1、高中数学双曲线经典例题一、双曲线定义及标准方程1已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）Ax=0BCD2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 ；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，2）和B（2，）两点的双曲线的标准方程5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为二、离心率1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上
2、一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为2、设F1，F2是双曲线C：（a0，b0）的两个焦点若在C上存在一点P使PF1PF2，且PF1F2=30，则C的离心率为3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和则双曲线的离心率e的取值范围是（）ABCD3、焦点三角形1、设P是双曲线x2=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为2、已知F1，F2分别是双曲线3x25y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且F1PF2=120，求F1PF2的面积3、已知双曲线焦点在y
3、轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍求：（1）双曲线的渐近线方程；（2）若P为双曲线上一点，且满足F1PF2=60，求PF1F2的面积4、直线与双曲线的位置关系已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= 5、综合题型如图，已知椭圆(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1k21；(3)
4、是否存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由高中数学双曲线经典例题参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1（2015秋洛阳校级期末）已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）Ax=0BCD【解答】解：由题意，若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上又C1，C2的坐标分别为（4，0）与（4，0）其垂直平分线为y轴，动圆圆心M的轨迹
5、方程是x=0若一内切一外切，不妨令与圆C1：（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x4）2+y2=2外切，则有M到（4，0）的距离减到（4，0）的距离的差是2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以（4，0）与（4，0）为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得b2=c2a2=14，故此双曲线的方程为综知，动圆M的轨迹方程为应选D2（2014齐齐哈尔三模）双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和则双曲线的离心率e的取值范围是（）ABCD【解答】解：直线l的方程为+=1，即bx+ayab=0由点到直线的距离公式，且a1，得到点（1，
6、0）到直线l的距离 ，同理得到点（1，0）到直线l的距离.，由，得于是得 52e2，即4e425e2+250解不等式，得 e25由于e10，所以e的取值范围是 故选D二填空题（共5小题）3（2013秋城区校级期末）已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为33【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c=10P是双曲线上一点，|PF1|PF2|=2a=16，又|PF1|=17，|PF2|=1或|PF2|=33又|PF2|ca=2，|PF2|=33故答案为334（2008秋海淀区期末）已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一
7、点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为【解答】解：由题意，角F1或角F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程=1此时P（c，y），代入双曲线方程=1解得y=又三角形PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2，故得=2c，即2ac=c2a2，即e22e1=0，解得e=1故双曲线的离心率是故答案为5（2014秋象山县校级月考）设P是双曲线x2=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为2【解答】解：设双曲线左焦点为F2，由双曲线的定义可得|PF2|PF|=2a，即|PF|=|PF2|2a，则|PA|+|PF|=|PF2|+|PA|2a|F
8、2A|2a，当P、F2、A三点共线时，|PF2|+|PA|有最小值，此时F2（2，0）、A（3，1），则|PF2|+|PA|=|AF2|=，而对于这个双曲线，2a=2，所以最小值为2故答案为：26（2011秋张家港市校级期末）与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是【解答】解：设所求双曲线的方程为 ，已知双曲线的焦点为（，0）所求双曲线中的c2=5双曲线过点且c2=a2+b2联立解得a2=4，b2=1，双曲线的方程为故答案为：7（2013湖南）设F1，F2是双曲线C：（a0，b0）的两个焦点若在C上存在一点P使PF1PF2，且PF1F2=30，则C的离心率为【解答】解：依题意可知F1P
9、F2=90|F1F2|=2c，|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|PF2|=2a=（1）ce=故答案为：三解答题（共4小题）8已知F1，F2分别是双曲线3x25y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且F1PF2=120，求F1PF2的面积【解答】解：由题意，双曲线3x25y2=75，可化为=1由余弦定理可得160=PF12+PF222PF1PF2cos120=（PF1PF2）2+3PF1PF2=100+3PF1PF2，PF1PF2=20SF1PF2=PF1PF2sin120=20=5故答案为：A9（2014春湄潭县校级期中）已知双曲线焦点在
10、y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍求：（1）双曲线的渐近线方程；（2）若P为双曲线上一点，且满足F1PF2=60，求PF1F2的面积【解答】解：（1）设双曲线方程为（a0，b0），则焦距是实轴长的2倍，c=2a，b=a，双曲线的渐近线方程为y=x；（2）由余弦定理可得4c2=PF12+PF222PF1PF2cos60=（PF1PF2）2+PF1PF2=4a2+PF1PF2，焦距为10，2c=10，2a=5PF1PF2=75SF1PF2=PF1PF2sin60=75=10（2008秋岳阳校级期末）求焦点在坐标轴上，且经过点A（，2）和B（2，）两点的双曲线的标准方程【解答】解：设所求双曲线方程为：mx2ny2=1，（mn0），因为点A（，2）和B（2，）在双曲线上，所以可得：，解得，故所求双曲线方程为11（2009秋天心区校级期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 ；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为【解答】解：（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得a=8，c=10b2=c2a2=10064=36所以焦点在x轴上的双曲线的方程为（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得a=3，b=所以焦点在x轴上的双曲线的方程为同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为第10页（共10页）
