1、74 李雅普诺夫第二方法,为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方法: 第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。 第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法。,李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。,例:考虑如下系统关于零解的稳定性：,首先构造一个正定函数：,例：考虑小阻尼线性振动系统：,易于验证，这是一个正定函数。而方程,一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数：,当x1和
2、x2不同时为零时，即在相平面上，除原点x1=x2=0外，总有dv/dt0),且当C趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩的超曲面族；v(x1,xn)沿着解x1=x1(t),xn=xn(t)的时间导数dv/dt= w(x1,xn)也具有一定的符号性质，例如负定或半负定。,正定函数 v(x) = Ci 0 的等值线示意图：这是一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的曲线。,一、符号函数的定义,就是这样的函数。,例： 变号 v(x1, x2) = x1x2,本节讨论方程,关于平衡状态 x = 0 的稳定性。,二、几个主要定理,或,首先，对函数 v(x) 沿方程(7-39)解对时间 t 求
3、导数：,v(x,t)正定（负定），且沿方程（7-39）,则（7-39）的零解稳定i.s.L。,定理7-20*（Lyapunov,1892)：,的始于x、t 的运动的导数,注：这是一个充分条件；若f 从而 v 不显含t，则结论为,几何解释（仅讨论v(x)的情形）：,由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 而向原点退缩。又由 半负定知v(x)的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加，这表明系统关于原点（零解）是稳定的。,例：考虑系统：,定理7-21* 若v(x)正定（负定），且v(x)沿方程 （7-39）dx/dt=f(x), f(0)=0 解的导数,则（7-39）的零
4、解渐近稳定。,几何解释： 由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt 负定则说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从而在任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿越v(x)=C 走向内部。这表明，limt0x(t)=0，即原点（零解）是渐近稳定的。,例：考虑小阻尼线性振动系统：,此时只能用定理7-20判断系统李氏稳定，尽管事实上该系统是渐近稳定的。这说明：,能构造出v(x)，满足定理7-21*，从而判定系统渐近稳定；能构造出v(x)，仅满足定理7-20*，只能得出稳定的结论；甚至连满足定理7-20*的v(x)也构造不出来，
5、这时我们对系统稳定与否无法作出任何结论。,对一个系统，构造一个合适的 v 函数是十分重要的。若原点是渐近稳定的，但并不预先知道这一点，则可能出现如下三种情况：,定理7-21* 若v(x)正定（负定），v(x)沿方程（7-39）,且沿方程（7-39）的非零解 ，dv/dt 不恒为零，则（7-39）的零解渐近稳定。,2）定理7-21*对dv/dt负定的要求可以削弱。我们有：,定理7-22* 若有一个v(x), 满足(1)在原点的某个邻域x 0的区域，这种区域可能包含若干个子区域 uj 。 uj的边界是由v=0和x = 所组成。,(2) 在某个子区域，v 沿（7-39）解的导数,则（ 7-39）的零
6、解是不稳定的。,定理7-22*的几何意义：,v0： uj (j=1,2,3),定理7-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵N，都存在唯一的正定对称阵M，使得,（744）,三、线性系统二次型 v 函数,为什么要研究这个问题？ 在控制律的设计中，通常由于A阵的参数并不确切知道，则定理7-25的充分性条件告诉我们，只要构造一个v函数，其沿方程的导数是负定的，则系统一定渐近稳定。因此，定理7-25以及其构造Lyapunov函数的思想在控制系统控制律设计中具有十分重要的意义。,证明：充分性：若对任给正定对称阵N，都存在唯一的正定对称阵M，使(7-44)成立，要证
7、明系统渐近稳定。为此，构造 Lyapunov 函数：,对其沿方程的解微分，有,由定理7-21*知零解渐近稳定。,必要性：要证明若dv/dt=Ax渐近稳定，则对任意给定的对称正定阵N，有唯一的正定对称阵M存在，使得(7-44)成立。为此，考虑矩阵微分方程,不难验证其解为,对,积分并注意到系统渐近稳定的假设， 有,M阵的唯一性：为此将方程（7-44）写成,两式相减得,因此，,又,定理5-13 设A、F和GC分别是 矩阵，则方程,有 阵P唯一存在的充要条件为F与A无相同的特征值。,M阵唯一性的简单证明方法：考虑定理5-13:,对(5-33)进行转置并令r=n, FT= A, CTGT= N, P=M
8、（注意M已是对称的）, 有,这里，用到了M为对称正定阵的假设。于是，M唯一存在的充要条件是A与AT无相同的特征值。由于A渐近稳定，所有的根均具负实部，上述条件显然成立，即：,证完。,几点说明：,矩阵方程（744）给出了构造这个二次型v函数的具体途径，在指定正定对称的N阵后可求解（7-44）所定义的(1/2)n(n+1)个未知量的代数方程组。定理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组有唯一解存在;,2. 在求解（744）时比较简单的是取N为单位阵;,当A中含有未确定参数时，可以先指定一个N阵，而后解（744）所确定的代数方程组，从而得到M阵，用Sylvester 定理写出M阵正定的条件，这样
9、就可得到系统稳定时，A中的待定参数应满足的条件。应当指出，这些待定参数应满足的条件是和N阵的选择无关的。,需要引起注意的是，定理7-25并不意味着以下命题成立，即,例7 10,显然A的特征值均有负实部，M正定，但按（744）计算出的,却不是正定的。,“A渐近稳定，M正定，由（744）式所得的N一定正定。”,例7-9 考虑二维系统,求系统渐近稳定时参数应满足的条件。令N=I，由（7-44）式可得,上述方程组的系数矩阵A1的行列式为,若detA10，方程组就有唯一解，其解为,由M正定的Sylvester 判据可得,(3)、(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件。,定理7-26 若定理7-25（7-
10、44）中的N取为半正定对称阵，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒为零，则矩阵方程,ATX+XA=N （7-46）,注：关于定理7-26 “xTNx沿方程的非零解不恒为零”的条件不能少。例1: A渐近稳定，N半正定，不能保证M正定,这是因为xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，容易算出,若将N分解为 N=1 0T1 0:=CTC，则易于验证 (A，C)不可观测。,例2. N半正定，M正定，不能保证A渐近稳定。,分析：1. xTNx沿方程的非零解,2. 令C=1 0, N=CTC, 可知(A, C)不可观测。,但 xTNx=x12 ，故xTNx=x12恒为零，即沿非零解恒为零。,xTNx沿方程
11、的非零解不恒为零，这时(A, C)可观测,定理满足。,例3：,结论： “xTNx沿方程的非零解不恒为零, ”可用(A, C)可观测代替，这里N= CTC。进而，我们有：,定理7-26* 时不变动态方程 的零解渐近稳定的充分必要条件是对应的Lyapunov方程,（744）,在给定（A, N)为可观测的半正定阵N下，方程(7-44)的解M为正定。,关于定理的证明：因为N为半正定矩阵，总可以将其分解为 N=CTC 的形式。易于证明（例如用反证法），(A, N)可观测可推得(A, C)可观测。必要性证明：类似于定理7-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使(A，N)可观测的半正定阵N，由积分,确定的矩阵
12、M必满足(7-44)且为正定（可观测性Gram矩阵）。,充分性证明：若在给定（A, N)为可观测的半正定阵N下，方程(7-44)的解M为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑,这说明使 的x是零解，即沿方程的非零解dv/dt不恒为零。由定理7-21*，系统必渐近稳定。 证完。,例题7-11： 考虑如下三阶多项式：,注: 以上证明可以去掉，根据“(A,C) 可观测当且仅当 =0”这一命题就立即可以看出x00。,令,定义系统如下：,假定D0(s)和D1(s)无公因子。则D(s) 为Hurwitz 多项式当且仅当系统g(s)稳定。将D0(s)/D1(s)展开：,试证明劳斯判据：系统渐近稳定当且仅
13、当劳斯表的第一列所有元素大于零。,则,不难验证，g(s)可由下列系统实现：,这是一个最小实现，系统可控可观测。现用Lyapunov 直接方法研究以上系统零解的渐近稳定性。为此定义N为,显然，(A, N)可观测。解方程,得到,欲使M正定，只要10, 2 0, 3 0。,一般情形下劳斯判据的证明完全类似，参见Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design ”p.417.,四、关于Lyapunov 函数,应当特别注意定理7-20*-7-21*均为充分条件。这意味，即便我们不能构造出满足系统稳定的v函数，也不能因此断言系统不稳定。要证明系统不稳定，须找
14、出满足不稳定定理的v函数（参见高为炳运动稳定性基础）；,不通过求解微分方程而能对系统的稳定性作出结论的标量函数称作系统的一个李雅普诺夫函数；,如何构造v函数是一个复杂的问题。即使满足某系统的 v 函数理论上存在，要找到其解析的表达式仍非易事。寻求构造 v 函数的一般方法的企图是不现实的。但对于线性系统，存在一些构造 v 函数的方法。,本节对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法，即定理7-25、定理7-26及定理7-26*，是基于以下考虑：介绍李雅普诺夫方程(7-44)： ATM+MA=N， 这是系统理论中很多问题要涉及的方程； 线性系统的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到对一类非线性系统合适的 v 函数;v函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质及系统的综合;,有时我们会说找到了一个更好的李氏函数，是指它在用于评价系统时有较少的保守性，或用于系统设计时可以得到更好的结果；对时变的函数v(x, t)，除了前述符号的要求之外(定号函数的定义也异于v(x)，定理也和定常情况不同，应用有关稳定性定理时要特别注意 “具无穷小上界”(1)或“K类函数界”(2)的要求。引用教科书时要多查证。,
