1、第一章 有理数专题培优一、有关概念和性质（一）有理数概念和分类1.有理数按定义分为_和_两类；2.有理数按性质分为_、_、_三类.3._小数和_小数都可以化成分数，它们是有理数；_小数不能化成分数，不是有理数. （二）数轴（数形结合思想）1.数轴的三要素：_、_、_.2.一切有理数都可用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.3.在数轴上表示数，它们从左向右的顺序，就是从_到_的顺序.练习与思考：（1）数轴上表示整数的点称为整点. 某数轴的单位长度是1 cm，若在这条数轴上随意画出一条长为2015 cm的线段，则这条线段能盖住的整点的个数为_个. （2）在数轴上任取一条长度为的线段，则
2、此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是_个.（三）相反数，倒数例1. 填空：（1）的相反数是_，的相反数是_，的相反数是_.（2）相反数等于本身的数是_，倒数等于本身的数是_.（3）若，则_.例2. 已知，互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求代数式的值.（四）绝对值，非负数1.绝对值的概念和性质：（1）绝对值的几何意义：从数轴上看， 就是_到_的距离.（2）绝对值的代数意义：正数的绝对值等于_，负数的绝对值等于_，0的绝对值等于_. 用符号表示即：【化去绝对值符号的依据】（3）绝对值的性质：（非负性）；（）；.（4）非负数的性质：几个非负数的和仍为非负数；非负数的最小值为0；若几个非负
3、数的和为0，则每个非负数都等于0.2.典型应用例题（1）绝对值概念的运用例1. 已知，且，求的值.例2. 已知，且，求的值.例3. 已知，且，求的值.（2）绝对值的非负性（非负数性质）例1.已知，求代数式的值. 例2.已知与互为相反数，求代数式的值：.例3*. 已知，为整数，且，求代数式的值：.思考：已知为正整数，且，则_，_.（3）绝对值的化简例1. 填空：（1）如果，那么_0；如果，那么_0.（2）已知，化简_.（3）已知，则的取值范围是_.（4）如果，化简_.例2.已知，在数轴上的位置如图，化简：.例3.（1）已知，求代数式的值.（2）已知，且，求代数式的值.例4.化简：.【零点分段法+
4、分类讨论思想】例5.已知有理数，满足，求代数式的值.变式练习：1.有理数，满足，则_.2.如果，是非零有理数，且，那么的所有可能的值为_.3.已知有理数，均不为0，且,设，则代数式的值为_.例6. 如果，求的取值范围.（4）绝对值与数轴上两点距离的表示例1.填空：（1）在数轴上，表示和的两个点的距离是_，表示与的两个点的距离是_.（2）一般地，在数轴上表示数，的两点之间的距离是_.（3）若数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为，则A与B两点间的距离可以表示为_.（4）要求等式中的的值，也可以理解为已知数轴上表示数和的两点的距离是5，求这个数. 因为数轴上到的距离是5的点有_和_两个，所以_.（
5、5）结合数轴可以求得的最小值为_，这时的取值范围是_.（6）满足的的取值范围是_.（5）绝对值的最值问题例1.填空：（1）当_时，有最_值是_.（2）当_时，有最_值是_.（3）当_时，有最_值是_.（4）当_时，有最_值是_.（5）当_时，有最_值是_.（6）当_时，有最_值是_.例2.填空：（1）当_时，有最小值是_.（2）当_时，有最小值是_.（3）当_时，有最小值是_.（4）当_时，代数式有最大值是_；而当_时，有最小值是_.例3.已知，求的最大值和最小值.（五）科学记数法、近似数练习：1.近似数1.70所表示的准确数x的取值范围是_.2.用四舍五入法把4.036精确到001的近似值是
6、_，把3085000精确到万位的近似值是_.二、有理数的运算（一）有理数的加、减、乘、除和乘方运算法则及易错点警示例.计算：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；（6）_；（7）_；（8）_；（9）_.（二）有理数的混合运算及简便运算1.常规混合运算需熟练掌握【易错警示：符号、顺序、乘方意义】例.计算：（1）（2）2.加法、乘法运算律的灵活运用（简便运算）（1）加法：相反数结合；同分母结合；凑整结合；同号结合等.（2）乘法：重点是分配律及其逆用例.计算：（1）（2）3.乘方概念的深刻理解和灵活运用例.计算：（1）（2）（三）有理数运算中的特殊技巧1.高斯算法【用公式：（首项+末项）
7、项数2； 或用倒序相加法】例.计算：（1）（2）（3）2.正负相消例.计算：（1）（2）3.倍比相消例.计算：（1）（2）4.裂项相消例.计算：（1）（2）（3）5.整体换元例.计算：（1）（）（1）（）练习与思考：计算：（1）（）（）（） （）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）（11）三、找规律（一）数式规律例1.将正奇数按下表排成5列:第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2007应在第_行_列.例2.将正偶数按下表排成5列第
8、1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826根据上面的规律，则2006应在 行 列.例3.给出下列算式： 观察上面算式的规律，第个（为正整数）等式为：_.例4.观察下面数列，用含的代数式表示出第个数：（1），；第个数可表示为_；（2），；第个数可表示为_；（3），；第个数可表示为_.归纳：奇负偶正，用_绝对值；奇正偶负，用_绝对值.例5. 计算所得结果的末位数字是_.（二）图形规律例1.用棋子摆成如图所示的“T”字图案（1）摆成第一个“T”字需要 个棋子，第二个图案需要 个棋子；（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要 个棋子，一般地
9、，第个图案需要_个棋子例2.如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中棋子个数是 ，第个“广”字中棋子个数为 _ .例3.将一些半径相同的小圆按如图所示规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，依此规律，第6个图形有_个小圆； 第个图形有_个小圆.第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形 例4.观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是_.第1个第2个第3个 例5.如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.观察图形的变化规律，写出第个小房子用了_块石子.四、定义新运算例.定义一种新运算“*”：，求的值. 第13页（共 14页）第14页（共 14页）
