1、概率与统计题型总结(文科) 一:随机抽样（系统抽样、简单随机抽样、分层抽样）【例1】在个有机会中奖的号码（编号为）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为00的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 （ ）A简单随机抽样 B系统抽样 C 分层抽样 D以上均不对一年级二年级三年级女生男生【例2】某校共有学生名，各年级男、女生人数如表已知在全校学生中随机抽取名，抽到二年级女生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）ABCD【例3】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学
2、历、职业等方面的关系，要从这人中再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出 人.【例4】用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( )A B C D【例5】为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔为( )A40 B30 C20 D12【例6】某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( )A3人 B4人 C7人 D12人真题：【2014广东卷6】已知某地区中小学生人数和近视情
3、况分别如图11和图12所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) 图11图12A200，20 B100，20 C200，10 D100，10【2014湖南卷】对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )Ap1p2p3 Bp2p3p1 Cp1p3p2 Dp1p2p3【2014天津高考理第9题】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量
4、为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.二：概率基本性质及古典概型题型一：古典概型古典概型的定义：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性.【例7】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 【例8】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（A） （B） （C） （D）【例9】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比
5、的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_【例10】从中任取个不同的数,则取出的个数之差的绝对值为的概率是_ 【例11】从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于_【例12】现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取3道题解答.试求:(I)所取的2道题都是甲类题的概率; (II)所取的2道题不是同一类题的概率.【例13】有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率_【例14】某小组共有五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/
6、米2)如下表所示:ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9()从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率()从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率真题：【2014广东卷】从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_【2014江苏卷】从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_题型三：互斥事件与对立事件的区别：互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P
7、(A)+P(B)对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):【例21】有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率【例22】从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. 至少有一个白球和都是白球B. 至少有一个白球和至少有一个红球C. 恰有一个白球和恰有两个白球D. 至少有一个白球和都是红球【例23】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是A B C D 【例24】设为两个事件，且，则
8、当（ ）时一定有 A与互斥 B与对立 不包含题型四：相互独立事件相互独立事件(事件A、B的发生互不影响):P(AB)P(A)P(B)【例25】如图，用A,B,C,D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A,B至少有一个正常工作且CDBAM元件C,D至少有一个正常工作时，系统M正常工作.已知元件A,B,C,D正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系统M正常工作的概率.【例26】一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( ) A. B. C. D.【例27】设两个独立事件A 和B同时不发生的概率为,A发生B不发
9、生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是_【例28】国庆节假期，甲去北京旅游的概率是，乙、丙去北京旅游的概率分别是，三人之间的行动相互没有影响，则这段时间内至少有一人去北京旅游的概率是（ ）A. B. C. D. 【例29】在一次反恐演习中，三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别是0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹击中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率是()A0.998 B0.046 C0.936 D0.954三：几何概型题型一：一维问题【例36】在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩
10、形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（ ） A. B. C. D.【例37】取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是（ ）A. B. C. D.不确定【例38】已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ） A. B. C. D.题型二：面积比值问题【例39】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. . C. D. 【例40】在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油
11、，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是( )A. B. C. D.【例41】在等腰RtABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为_【例42】已知四边形ABCD为菱形，且AB=2，向菱形内部随机投掷一枚豆子，则豆子的落点离各顶点的距离都大于1的概率为_真题：【2014福建卷14】如图14，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_【2014辽宁卷】正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图13所示若将个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_
12、【2014陕西卷】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.题型三：线性规划及二维概率型【例43】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【例44】已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB”发生的概率为,则=_【例45】若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P（m，n）落在圆内的概率是_【例46】在区间上随机地取一个数x,若x满足的概率为,则_ 【例47】设关于x的一元二次方程（1）
13、若a是从0,1,2,3四个数中任取一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率. （2）若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率【例48】不等式组（其中）表示的平面区域记为，的最大值和最小值分别为、，已知 求和的值； 在中随机取一点，求的概率真题：【2014湖北卷7】由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为( )A. B. C. D.题型四：约会问题【例49】甲乙二人相约定7：00-8：00在预定地点会面，先到的人要等候另一人20分钟后，方可离开，求甲乙二人能会面的概率，假定
14、他们在7：00-8：00内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.【例50】小明订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到小明家, 小明离开家去工作的时间在早上7:008:00之间，则小明在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？ 【例51】甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.四：频率直方图【例52】经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下
15、一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.()将T表示为X的函数; ()根据直方图估计利润T不少于57000元的概率. 【例53】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。【例54】对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标
16、准, 产品长度在区间20,25)上的为一等品, 在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品, 在区间10,15)和30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为( ) A0.09 B0.20 C0.25 D0.45【例55】为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组下图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第
17、三组中有疗效的人数为( )A. 6 B. 8 C. 12 D. 18真题： 【2014江苏卷】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图12所示，则在抽测的60株树木中，有_株树木的底部周长小于100 cm. 【2014高考辽宁理第18题】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销
18、售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.来五：线性回归方程【例56】四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: y与x负相关且; y与x负相关且; y与x正相关且; y与x正相关且.其中一定不正确的结论的序号是( )A. B. C. D. 【例57】已知与之间的几组数据如下表:123456021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为,则以下结论正确的是( ) A. B. C. D.【例58】设， 是变量x和y的n个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线
19、，以下结论中正确的是（ ）（A）x和y相关系数为直线l的斜率（B）x和y的相关系数在0到1之间（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同（D）直线过点【例59】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第个家庭的月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的数据资料,算得,.()求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程;()判断变量与之间是正相关还是负相关;()若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程中,其中,为样本平均值,线性回归方程也可写为.【例60】下列命题中,其中假命题是( )A对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大
20、B用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2的值越大，说明模型拟合的效果越好C两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1D一定在回归直线方程上【例61】给出下列四个命题，其中正确的一个是（ ）A在线性回归模型中，相关指数R2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%B在独立性检验时，两个变量的22列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大C相关指数R2用来刻画回归效果，R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好D随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0真题：【2014湖北卷4】根据如下样本数据：得到的回归方程为bxa，则( )x34
21、5678y4.02.50.50.52.03.0A a0，b0 Ba0，b0 B Ca0 Da0，b0【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，六：随机变量的概率问题例62：某赛
22、季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率（参考数据：，）例63：在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数量最多？共有
23、多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？例64：已知向量， （1）若，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；（2）若实数，求满足的概率例65：某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组500，900)900，1100)1100，1300)1300，1500)1500，1700)1700，1900)1900，)频数4812120822319316542频率（1）将各组的频率填
24、入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支，若将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率例66：为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度，如下表：（1）若第六、七、八组的频数、气温（）频数频率0038122225合计1001为递减的等差数列，且第一组与第八组的频数相同，求出、的值；（2）若从第一组和第八组的所有星期中随机抽取两个星期，分别记它们的平均温度为，求事件“”的概率例67：某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学
25、生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 例68：某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，第五组右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人
26、数；（II）设、表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知，求事件“”的概率.例69：一人盒子中装有4张卡片，每张卡上写有1个数字，数字分别是0，1、2、3。现从盒子中随机抽取卡片。（I）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于等于5的概率； （II）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字2的概率。例70：为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查。已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂，（1）求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用
27、列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率；例71：某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为,现有甲乙两人同时从站点上车,且他们中的每个人在站点下车是等可能的（）求甲在站点下车的概率；（）甲,乙两人不在同一站点下车的概率例72：一个袋子中有蓝色球个，红、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其余完全相同. （1）高考资源网甲从袋子中随机取出1个球，取到红球的概率是 ，放回后,乙从袋子取出一个球，取到白球的概率是，求红球的个数；（2）从袋子中取出4个红球，分别编号为1号、2号、3号、4号.将这四个球装入一个盒子中，甲和乙从盒子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求两球的编号之和不大于的
28、概率七：独立性检验【例81】例在一次休闲方式调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动根据以上数据建立一个列联表；检验性别与休闲多大程度上有关系参考公式： 参考数据：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【例82】为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示：男女正常442514色盲386根据上述数据试问色盲与性别是否是相互独立的？八：平均数、众数、中位数、方差（标准差）【例83】从某项综合能力测试中抽取人的成绩，统计如表，则这 人成绩的标准差为（ ） A B C D【例84】若数据的平均数，方差，则数据的平均数为 ，方差为 第 15 页 共 15 页
