1、DSE金牌化学专题系列 精典专题系列第3讲 函数的性质1、 导入：老人与黑人小孩子 一天，几个白人小孩在公园里玩。这时，一位卖氢气球的老人推着货车进了公园。白人小孩一窝蜂地跑了上去，每人买了一个气球，兴高采烈地追逐着放飞的气球跑开了。白人小孩的身影消失后，一个黑人小孩怯生生地走到老人的货车旁，用略带恳求的语气问道： “您能卖给我一个气球吗?”“当然可以，”老人慈祥地打量了他一下，温和地说，“你想要什么颜色的?”他鼓起勇气说：“我要一个黑色的。”脸上写满沧桑的老人惊诧地看了看这个黑人小孩，随即递给他一个黑色的气球。他开心地接过气球，小手一松，气球在微风中冉冉升起。老人一边看着上升的气球，一边用手
2、轻轻地拍了拍他的后脑勺，说：“记住，气球能不能升起，不是因为它的颜色，而是因为气球内充满了氢气。”大道理：成就与出身无关，与信心有关。这个世界是用自信心创造出来的。有自信，积极的面对自己所拥有的一切，这种积极和自信会帮助人登上成功的山顶。二、知识点回顾：1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是 或 ，则称函数f(x)在这一区
3、间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，存在实数M满足条件对于任意xI，都有 ；存在x0I，使得 .对于任意xI，都有 ；存在x0I，使得 .结论M为最大值M为最小值1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数关于 对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数关于 对称2周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT) ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的
4、周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期三、专题训练：专题一函数单调性的判断与证明已知函数f(x)，证明函数f(x)在(1，)上为增函数自主解答法一：任取x1，x2(1，)，不妨设x10，又x110，x210，0，于是f(x2)f(x1)0，故函数f(x)在(1，)上为增函数变式训练：判断函数f(x)x(a0，x0)的单调性解：法一：函数f(x)x(a0)的定义域为x|x0设x1x20，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(1)(x1x2)，当0x2x1时，恒有x1x2a.则f(x1)f(x2)x2时，恒有x1x2a
5、，则f(x1)f(x2)0，故f(x)在，上是增函数综上所述，函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数 专题二求函数的单调区间 求下列函数的单调区间(1)yx22|x|3； 自主解答(1)依题意，可得当x0时，yx22x3(x1)24；当xf(x2),故函数f(x)在(1，+）上是减函数.专题三利用函数的单调性求最值【例3】已知函数f(x)，x1，)(1)当a4时，求f(x)的最小值；(2)当a时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值自主解答(1)当a4时，f(x)x2，f(x)1，f(x)在1,2上是减函数，在(2，)上是增函数f(x)minf(2)6.(2)当
6、a时，f(x)x2.易知，f(x)在1，)上为增函数f(x)minf(1).(3)函数f(x)x2在(0，上是减函数，在，)上是增函数若1，即a1时，f(x)在区间1，)上先减后增，f(x)minf()22.若1，即0a1时，f(x)在区间1，)上是增函数，f(x)minf(1)a3.思考：若a0，求f(x)的最小值.解：f(x)x2a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值解：(1)证明：设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)()()0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)f(x)
7、在，2上的值域是，2，又f(x)在，2上单调递增，f()，f(2)2，解得a.2、 函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.专题四函数奇偶性的判定【例4】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3；(2)f(x)x2x3； (3)y；(4)f(x).自主解答(1)原函数的定义域为x|x0，并且对于定义域内的每一个x都有f(x)(x)3(x3)f(x)，从而函数f(x)为奇函数(2)由于f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，从而函数
8、f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (3)定义域为，不关于原点对称，该函数不具有奇偶性(4)定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数变式训练：判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)|xa|xa|(aR)解：(1)由，得x或x.函数f(x)的定义域为，又对任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0.f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)2x2且x0， 函数f(x)的定义域关于原点对称f(x).又f(x)f(x)f(x)，f(x)为奇
9、函数(3)函数的定义域为(，)，关于原点对称当a0时，f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)当a0时，f(x)|x|x|0，f(x)f(x)且f(x)f(x)，由上知：当a0时，f(x)是奇函数，当a0时f(x)既是奇函数又是偶函数专题五函数奇偶性的应用【例5】若f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)1x2x，当0x2时，求f(x)的解析式自主解答f(x)是奇函数，当0x2时，2x0，求实数m的取值范围解：由f(m)f(m1)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)又f(x)在0,2上单调递减且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数即解得1m. 专题六函数的周期性【例
10、6】设f(x)是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2011)自主解答(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2
11、,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(2)f(2011)0.思考：若将“f(x2)f(x)”改为“f(2x)f(x)”，其它条件不变，如何求解？解：(1)f(2x)f(x)，f(2x)f(x)，,又f(x)为奇函数，,f(2x)f(x)，,f(x)是周期为2的周期函数.(2)当x2,4时，x20,2，又当x0,2时，f(x)2xx2，当x2,4时，f(x2)2(x2)(x2)2
12、x26x8又f(x)是以2为周期的周期函数，f(x)f(x2)x26x8(3)f(0)0，f(1)1，周期T2f(0)f(1)f(2)f(2011)1006f(0)f(1)100611006.变式训练：已知函数f(x)满足f(x1)，若f(1)2010，求f(2011)解：f(x1)，f(x2)，f(x4)f(x)，即函数的周期为4.f(1)2010，f(2011)f(20083)f(3).4、 技法巧点总结：1求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调
13、区间(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间2求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减”3解决函数的单调性应注意的两个问题(1)函数的单调性是一个“区间概念”，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数(2)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)4函数奇偶性的判
14、断及相关性质(1)判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)0；若函数f(x)是奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0.(2)若f(xa)为奇函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(xa)为偶函数f(x)的图象关于直线xa对称5函数的周期性的常见结论(1)若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；(2)若满足f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a是函数的一个周期；(3)若满足f(xa)，则f(x2a)f(xa)af(x)，所以2a是函数的一个周期
15、；(4)若函数满足f(xa)，同理可得2a是函数的一个周期五、巩固练习：一、选择题1(2011海淀模拟)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是()A(，)B，)C(，) D，)解析：当2x10，即x时，由于函数f(x)在区间0，)上单调增加，则由f(2x1)f()得2x1，即x，故x；当2x10，即x0，由f(2x1)f()得12x，故x.综上可知x的取值范围是(，)答案：A2已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数解析：由题意a1，又函数g(x)x2a在
16、，)上为增函数答案：D3若函数f(x)ax(aR)，则下列结论正确的是()AaR，函数f(x)在(0，)上是增函数BaR，函数f(x)在(0，)上是减函数CaR，函数f(x)为奇函数DaR，函数f(x)为偶函数4若奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最大值为5，则f(x)在区间7，3上是()A增函数且最小值是5B增函数且最大值是5C减函数且最大值是5D减函数且最小值是5解析：奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性，因此函数在区间7，3上单调递增，最小值是f(7)f(7)5.答案：A5、设函数f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是 ()Ax|3x3B
17、x|x3或0x3Cx|x3Dx|3x0或0x3解析：由xf(x)0得或，而f(3)0，f(3)0，即或，因为函数f(x)为奇函数，且在(0，)内是增函数，所以函数在(，0)内也是增函数，故得3x0或0x0时，g(x)在1,2上是减函数，则a的取值范围是(0,1答案：(0,17设函数f(x)为奇函数，则a_.解析：由题意知，f(1)f(1)0，即2(1a)00，a1.答案：18(2011银川模拟)已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如右图所示，那么不等式xf(x)0的解集为_解析：当0x3时，由图象知，满足xf(x)0的解为：0x1，由奇函数的对称性可求答案：(1
18、,0)(0,1)三、解答题9判断下列函数的奇偶性，并说明理由(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)(x1) ，x(1,1)；10已知函数f(x)是定义在(0，)上的减函数，且满足f(xy)f(x)f(y)，f()1.(1)求f(1)；(2)若f(x)f(2x)2，求x的取值范围解：(1)令xy1，则f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)211f()f()，fx(2x)f()，由f(x)为(0，)上的减函数，得1x0 ( )Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2规范解答当x0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x4或x0.12戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功
