1、第一讲 数列的极限一、 内容提要1.数列极限的定义，有.注1 的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有 无限趋近于另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式.还表明数列无限趋近于的渐近过程的不同程度,进而能估算趋近于的近似程度.注2若存在，则对于每一个正数，总存在一正整数与之对应，但这种不是唯一的，若满足定义中的要求，则取，作为定义中的新的一个也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个则必存在无穷多个正整数可作为定义中的注3的几何意义是：对的预先给定的任意邻域，在中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入注4，有.2.子列的定义在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的
2、数列称为的子列，记为，其中表示在原数列中的项数，表示它在子列中的项数注1 对每一个，有注2 对任意两个正整数，如果，则反之，若，则注3 ，有.注4 的任一子列收敛于.3.数列有界对数列，若，使得对，有，则称数列为有界数列4.无穷大量对数列，如果，有，则称为无穷大量，记作注1 只是一个记号，不是确切的数当为无穷大量时，数列是发散的，即不存在注2 若，则无界，反之不真注3 设与为同号无穷大量，则为无穷大量注4 设为无穷大量，有界，则为无穷大量注5 设为无穷大量，对数列，若，使得对，有，则为无穷大量特别的，若，则为无穷大量5.无穷小量若，则称为无穷小量注1 若，有界，则注2 若，则；若，且使得对，则
3、6.收敛数列的性质（1）若收敛，则必有界，反之不真（2）若收敛，则极限必唯一（3）若，且，则，使得当时，有注 这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍（4）若，且，使得当时，有，则注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”（5）若数列、皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列，（）也收敛，且有，（）7. 迫敛性（夹逼定理）若，使得当时，有，且，则8. 单调有界定理单调递增有上界数列必收敛，单调递减有下界数列必收敛9. Cauchy收敛准则数列收敛的充要条件是：，有注Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此在论证极限问题时
4、不需要事先知道极限值10.Bolzano Weierstrass定理有界数列必有收敛子列11. 12.几个重要不等式(1) (2) 算术几何调和平均不等式： 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有均值不等式: 等号当且仅当时成立.（3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对 由二项展开式 （）CauchySchwarz 不等式:(),有（），13.O. Stolz公式二、典型例题1用“”“”证明数列的极限（必须掌握）例用定义证明下列各式：（）；（）设，则；（97，北大，10分）（）证明：（），欲使不等式成立，只须，于是，取，当时，有即 （）由，知，
5、有，则 于是，有，即（）已知，因为，所以，欲使不等式成立，只须于是，取，当时，有，即评注本例中，我们均将做了适当的变形，使得，从而从解不等式中求出定义中的将放大时要注意两点：应满足当时，这是因为要使，必须能够任意小；不等式容易求解评注用定义证明，对，只要找到一个自然数，使得当时，有即可关键证明的存在性评注在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（），有（为任一正常数）.（），有.例用定义证明下列各式：（）；（92，南开，10分）（）证明：（）（方法一）由于（），可令（），则（）当时，有即，欲使不等式成立，只须于是，取，当时，有，即（方法二）因为，所以，欲使不等式成立，只须于是，取，当时
6、，有，即（）当时，由于，可记（），则（）当时，于是有 ，欲使不等式 成立，只须 对，取，当时，有 当时，（），而则由以上证明知，有，即 ，故 评注在本例中，要从不等式中解得非常困难根据的特征，利用二项式定理展开较容易要注意，在这两个小题中，一个是变量，一个是定值评注从第一小题的方法二可看出算术几何平均不等式的妙处评注第二小题的证明用了从特殊到一般的证法例用定义证明：（）（山东大学）证明：当时，结论显然成立当时，欲使成立，只须于是，取，当时，有即例设，用“”语言，证明：证明：当时，结论恒成立当时，欲使只须于是，取，当时，有即2.迫敛性（夹逼定理）项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增
7、或递减趋势时考虑夹逼定理，有界，但不能说明有极限使用夹逼定理时，要求趋于同一个数例 求证：（为常数）分析：，因为固定常数，必存在正整数，使，因此，自开始， ，且时，证明：对于固定的，必存在正整数，使，当时，有，由于，由夹逼定理得，即 评注 当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果例 若是正数数列，且，则 证明：由，知即 于是，而由已知及故 由夹逼定理得 评注1 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0评注2 对一些基本结果能
8、够熟练和灵活应用例如：（1）（） （2）（）（3）（） （4）（5）（） （6）例证明：若（有限或），则（有限或）证明：（）设为有限，因为，则，有.于是其中为非负数因为，故对上述的，有取当时，有即（）设，因为，则，有，且于是 取，当时，于是即（）时证法与（）类似评注这一结论也称Cauchy第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：（）（已知）；（）（已知）评注此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“为单调数列”，则由可推出评注证明一个变量能够任意小，将它放大后，分成有限项，然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若，（为有限数），
9、证明：分析：令，则只须证（）由于，故，有于是再利用（）即得例求下列各式的极限：（）（）（）解：（），由夹逼定理，（），由夹逼定理，（），由夹逼定理，评注的极限是，用此法体现了“”的好处，可以放前，也可放后若极限不是，则不能用此法，例如：，求解：，单调递减，单调递减有下界，故其极限存在令，即（中科院）评注拆项：分母是两项的积，插项：分子、分母相差一个常数时总可以插项单调有界必有极限常用方法：；归纳法；导数法单调递增单调递减不解决决问题命题：，若单调递增，且（），则单调递增（单调递减）例 求下列数列极限：（1）设，；（98，华中科大，10分）（2）设，；（04，武大）（3）设，（）（2000,浙大
10、）解：（1）首先注意，所以为有下界数列另一方面，因为 （或）故为单调递减数列因而存在，且记为 由极限的四则运算，在两端同时取极限，得并注意到，解得（2）注意到，于是为有界数列另一方面，由知即与保持同号，因此为单调数列，所以存在（记为）由极限的四则运算，在两端同时取极限，得并注意到，解得（3）由于,又,所以 评注求递归数列的极限，主要利用单调有界必有极限的原理，用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性下面给出一个重要的结论：设（），若在区间上单调递增，且（或），则数列单调递增（或单调递减）评注2第三小题的方法较为典型，根据所给的之间的关系，得到与
11、的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项写成级数的表达式例设为任意正数，且，设，（），则，收敛，且极限相同证明：由，知则，即为单调有界数列又，且，所以亦为单调有界数列由单调有界必有极限定理，与存在，且分别记为与在与两端同时取极限，得与考虑到为任意正数且即得例（1）设，求；（2）设，且（），求解：（1）假设存在且等于，由极限的四则运算，在两端同时取极限，得，即又，故下面只须验证数列趋于零（）由于，而，由夹逼定理得（2）由，知，则假设存在且等于，由极限的四则运算，得下面只须验证数列趋于零（）由于显然，由夹逼定理得评注两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法，当我们不能直接用单调有界必有极限定理时
12、，可以先假设，由递归方程求出，然后设法证明数列趋于零评注对数列，若满足（），其中，则必有这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用评注本例的第二小题还可用Cauchy收敛原理验证它们极限的存在性设0，证明1（04，上海交大） 证 （1）要证1 ，只要证，即只要证，即证（2）因，故， 因此只要证，即只要证（3）由知，单调增加，假如有上界，则必有极限，由知，因此，矛盾.这表明单调增加、没有上界，因此. （证完）利用序列的Cauchy收敛准则例（1）设（），求；（2）设，求；解：（1）由（），得假设，则有由归纳法可得于是（）由Cauchy收敛准则知：存在并记为，由极限的四则运算，在两端同时
13、取极限，得注意到，故（2）设，显然.由于,则 .于是 ().由Cauchy收敛准则知：存在并记为.由极限的四则运算，在两端同时取极限，得注意到，故评注1 Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性. 本例两小题都运用了Cauchy收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列有界,因此有.保证了定义中的N仅与有关.评注2 “对有”这种说法与Cauchy收敛准则并不一致这里要求对每个固定的，可找到既与又与的关的，当，有而Cauchy收敛准则要求所找到的只能与任意的有关利用Stolz定理计算数列极限例 求下列极限（1）（2）假设（00，大连理工，10）（04，上海交大）证明：Stolz公式（3）（4）（5）（）关于否定命题的证明（书上一些典型例题需背）发散例 证明：发散例设（），且，若存在极限，则（北大，20）杂例(1) (2) （04，武大） (3) ();(4)设,（），求：22
