载体，从学习知识的程序上建立线索，按共同的条件现象或问题现象进行题型分类。函数：两个集合之间按照某种对应法则的一个映射。函数的三大考点：独立的一个函数可根据定义分四大考点一、映射与函数的概念： 判断对应关系是不是映射（函数），求两集合能形成映射的个数二、定义域，值域：只要提到“最大值”，“最小值”，“取值范围”首先联想求定义域值域的方法。高中阶段定义域有2种题型，值域有4种题型，详见下文知识讲解。三、对应法则：即
2、y与x的对应关系。这个定义很抽象，抽象的概念不会直接考察。它的两种具体表示形式解析式图像，是函数的核心考点。 两个函数的关系：主要研究原函数与反函数的关系，反函数作为函数的第四个考点在高考中几乎必考1题。四、反函数：主要考求反函数，或利用原反函数定义域值域、单调性、奇偶性、对称性关系解题。 2.2映射与函数的基本概念一、映射1、概念：A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。 图2-1是映射 图2-2是一一映射
3、图2-3不是映射映射概念题型：（一）求映射（或一一映射）的个数，若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有mn个（二）判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。二、函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合值 域B：y取值范围组成的集合对应法则f：y与x的对应关系。三种表示形式：解析式、图像、列表 函数与普通映射的区别在于： （1）两个集合必须是数集； （2）不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到
4、相应的自变量x与其对应。 图2-4函数概念的题型：（一）判断是否是函数，有三种现象：判断映射是否是函数 判断解析式是否是函数 判断图像是否是函数。需从两个方面判断： 每个x是不是只对应一个y，或定义域是否对应。有没有剩余的象，或值域是否对应。（二）函数解析式意义的识别：考查能否读懂题目。分段函数：就是分情况的函数，需分情况使用解析式。复合函数：设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或gf(x)）为复合函数。fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1； gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11创新定义的对应法则(运算法则)：对照使用或递推，需要累积创新题型的出
5、题现象。题型分类第一部分 映射与函数基本概念（一）映射的基本概念1、设是集合A到B的映射，下列说法正确的是 （ ） A、A中每一个元素在B中必有象 B、B中每一个元素在A中必有原象C、B中每一个元素在A中的原象是唯一的 D、B是A中所在元素的象的集合2、 从集合A到B的映射中，下列说法正确的是 （ ） A.B中某一元素的原象可能不只一个 B.A中某一元素的象可能不只一个C.A中两个不同元素的象必不相同 D.B中两个不同元素的原象可能相同3.在映射f:AB中，下列说法中不正确的说法为( )集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应；集合B中至少存在一元素在集合A中无原象；集合B中可能
6、有元素在集合A中无原象；集合B中可能有元素在集合A中的原象不至一个.A.B.C.D.4.在下列对应中，是A到B的映射的有m个，一一映射的有n个.AxxN，B-1,1，对应法则f:x(-1)x；AxxR，ByyR+，对应法则f:xyx；AxxN，ByyR，对应法则f:xy；Axx2，Byy2，对应法则f:xy-x2+2x+2；AxxR，ByyR，对应法则f:xy.则m、n的值分别为( )A.2、0B.2、1C.3、1D.3、25.已知集合A=， B=,下列从A到B的对应不是映射的是 （ ） (A) (B) (C) (D) 6.已知四个从集合A到集合B的对应(如下图)，那么集合A到集合B的映射是(
7、 )A. B. C. D.7.下图表示的是从集合X到集合Y的对应，其中能构成映射的是( )8.设集合A和B都是自然数集合N，映射f:AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是( )A.2 B.3 C.4 D.59.设集合A和B都是坐标平面上的点集(x,y)xR，yR，映射f:AB使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y)，则在映射f下象(2，1)的原象是( )A.(3，1) B.( ，) C.( ，-) D.(1，3)10.填空题(1)从集合A1，2到Ba，b的映射f个数为 ，一一映射个数为 (2)从集合A1,2,3到Ba，b，c的一
8、一映射f的个数为 .(3)设A到B的映射为f1：xu3x-2，B到C的映射为f2：uyu2-4，则A到C的映射f3是 .（二）函数1.判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 2.已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)3对于一切实数x，令x为不大于x的最大整数，则函数f(x)=x称为高斯函数或取整函数计算f(-0.3)+f(1)+f(1.3)= 。2.3定义域与值域凡在考题中出现最大值、最小值、取值范围三种现象时，十之有八九是求函数定义域与或值域。首选用求定义域或值域的方法解题，其次再选择用均值不等式、几何意义或实际意义求范围和最值。2.3.1定义域题型一具体函数：即有
9、明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式（一）直接考查：主要考解不等式。利用：整式的定义域为R，在中；在中，；在中， ；列不等式求解。（二）间接考查：主要是让考生在化简变形的过程中，忽略定义域的存在而把题做错。解决问题的方法是养成习惯，碰到根号、分母、对数符号等，首先就要考虑有取值范围的限制。解题后检验结果是否符合定义域。二抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。第二部分、定义域（一）有解析式的函数 经典例题：1、求下列函数的定义域：（1） （2） （3） （4） （5） （6）2.已知函数的定义域为，函数的定义域为，则( ) （二）无解析式的函数（抽象函数）1. 已知的定
10、义域为0，1，求的定义域。2. 已知的定义域为-2，3，求的定义域。3、设函数的定义域为，则函数的定义域为 ；函数的定义域为_； 4、若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。5、已知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。2.4 函数解析式的题型2.4.1 函数解析式和对应法则的识别主要考查抽象函数、分段函数和复合函数。一、抽象函数：即没有具体解析式的函数。主要考查：抽象函数的递推方程中递推规律的识别，例如：二、分段函数：即分情况的函数，不同情况解析式不同。三、复合函数：即把函数整体作为自变量再放到解析式里的函数，例如。四、创新定义的对应法则(运算法则)：对照使用
11、或递推，需要累积创新题型的出题现象。2.4.3 求函数解析式一、换元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)， （设2x + 3=3-7t）。二、构造法：如，求f(x)。三、待定系数法：通过图像求出y=Asin(x +) + C中系数四、递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。五、求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。第四部分、解析式的求法(一).换元法1若函数，求则2若函数，求.3若，则的表达式为（ ）（A）2x+1 （B）2x1 （C）2x3 （D）2x+74已知，则函数的解析式为 （ ）（A） （B） （C） （D）5已知，且 ，则等于 （
12、）（A） （B） （C） （D）6（湖北卷理3）已知，则的解析式可取为（ ）（A） （B） （C） （D）（二）构造法1.若，则函数=_2、已知，求；3、已知，求f(x)。（三）待定系数法求解析式1. 已知是二次函数，且，求的解析式。. 2、已知是一次函数，且=4x+3，求。3. 已知是一次函数，且满足，求；（四）利用性质递推求解析式1已知是奇函数，是偶函数，且+=，则= 2已知函数与的图象关于点（2，3）对称，求的解析式。3设函数的图象为，若函数的图象与关于x轴对称，则的解析式为 .4若函数满足关系式，则的表达式为 .5.已知函数满足，则= 。（五）解析式的识别分段函数：1已知函数 ，其中n
13、N，f（8）=（ ）A2 B4 C6 D72定义符号函数，则不等式：的解集是 2.3.2值域题型一常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，幂函数，三角函数，对号函数。二非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：（1）换元变形；（2）求变形完的常规函数的自变量取值范围；（3）画图像，定区间，截段。三分式函数求值域 ：四种题型（一） ：则且。（二）：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围。（三）： ，则且。（四）求的值域，当时，用判别式法求值域。， 值域四不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函
14、数趋势图像，定区间，截段。 判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。五原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。六已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围第三部分 值域的求法.（一）常规函数1.求下列函数的值域（1） （2）2已知函数在区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )A、 1，+） B、0，2 C、（-，2 D、1，23.已知二次函数满足条件：且方程有等根，（1）求的解析式；（2）是否存在实
15、数，使得的定义域为，值域为.(二)非常规函数1. 2.已知的值域为,，试求y=+的值域3.函数 的值域是( )(A) (- (B) ( (C) (-1,+ (D) (-4.函数的最大值是（ ） A BC D5求函数的值域。6.； ；（三）分式函数和对号函数1.分式函数 经典例题：1.求下列函数的值域 （） 2、已知函数的值域为，求实数的值。2.对号函数1. , 2. 3. (四)不可变形的杂函数利用单调性求值域1.求函数在上的值域2的值域是_ 作业精炼：3.已知 ，且，求的定义域和值域。4.函数上的最大值与最小值之和为a,则a的值为（ ）（A） （B） （C）2 （D）45.函数 ,在上的最大
16、值与最小值之和为a，则a的值为 2.5.2函数的单调性一、定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数。二、单调性题型：（一）求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数法： 当0 x 1时，x，x2，- x2，（二）判断单调性 利用定义：设x1x0，f（3）=1判断在（0，3上是增函数还是减函数，并加以证明（二）求单调区间1、的单调递减区间是 ( ) A（ B C（ D2、求函数的单调减区间3.求函数的单调区间。（三）利用单调性：利用判断单调性过程求系数 经典例题：1若函
17、数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_.2若函数f(x)=a在0,+上为增函数,则实数a、b的取值范围是 .3.已知在区间的最小值为，则a的取值范围为 4已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围。5.已知函数。（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围。利用单调性证明、解不等式及求最值1已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在上递减，那么一定有（ ）ABCD2为上的减函数，则 （ ） （A）（B） （C） （D）3已知函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x）（xR），f（x）在x2时为增函数，则f（），f（），f（4）按从大到小的顺序排列出来的是 。4.已知函数对
18、任意实数满足，当时，（1）求证：在R上是增函数；（2）若，解不等式5已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。6.已知函数对任意实数，总有，且当当时，。（1）求证：在R上是减函数；（2）求在上的最大值与最小值。2.5.3函数的奇偶性一、定义：如果,则为偶函数；如果,则 为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。二、奇偶性题型： （一）判断奇偶性 ：1.先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负2.看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇3.原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。（二）利用奇偶性：1.利用公式：f(-x)=- f
19、(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式2.利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。（三）奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y轴对称若，则f(x)关于对称奇函数：关于原点对称若，则f(x)关于点(，m) 对称第六部分、函数的奇偶性（一）判断函数的奇偶性1、判断下列函数的奇偶性：（1）； （2） 2.判断函数的奇偶性。3.已知函数，判断的奇偶性。4已知对任意实数都成立，则函数是（
20、）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）可以是奇函数也可以是偶函数 （D）不能判定奇偶性5设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）Af（x）f（-x）是奇函数 Bf（x）f（-x）上奇函数Cf（x）-f（-x）是偶函数 Df（x）+f（-x）是偶函数6函数是偶函数的等价条件是_7由方程确定的函数 在上是_（奇函数，偶函数，增函数，减函数）8.（1）函数，若对于任意实数都有，求证：为奇函数。（2）函数，若对于任意实数都有，求证：为偶函数9.已知定义在R上，对任意，有，且。（1） 求证：；（2）求证：为偶函数。（一）奇偶性的利用求系数1如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_2定义在上的奇函
21、数，则常数_,_3定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。求函数值1.已知函数是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程的所有实数根之和是（ ）A.4 B.2 C.1 D.02已知，其中为常数，若，则_ 3. 已知定义在R上的奇函数，当，恒有，如果，并且，试求在区间上的最值。求解析式1若奇函数y=f（x）（x0），当x（0，+）时f（x）=x-1，则不等式f（x-1）0的解集为（ ）Ax|x0或1x2 Bxlx-l或0x1 Cxlx-2或-lx0 Dxlx02.若是定义在R上的奇函数，当时，求当时，函数的解析式。3若f（x）是偶函数，当x0，+）时，f（x）=x-1，则f（x-1）
22、0的解集是（ ）Ax0x2 Bx-2x0 Cx-1x0 Dxlx24若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_5已知为偶函数，为奇函数，并且分别求出与的表达式6如果函数是奇函数，则f（x）= 。2.5.4函数的周期性一、定义：若，则为周期函数，为周期二、周期性考点： （一）求周期： 1.利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T2.把所给函数化为y=Asin(x +) + C标准形式，直接读出周期（二）利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)1.求解析式 2.求函数值2.5.5函数图像的对称性一、一个图关于点对称：（一）奇函数关于原点对称（二）若f(a+x) + f(b-x)=
23、2m，则f(x)关于(，m)对称二、一个图关于直线对称：（一）偶函数关于轴对称（二）f(a+x) = f(b-x)，则f(x)关于对称三、两个图关于点对称 （一）关于原点对称的函数：x-x，y-y，即-y=f(-x)（二）关于对称的函数：即四、两个图关于线对称 （一）原函数与反函数：关于y=x对称 （二）y= f(x)关于y=x + c对称的函数:xy-c，yx+c，即x+c= f(y-c) （三）y= f(x)关于y=-x+c对称的函数: x-y+c,y-x+c，即-x+c= f(-y+c) （四）f(x)与f(-x)关于y轴对f(a+x)与f(b-x)关于对称 （五）f(x)与-f(x)关于x轴对称2.5.6函数图像的翻转、平移、伸缩一、翻转 二、平移左+，右-，上+，下-，平移与系数无关，看的是在x上或函数式上实际变化的量。 f(-2x)f(-2x-2)相当于在x上加了一个单位，向左平移一个单位三、伸缩f(x)f(ax)，相当于把原函数上每一个点的横坐标变成原来的f(x)Af(x)，相当于把原函数上每一个点的纵坐标变成原来的A倍22
