1、乘法公式培优训练题型一:a 型1已知x23x+1=0,则= 2若a2+=14,则a+5的值为 3已知a+=7,则a3+的值是 4已知=3,则= 5(1)猜想:试猜想a2+b2与2ab的大小关系,并说明理由;(2)应用:已知x,求x2+的值;(3)拓展:代数式x2+是否存在最大值或最小值,不存在,请说明理由;若存在,请求出最小值题型二:换元,整体思想1已知a+b=4,则= 2已知(2017a)2+(2016a)2=1,则(2017a)(2016a)= 3已知(2017A)2(2015A)2=2016,则(2017A)2+(2015A)2 的值为 4计算(1)(+)(1)(+)的结果是 5计算(a
2、1+a2+an1)(a2+a3+an1+an)(a2+a3+an1)(a1+a2+an)=题型三、添与凑1对于算式2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1(1)计算出算式的结果;(2)结果的个位数字是几?2 化简:6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)+1= 3计算下列各式:(1)1= ;(2)(1)(1)= ;(3)(1)(1)(1)= ;(4)请你根据上面算式所得的简便方法计算下式:(1)(1)(1)(1)(1)(1)4(1)计算:(a1)(a+1)= ;(a1)(a2+a+1)= ;(a1)(a3+a2+a+1)= ;(2)
3、由上面的规律我们可以猜想,得到:(a1)(a2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1)= ;(3)利用上面的结论,求下列各式的值22017+22016+22015+22014+22+2+1 52017+52016+52015+52014+52+5+1题型四、化简求值1已知代数式(x2y)2(xy)(x+y)2y2(1)当x=1,y=3时,求代数式的值;(2)当4x=3y,求代数式的值3 已知a2+2a2=0,求代数式(3a+2)(3a2)2a(4a1)的值3(1)已知a2+b2=3,ab=1,求(2a)(2b)的值(2)设b=ma(a0),是否存在实数m,使得(2ab)2(a
4、2b)(a+2b)+4a(a+b)能化简为12a2?若能,请求出满足条件的m值;若不能,请说明理由4计算:(1)(48a6b5c)(24ab4)(a5b2);(2)已知xm=3,xn=2,求x2m3n的值;(3)已知6x=5y,求代数式(x3y)2(xy)(x+y)5y2的值题型五、综合运用1如果等式x2+3x+2=(x1)2+B(x1)+C恒成立,其中B,C为常数,B+C= 2已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,ycm,且满足(xy)22x+2y+1=0,求其面积3两个不相等的实数a,b满足a2+b2=5(1)若ab=2,求a+b的值;(2)若a22a=m,b22b=m,求a
5、+b和m的值4 已知|xy+1|与x2+8x+16互为相反数,求x2+2xy+y2的值5 将4个数a b c d排成两行,两列,两边各加一条竖直线记成,定义=adbc上述记号叫做2阶行列式,若=8求x的值6把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的式子(1)图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的方法计算这个正方形的面积,你发现了什么结论?请写出来(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上,连结BD、BF,若两正方形的边长满足a+b=10,ab=20,试求阴影部分的面积7图1是一个长
6、为2m,宽为2n的长方形纸片(其中mn),先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形,然后拼成如图2所示的大正方形(1)请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积: ; (2)写出关于(m+n)2,(mn)2,mn的一个等式 (3)若m+n=10,mn=20,求图2中阴影部分的面积8从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)(1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)Aa22ab+b2=(ab)2Ba2b2=(a+b)(ab)Ca2+ab=a(a+b)(2)若x29y2=12,x+3y=4,求x3y的值;(3)计算:(1)(1)(1)(
7、1)(1)9有一系列等式:1234+1=52=(12+31+1)22345+1=112=(22+32+1)23456+1=192=(32+33+1)24567+1=292=(42+34+1)2(1)根据你的观察、归纳、发现的规律,写出891011+1的结果 (2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方,并予以证明10(1)已知a+b=3,ab=2,求代数式(ab)2的值(2)已知a、b满足(2a+2b+3)(2a+2b3)=55,求a+b的值11如图,长方形的两边长分别为m+1,m+7;如图,长方形的两边长分别为m+2,m+4(其中m为正整数) (1)图中长方形的面积S1=
8、 ;图中长方形的面积S2= 比较:S1 S2(填“”、“=”或“”)(2)现有一正方形,其周长与图中的长方形周长相等,则求正方形的边长(用含m的代数式表示);试探究:该正方形面积S与图中长方形面积S1的差(即SS1)是一个常数,求出这个常数(3) 在(1)的条件下,若某个图形的面积介于S1、S2之间(不包括S1、S2)并且面积为整数,这样的整数值有且只有10个,求m的值12先阅读下面的内容,再解决问题,例题:若m2+2mn+2n26n+9=0,求m和n的值解:m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0(m+n)2+(n3)2=0m+n=0,n3=0m=3,n=3问题(
9、1)若x2+2y22xy+4y+4=0,求xy的值(2) 已知a,b,c是ABC的三边长,满足a2+b2=10a+8b41,且c是ABC中最长的边,求c的取值范围26已知x、y互为相反数,且(x+3)2(y+3)2=6,求x、y的值2017年12月02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一选择题(共11小题)1已知x23x+1=0,则=7【解答】解:x23x+1=0,x+=3,(x+)2=x2+2=9,x2+=7故答案为:72化简:6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)+1=732【解答】解:原式=(71)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)+1=
10、(721)(72+1)(74+1)(78+1)(716+1)+1=(741)(74+1)(78+1)(716+1)+1=(781)(78+1)(716+1)+1=(7161)(716+1)+1=7321+1=732故答案为:7323已知(2017a)2+(2016a)2=1,则(2017a)(2016a)=0【解答】解:(2017a)2+(2016a)2=1,(2017a)(2016a)2+2(2017a)(2016a)=1,即1+2(2017a)(2016a)=1,2(2017a)(2016a)=0,(2017a)(2016a)=0,故答案为:04若a2+=14,则a+5的值为1或9【解答】
11、解:a2+=14,a2+2+=14+2,即=16,a+=4,a+5=1或9,故答案为:1或95已知a+b=4,则=8【解答】解:=(a2+2ab+b2)=(a+b)2=42=8故答案是:86已知=3,则=119【解答】解:,=119,故答案为:1197已知(2017A)2(2015A)2=2016,则(2017A)2+(2015A)2 的值为4+24【解答】解:设x=2017A,y=2015A,x2y2=2016,xy=12,xy=2x2+y2=(xy)2+2xy=424x2+y20,x2+y2=4+24(2017A)2+(2015A)2=4+24故答案为:4+248已知a+=7,则a3+的值
12、是322【解答】解:a+=7,(a+)2=49,a2+2=49,a2+=47,a3+=(a+)(a21+)=746=322故答案为:3229如果等式x2+3x+2=(x1)2+B(x1)+C恒成立,其中B,C为常数,B+C=11【解答】解:x2+3x+2=(x1)2+B(x1)+C=x2+(B2)x+1+C恒成立,B2=3,1+C=2,B=5,C=6,故B+C=11故答案为:1110计算(1)(+)(1)(+)的结果是【解答】解:(1)(+)(1)(+)=(1)(+)+(1)(1)(+)()(+)=(1)+(+)=(1+)=故答案为:11计算(a1+a2+an1)(a2+a3+an1+an)(
13、a2+a3+an1)(a1+a2+an)=a1an【解答】解:设x=a1+a2+an,y=a2+a3+an1,则原式=(xan)(y+an)yx=xy+xananyan2xy=an(xy)an2=an(a1+a2+an)(a2+a3+an1)an2=an(a1+an)an2=a1an,故答案为:a1an二选择题(共16小题)12已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,ycm,且满足(xy)22x+2y+1=0,求其面积【解答】解:由题意得:2(x+y)=16,解得:x+y=8;(xy)22x+2y+1=(xy)22(xy)+1=(xy1)2=0,xy=1联立成方程组,解得:,长方形
14、面积S=xy=cm2答:长方形的面积为cm213两个不相等的实数a,b满足a2+b2=5(1)若ab=2,求a+b的值;(2)若a22a=m,b22b=m,求a+b和m的值【解答】解:(1)a2+b2=5,ab=2,(a+b)2=a2+2ab+b2=5+22=9,a+b=3;(2)a22a=m,b22b=m,a22a=b22b,a22a+b22b=2m,a2b22(ab)=0,(ab)(a+b2)=0,ab,a+b2=0,a+b=2,a22a+b22b=2m,a2+b22(a+b)=2m,a2+b2=5,522=2m,解得:m=,即a+b=2,m=14已知|xy+1|与x2+8x+16互为相反
15、数,求x2+2xy+y2的值【解答】解:|xy+1|与x2+8x+16互为相反数,|xy+1|与(x+4)2互为相反数,即|xy+1|+(x+4)2=0,xy+1=0,x+4=0,解得x=4,y=3当x=4,y=3时,原式=(43)2=4915将4个数a b c d排成两行,两列,两边各加一条竖直线记成,定义=adbc上述记号叫做2阶行列式,若=8求x的值【解答】解:根据题意化简=8,得:(x+1)2(1x)2=8,整理得:x2+2x+1(12x+x2)8=0,即4x=8,解得:x=216把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的式子(1)图1是由几个面积不等的小
16、正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的方法计算这个正方形的面积,你发现了什么结论?请写出来(2)图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上,连结BD、BF,若两正方形的边长满足a+b=10,ab=20,试求阴影部分的面积【解答】解:(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(2)a+b=10,ab=20,S阴影=a2+b2(a+b)ba2=a2+b2ab=(a+b)2ab=10220=5030=2017图1是一个长为2m,宽为2n的长方形纸片(其中mn),先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形,然后拼成如图2所
17、示的大正方形(1)请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积:(mn)2;(m+n)24mn(2)写出关于(m+n)2,(mn)2,mn的一个等式(m+n)2=(mn)2+4mn(3)若m+n=10,mn=20,求图2中阴影部分的面积【解答】解:(1)图2中阴影部分的面积:(mn)2;(m+n)24mn;故答案为:(mn)2;(m+n)24mn;(2)关于(m+n)2,(mn)2,mn的一个等式:(m+n)2=(mn)2+4mn;故答案为:(m+n)2=(mn)2+4mn;(3)m+n=10,mn=20,图2中阴影部分的面积为:(m+n)24mn=102420=2018对于算式2(3+1)(32
18、+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1(1)计算出算式的结果;(2)结果的个位数字是几?【解答】解:(1)原式=(31)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1=(321)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1=(341)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1=(3321)(332+1)+1=364;31=3,32=9,33=27,34=8135=243,36=729,每3个数一循环,643=211,364的个位数字是319计算下列各式:(1)1=;(2)(1)(1)=;(3)(1)(
19、1)(1)=;(4)请你根据上面算式所得的简便方法计算下式:(1)(1)(1)(1)(1)(1)【解答】解:(1)1=;(2)(1)(1)=;(3)原式=;故答案为;(4)原式=20从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)(1)上述操作能验证的等式是B(请选择正确的一个)Aa22ab+b2=(ab)2Ba2b2=(a+b)(ab)Ca2+ab=a(a+b)(2)若x29y2=12,x+3y=4,求x3y的值;(3)计算:(1)(1)(1)(1)(1)【解答】解:(1)根据阴影部分面积相等可得:a2b2=(a+b)(ab),上述操作能验证的等式
20、是B,故答案为:B;(2)x29y2=12,x29y2=(x+3y)(x3y)=12,x+3y=4,x3y=3;(3)原式=21有一系列等式:1234+1=52=(12+31+1)22345+1=112=(22+32+1)23456+1=192=(32+33+1)24567+1=292=(42+34+1)2(1)根据你的观察、归纳、发现的规律,写出891011+1的结果892(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方,并予以证明【解答】解:(1)根据观察、归纳、发现的规律,得到891011+1=(82+38+1)2=892;故答案为:892;(2)依此类推:n(n+1)(
21、n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,理由如下:等式左边=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1,等式右边=(n2+3n+1)2=(n2+1)2+23n(n2+1)+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1,左边=右边22(1)已知a+b=3,ab=2,求代数式(ab)2的值(2)已知a、b满足(2a+2b+3)(2a+2b3)=55,求a+b的值【解答】解:(1)a+b=3,ab=2,(ab)2=(a+b)24ab=324(2)=17;(2)(2a+2b+3)(2a+2b3
22、)=55,4(a+b)29=55,(a+b)2=16,a+b=423如图,长方形的两边长分别为m+1,m+7;如图,长方形的两边长分别为m+2,m+4(其中m为正整数)(1)图中长方形的面积S1=m2+8m+7;图中长方形的面积S2=m2+6m+8比较:S1S2(填“”、“=”或“”)(2)现有一正方形,其周长与图中的长方形周长相等,则求正方形的边长(用含m的代数式表示);试探究:该正方形面积S与图中长方形面积S1的差(即SS1)是一个常数,求出这个常数(3)在(1)的条件下,若某个图形的面积介于S1、S2之间(不包括S1、S2)并且面积为整数,这样的整数值有且只有10个,求m的值【解答】解:
23、(1)图中长方形的面积S1=(m+7)(m+1)=m2+8m+7,图中长方形的面积S2=(m+4)(m+2)=m2+6m+8,比较:S1S2=2m1,m为正整数,m最小为1,2m110,S1S2;(2)2(m+7+m+1)4=m+4;SS1=(m+4)2(m2+8m+7)=9定值;(3)由(1)得,S1S2=2m1,当102m111时,m6,m为正整数,2m1=11, m=6故答案为:m2+8m+7,m2+6m+8,24(1)计算:(a1)(a+1)=a21;(a1)(a2+a+1)=a31;(a1)(a3+a2+a+1)=a41;(2)由上面的规律我们可以猜想,得到:(a1)(a2017+a
24、2016+a2015+a2014+a2+a+1)=a20181;(3)利用上面的结论,求下列各式的值22017+22016+22015+22014+22+2+152017+52016+52015+52014+52+5+1【解答】解:(1)(a1)(a+1)=a21;(a1)(a2+a+1)=a31;(a1)(a3+a2+a+1)=a41;故答案为:a21;a31;a41;(2)由上面的规律我们可以猜想,得到:(a1)(a2017+a2016+a2015+a2014+a2+a+1)=a20181;故答案为:a20181;(3)理利用上面的结论,求下列各式的值22017+22016+22015+2
25、2014+22+2+1=(21)(22017+22016+22015+22014+22+2+1)=220181;52017+52016+52015+52014+52+5+1=(51)(52017+52016+52015+52014+52+5+1)=(520181)25先阅读下面的内容,再解决问题,例题:若m2+2mn+2n26n+9=0,求m和n的值解:m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0(m+n)2+(n3)2=0m+n=0,n3=0m=3,n=3问题(1)若x2+2y22xy+4y+4=0,求xy的值(2)已知a,b,c是ABC的三边长,满足a2+b2=10
26、a+8b41,且c是ABC中最长的边,求c的取值范围【解答】解:(1)x2+2y22xy+4y+4=x22xy+y2+y2+4y+4=(xy)2+(y+2)2=0,xy=0,y+2=0,解得x=2,y=2,xy=(2)2=;(2)a2+b2=10a+8b41,a210a+25+b28b+16=0,即(a5)2+(b4)2=0,a5=0,b4=0,解得a=5,b=4,c是ABC中最长的边,5c926已知x、y互为相反数,且(x+3)2(y+3)2=6,求x、y的值【解答】解:x、y互为相反数,y=x,(x+3)2(y+3)2,=(x+3)2(x+3)2,=x2+6x+9x2+6x9,=6,即12
27、x=6,解得x=,y=x=故答案为:x、y的值分别是,27(1)猜想:试猜想a2+b2与2ab的大小关系,并说明理由;(2)应用:已知x,求x2+的值;(3)拓展:代数式x2+是否存在最大值或最小值,不存在,请说明理由;若存在,请求出最小值【解答】解:(1)猜想a2+b22ab,理由为:a2+b22ab=(ab)20,a2+b22ab;(2)把x=5两边平方得:(x)2=x2+2=25,则x2+=27; (3)x2+2,即最小值为2三解答题(共4小题)28已知代数式(x2y)2(xy)(x+y)2y2(1)当x=1,y=3时,求代数式的值;(2)当4x=3y,求代数式的值【解答】解:原式=x2
28、4xy+y2(x2y2)2y2=4xy+3y2(1)当x=1,y=3时,原式=12+39=12+27=15(2)当4x=3y时,原式=y(4x3y)=029已知a2+2a2=0,求代数式(3a+2)(3a2)2a(4a1)的值【解答】解:(3a+2)(3a2)2a(4a1)=9a248a2+2a=a2+2a4,当a2+2a2=0,即a2+2a=2时,原式=24=230(1)已知a2+b2=3,ab=1,求(2a)(2b)的值(2)设b=ma(a0),是否存在实数m,使得(2ab)2(a2b)(a+2b)+4a(a+b)能化简为12a2?若能,请求出满足条件的m值;若不能,请说明理由【解答】解:
29、(1)把ab=1两边平方得:(ab)2=a2+b22ab=1,把a2+b2=3代入得:32ab=1,即ab=1,(a+b)2=a2+b2+2ab=3+2=5,a+b=,则原式=4(a+b)+ab=5;(2)原式=4a24ab+b2a2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2,当b=a时,原式=12a2,则m=131计算:(1)(48a6b5c)(24ab4)(a5b2);(2)已知xm=3,xn=2,求x2m3n的值;(3)已知6x=5y,求代数式(x3y)2(xy)(x+y)5y2的值【解答】解:(1)(48a6b5c)(24ab4)(a5b2)=2a5bc(a5b2)=a10b3c(2)xm=3,xn=2,x2m3n=(xm)2(xn)3=3223=(3)(x3y)2(xy)(x+y)5y2=x26xy+9y2x2+y25y2=5y26xy=y(5y6x)6x=5y,原式=y0=0第23页(共23页)