1、第四章 数列 例1已知数列1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+（3n5）是该数列的前几项之和.正解：（1）an=3n2;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前n1项的和. 例2 已知数列的前n项之和为 求数列的通项公式。正解： 当时， 当时， 经检验 时 也适合， 当时， 当时， 例3 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。正解：由题意：得代入得S40 。 例5已知一个等差数列的通项公式an=255n，求数列的前n项和；正解： 例6已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是12
2、20，由此可以确定求其前项和的公式吗？ 例7已知： （） （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） （2） 当近于0时其和绝对值最小 令： 即 1024+ 得： 例8项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 （） 证明：依题意 （获证）。 四、典型习题导练1已知，求及。2设，求证：。3.求和: 4.求和： 5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.6.在等差数列中， ，则 （ ）。A72B60C48D367. 已知是等差数列，且满足，则等于_。8.已知数列成等差数列，且，求的值。4.2等比数列的通项与求和三、经典例题导讲例1
3、 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列正解：当n1时，a1=S1aq;当n1时，（常数）但既不是等差数列，也不是等比数列，选C。例2 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.错解：S30= S10q 2. q 27，q， S40= S30q =.错因：是将等比数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.正解：由题意：得，S40=.例3 求和：a+a2+a3+an.错解： a+a2+a3+an.错因：
4、是（1）数列an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a0时，a+a2+a3+an0; 当a1时，a+a2+a3+ann;当a1时， a+a2+a3+an.例4设均为非零实数， 求证：成等比数列且公比为。证明：证法一：关于的二次方程有实根， ， 则必有：，即，非零实数成等比数列 设公比为，则，代入 ，即，即。证法二： ，且 非零，。 例5在等比数列中，求该数列前7项之积。 解： ，前七项之积 例6求数列前n项和 解： 两式相减：例7从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg
5、盐水，然后再加入1kg水，问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？ (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则： a1= 0.2 （kg）, a2=0.2（kg）, a3= ()20.2（kg） 由此可见：an= ()n-10.2（kg）, a5= ()5-10.2= ()40.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得an是等比数列 a1=0.2 , q= 答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数
6、为0.003125。四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1) a1=-2, a3=-82) a1=5, 且2an+1=-3an 3) a1=5, 且2.在等比数列，已知，求. 3.已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列为求此数列前项的和。5.已知数列an中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn6.是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列Sn也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列中，求的范围。4.3数列的综合应用三、经典例题导讲例1设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n
7、项和.证明：。错解：欲证只需证2即证：由对数函数的单调性，只需证原不等式成立.错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q1的情况.正解：欲证只需证2即证：由对数函数的单调性，只需证由已知数列是由正数组成的等比数列，0,.若,则 0；若,原不等式成立.例4求数列的前n项和。 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 当时， 当时，例5求数列前n项和解：设数列的通项为bn，则 例6设等差数列an的前n项和为Sn，且，求数列an的前n项和 解：取n =1，则又由 可得：例7大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则当n为奇数时，取 S达到最小值当n为偶数时，取 S达到最大值 四、典型习题导练3已知数列中，是它的前项和，并且， （1） 设，求证数列是等比数列； （2） 设，求证数列是等差数列。4.在ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证ABC为正三角形。 5 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值.8
