1、第七讲 数学文化,目录,一、概论二、数学美学三、数学思维四、数学哲学五、数学科学价值六、数学魅力七、数学史上的3次危机八、结语,一、 概论 什么是数学 （美）R柯朗（数学是什么）：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”,（英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类”， 而最前面的命题p是否对，却无法判断。 因此“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”,哲学说符号说科学说工具说逻辑说创新说直觉说 集合说,结构说（关系说） 模型说 活动说 精神说 审美说 艺术说万
2、物皆数说,数学的15个“定义”,哲学说,亚里士多德：“新的思想家把数学和哲学看作是相同的。” 古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人，几何原本：点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度。 牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。,数学与哲学 数学中“无限”的概念、“连续”的概念，一经出现，便成了哲学研究的对象。 “哲学从一门学科中退出， 意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。” B.Demollins:“没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人
3、们就什么也看不透。” 哲学系的“逻辑学”专业与数学系的“数理逻辑”专业。,二、 数学美学,（一）黄金分割点、完美数、mersen数、素数，无限数e与圆周率。 （二）斐波那契数列（三）对称几何：点对称、线对称、面对称、球对称。球面被认为最完美！古希腊对圆和球面的美的最求促进了科学研究的发展。 代数与函数论：共轭数（共轭复数、共轭空间）。运算：交换律、分配律，函数与反函数运算。,（四）符号语言简洁牛顿用数学语言展示了他的三大定律；爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；数学家用群论的语言解决了晶体分类的问题；经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。物理中的布朗运动成为概率论中的语言，生物中的
4、遗传基因DNA，原来是数学中的双螺旋线，医学上已经出现“数字化人体”的概念。,数学语言是人类文明的共同语言 地球上不同地域的人们在不同时间各自独立地发现了“圆周长与直径的比是一个常数”， “直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和”等规律，数学语言超越不同语音成为人类文明人类思维的共同的符合语言。,“”语言、集合论语言、公理化语言,“”语言、集合论语言、公理化语言都是在不同历史时期产生的数学语言，他们在数学发展史上都发挥了很大的作用。特别是集合论语言、公理化语言，现在已经成为数学语言的核心部分和公用形式。,三、数学思维 数学能提供观察世界的一般观念和方法，对人类思维发展具有不可或缺的作用和价
5、值。,逻辑思维：演绎 当归纳具有完全性时，其方法可以说属于逻辑的范畴了。逻辑思维的代表之一是演绎思维。 演绎思维最早来自几何学，其影响之广泛使得人们特别看重演绎科学的地位。 数学有极强的逻辑性和抽象性。,数学家在从事数学研究的同时，受一定哲学观念的支配，同时，研究成果也影响着他们的世界观。毕达格拉斯、伽利略、笛卡儿、开普勒认为世界是数的体现，世界是按数学公式运行的，宇宙的书本是按数学写成的。数与世界密不可分。许多数学家都是哲学家。,四、数学与哲学,（一） 有限与无限数学概念的哲学思想 什么是悖论 悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。 例如：“甲是乙”与“甲不是乙
6、”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。,再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。,芝诺悖论 芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。,四个芝诺悖论之一： 阿基里斯追不上乌龟。 症结： 无限段长度或时间的和，可能是有限的。
7、芝诺悖论的意义： 促进了严格、求证数学的发展 较早的“反证法”及“无限”的思想 尖锐地提出离散与连续的矛盾 空间和时间有没有最小的单位,芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。 芝诺如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。,无限与有限： 在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质）。 在有限的情况下，部分总是小于全体。,当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。 1 2 3 4
8、 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。,在“有限”与“无限”间建立联系： 数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。 极限 通过有限的方法，描写无限的过程。,无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如 递推公式 , a1 = * 因子链条件（抽象代数中的术语）,意识无限与实无限 1意识无限与实无限 意识无限把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中。,从古希腊到康托以
9、前的大多数哲学家和数学家都持这种无限的观点。他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。 因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。,但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。,康托Georg Ferdinand Philip Can
10、tor (18451918) 德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。,无限集合也有“大小” 从“一一对应”说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的“大小”。 正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合
11、比正整数集“大”。实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，都能找到更“大”的无限集合）。,“一一对应”的观点： “一一对应”双射（单射+满射） 集合的势|A|集合中元素的多少 |N| =可数无穷势 a ， |Q|= a |R| =不可数无穷（称连续统势 c）, ：无理数比有理数多得多。,无穷集合可能有不同的势，其中最小的势是 a ；不存在最大的势。 “连续统假设”长期未彻底解决。 康托1882年曾认为他证明了这一假设，后来发现证明有错。 直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。,（二）数学与宗教,1.科学与宗教 爱因斯坦：“没有宗教的科
12、学是瘸子，没有科学的宗教是瞎子。”,中世纪后期（公元11世纪至15世纪） 理性成为基督神学的主要支柱，其标志就是在11世纪产生的 “经院哲学” 。 经院哲学是与宗教神学相结合的唯心主义哲学，是天主教教会用来训练神职人员，在其所设经院中教授的理论。 安瑟伦（经院哲学的开创者）：逻辑三段论、演绎推理 托马斯.阿奎那（经院哲学的集大成者）：归纳推理 经院哲学运用理性形式通过抽象而烦琐的辩证方法论证基督教信仰 。他们的论证引出了科学论证的风气。虽然比较枯燥和晦涩，但客观上导致了一种方法论。,文艺复兴时期（ 17世纪 ） 几乎17世纪的科学家都是自然神论者，没有一个不信奉上帝。 自然神论：上帝是最大的理
13、性，是规律；大自然是上帝的杰作，体现了上帝的伟大神性，我们认识自然的规律与和谐性就是对上帝的信仰和膜拜。牛顿定律掌管世界的运行。 自然神论的意义：为科学争得一席之地，科学不再需要宗教的指手画脚，只需承认世界由上帝创造即可。,18世纪法国崛起的无神论者彻底把上帝从自然界赶了出去，他们认为不存在超理性的东西，无须在自然界寻求奇迹和奥秘。 他们只要自然，不要上帝，把一切都拉入理性的旗帜下面，理性成为万能的。,康德把科学与宗教截然分开。一方面：科学属于人类经验范围，而宗教是超经验的。如果我们僭越自身的经验去追求不在经验范围内的上帝，只会导致二律背反，这样康德就彻底而系统地把上帝从自然中驱逐出去。另一方
14、面：在另外一个灵魂不朽的世界里，上帝会按照每个人的德行对其进行审判。只有这样才能使科学不断的发展，而同时社会的道德水平又可以保持在一个较高的状态。即，宗教可以给人提供道德，而道德将给科学指明方向。（医学伦理学、生命伦理学、环境伦理学、宇宙伦理学等）,2.中世纪的数学,占星术：中世纪的早期，数学这个名词所表示的意义就是占星术。这是由于想要研究星球的运转，丰富的数学知识是必需的，因此，占星术的教授就叫做Mathemathicii。 中世纪的占星术并没有被认为是愚蠢及天真的人所沉溺的迷信，相反地，它被认为是一种科学。而且其原理被接受的程度，就如同后来人们接受哥白尼的天文学及十九世纪的万有引力定律一般
15、。培根、卡丹以及开普勒也赞同占星术的理论，同时用他们丰富的科学及数学知识来研究它。甚至伽利略也曾对医学院的学生演讲天文方面的知识，以供他们应用在占星术上。,数学与基督教会之间的关系 一方面：教会在编制历法，特别是在推算复活节的日期时，占星术、几何学以及算学的知识是非常重要的。所以在欧洲的每一所修道院内，都至少有一位修道士能够执行这项工作。 另一方面：数学可用来当作研究神学的入门。这是由于在中世纪后期，从阿拉伯传入大量被翻译成拉丁文的希腊抄本，特别是亚里士多德的学说和逻辑，更是为当时人所熟知。因此教会必须面临的挑战就是如何去调和亚里士多德哲学和天主教的神学、形而上学和启示录之间的一致性。此时以阿
16、奎那为代表的经院派学者对这些基督教义作出了全然理性的护卫，为神学提供了一个严谨的逻辑结构，并且融合了天主教义和亚里士多德的哲学而成为一个合理的体系，从而为阿奎那赢得了“精神上的欧几里得”的头衔。,印度人:应用巴比伦人的位值原理，建立了十进位的观念，并且将巴比伦的分开符号转变成发展完备的零记号。据历史记载，印度人最先完整地创造了一种非常重要的新概念，那就是负数的概念。阿拉伯人:在数学上突出成就，主要表现在代数学、三角学方面。更为重要的是，阿拉伯人将古代东方数学文化传播到了欧州，从而为欧洲近代代数学的建立作出了不可磨灭的贡献。,几何原本与圣经 几何原本和圣经，一个是数学发展史上的杰作，一个是基督教
17、典籍；一个是严谨精确的，另一个又是超越理性的。 这两本书在结构和根基上以及对人类文明的贡献上都有着许多相似之处。 直到现在还有很多人由于对数学的本质不了解，以为数学是个奥秘；同样的，圣经中的神圣启示对于很多人甚至基督徒也是个深不可测的奥秘。但是一旦接受开启，这个奥秘就可以成为人们真实的经历和享受。,几何原本是古希腊伟大学者欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是一本数学巨著，也是一本哲学巨著，在长达两千多年的时间里它经历多次翻译和修订，自1482年第一个印刷版本出版，至今已经有1000多种不同的版本。除圣经以外没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛能够与几何原本相比
18、。圣经更是一部不朽的著作，历经3400年而不衰（圣经中最古老的经卷约成书于公元前1400年左右），其包含内容之丰富，发行量之大是任何其他一本著作无法比拟的。据统计1984年共有1634种语言的圣经译本已经完成，另有1200多种语言在翻译之中。,欧几里得选择了5条公设和5条定理，从这些有限的公设、公理以及最基本的一些定义出发，以形式逻辑的方法通过完美、严密的推理、演绎来论证命题，推演出整个几何学系统的结构。 圣经做为基督教神学系统的唯一一部典籍也有自己的信仰基石或者说不证自明的公理，那就是：圣父上帝是宇宙的创造者，死而复活的圣子耶稣是人类的拯救者，圣灵是居住在每一位被造者心中的启示者，圣父、圣子
19、、圣灵是三位一体的独一真神。基督信仰者正是由于无条件接受了这样的信仰基石，才会将自己的生命完全的交由上帝来掌管，遵循圣经所教导的诫命、律例和典章。,数学的神学使命 圣经宣称宇宙是由上帝创造的，但是没有记载他是按照什么法则创造出了如此完美和谐的宇宙，圣经只是告诉人们上帝在完成了这一切工作之后就将管理世界的任务交给了人类。 而研究始于3000年前的数学就是探索空间理性的学科，是探索上帝存在的学科，是想找到宇宙“本基”的学科，是为了研究上帝的本性和做法以及上帝安排宇宙的方案的学科。文艺复兴时期的科学家都相信由上帝所创造的自然是数学化的，每一种自然现象都遵从数学定律。,物理世界的性质只有用数学表示出来
20、才是真正可知的。世界的结构和行为是数学的，自然界按照亘古不变的十分精确的数学定律在运行。因此，上帝按照和谐的数学定律设计、创造了这个世界。人们只有通过艰苦的努力才能理解、领悟这种 秩序。这也就是为什么牛顿能够对艰巨的、有时甚至是乏味的科学工作津津乐道，其原因就在于他认为这些工作为揭示上帝的旨意提供了线索。18世纪末期英国浪漫主义先驱威廉布莱克在他的油画创造者中，就将上帝描绘为手拿圆规测量天地的巨人。,罗吉尔.培根: 大自然是用几何语言写成的。 笛卡尔：深信整个自然界就是一个巨大的几何体系。 开普勒：宣称世界的实在性由其数学关系构成。 伽利略：数学定律是现象的真正起因，数学原理是上帝描绘整个世界
21、的字母，没有数学原理的帮助，就不可能了解任何一个现象，人们只能徒劳地在黑暗的迷宫中徘徊。,神秘的圣经数字153三角数字：可以排列成如下图形的数字 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 3 6 10三角数字并非寻常。当数目增大时，这些特别的数字就变得极为缺少。例如：在两百万，即 个自然数内，其中的三角数还不到 个，平均只占千分之一。由等差数列求和公式可知，第 个三角数即为 。,153的神奇性质 （三角数） 任取一个是3的倍数的自然数，然后进行如下变换：把该自然数所包含的各位数字的立方相加，其和再作为变换后的新数字。反复进行上述变换，经过有限次以后，结果必然到达153。例如： 对24进行变换
22、，过程是：2472351153。 对123进行变换，过程是： 12336243991458702351153,自我生成数自我生成数：任意一个具有某种性质的整数将它各位上的数字，如果按照一定规则对其进行数次变换，最后落在一个不变的数上，这个不变的数就被称作“自我生成数”，或者叫“自恋数”。因此，规则决定了什么样的数是一个自我生成数。例如：任写一个数字不相同的三位数(数字相同的111、222、333、999除外)，将组成这个数的三个数字重新组合，使它成为由这三个数组成的最大数和最小数，而后求出这新组成的两个数的差，再对求得的差重复上述过程，最后得到的的自我生成数是495。,“圣经数”153的神学涵
23、义公元5世纪亚历山大主教西利尔（Cyril）153100503，其中100代表外邦人的完全数，50代表将被聚集的以色列余民，3代表三位一体的真神。 5世纪前后神学家奥古斯丁由于15312317；而17107，其中10代表（摩西）十诫，7代表恩典，所以17代表借着律法和恩典到耶稣跟前来的所有人。 公元4世纪伟大圣经学者耶柔米象征万国万民都要在基督面前聚集。 当代圣经学者巴克莱153说明了教会的普世性。所谓“普世性”，简单地讲就是教会不仅仅是教徒的教会，而应该是全人类的教会。,圣经故事中的“亲和数对”与“半亲和数对”,亲和数对：两个数被称为亲和数对，如果其中任意一个数的所有约数之和等于另外一个数。
24、如图，220和284是一对亲和数。,“万物皆数”是古希腊“毕达哥拉斯学派”的重要思想，该学派宣称人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”。据说，一个门徒向毕达哥拉斯提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，就是你中有我、我中有你，要象220和284一样亲密。” 后来，人们把220和284叫做“亲和数”或者叫“朋友数”或叫“相亲数”，这就是关于“亲和数”这个名称来源的传说。正是由于亲和数对这种“你中有我，我中有你，水乳交融”的特殊性质，教会初期的几百年间有一个习惯：就是为了表达两个人的友谊，每人各佩戴220和284这两个数字中的一个。,五
25、、数学的科学价值 （一）数学对人类文明的贡献,万有引力定律。基于开普勒行星运动的三大定律，牛顿发现了万有引力定律。他把其最重要的著作命名为自然哲学的数学原理，是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧。,“,相对论。爱因斯坦分别于1905年和1915年提出狭义相对论，广义相对论，这是对物理学的重大变革，其核心内容是时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的。四维空间的洛仑兹变换是这种数学模型的表现形式。,电磁波的发现。英国物理学家麦克 斯韦概括了由实验建立起来的电磁 现象规律，把这些规律表述为“方程 的形式”，
26、用纯粹数学的方法推导出 可能存在着电磁波并且这些电磁波 应该以光速传播者。据此，他提出 了光的电磁理论。此外，他的结论 还推动了人们去寻找纯电起源的电 磁波。,最近，两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50年的“简单”问题：啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时的数学规律。该研究成果将对工程学的泡沫材料设计、生物学的组织结构研究以及物理学的晶体颗粒排列探测产生深远的影响，相关论文发表在2007年4月26日的自然杂志上。 （气泡胀大、收缩或者合并，背后的驱动力都是表面张力，气泡的变化，取决于表面总曲率 ）,神州六号的升空，宣告了我国具有制造和发射航天飞机的能力。在神舟六号的研制过程中，数学起了不可
27、替代了作用，尤其是在轨道测算，时间测算等方面。,1973年，美国芝加哥大学学者f布莱克与m肖莱斯提出了布莱克肖莱斯期权定价模型（black-scholes option pricing model），对股票期权的定价作了详细的讨论。此后，不少学者（Merton）又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地推动了期权定价理论的研究。该模型中用到很多数学知识。他们也因此获得了1997年的Nobel经济学奖。 （上图为Merton，哈佛大学； 下图为Scholes，芝加哥大学。）,素数在密码学中的应用 圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中的应用 黎曼几何在广义相对论中的应用 陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规
28、范场理论中的应用 正电子、黑洞与电磁场的发现 诺贝尔物理学奖获得者温伯格(SWeinberg)曾无可奈何地感叹：“当一个物理学家得到一个时，却发现在他之前数学家已经得到了。”,（二）统计数学的科学价值,在工业上的应用Statistical Quality Control (On line)Taguchi Methods (Off-line)6 Sigma Methods Beginner, Black belt, Master black belt, Green belt, Champion, ExecutiveReliability,1986西格玛方法被引入摩托罗拉公司,1987制定1992
29、 应达到西格玛目标,1988 马科姆鲍德里奇全美质量大奖,1991 引入“黑带创意”,1992 每两年减少缺陷十倍，运作周期每五年降低10倍。,1998 公司重组,1999 行为准则，追求卓越和平衡的记分卡,2002 西格玛业务改进,摩托罗拉公司六西格玛的发展,2003 数字六西格玛,Reliability,产品寿命分布及统计分析 恒进应力寿命试验 加速应力寿命试验截尾数据的统计分析 定时截尾 定数截尾,Design of Experiment,000001010011100101110111,乾、 坤、震、 巽、 坎、 离、 艮、 兑。,这是一个最基本的正交表,Design of Exper
30、iment,军官问题（这是世纪瑞士数学家欧拉提出的） 设有种军衔和来自个团的名军官，能不能把他们排成行列的方阵，使得每行每列里都有每种军衔的一名军官和每个团的一名军官？ 数学问题：是否存在6阶的正交拉丁方？,SPRT检验,20世纪40年代，Wilks在普林斯顿大学数学系工作，并任华盛顿海军研究局顾问，成立了普林斯顿统计研究小组(SRG-P)。当Theodore W. Anderson还是此小组的研究生时研究了如下课题：由于日本人以随机形态在海岸线上布满地雷，而进攻日本本土日子越来越近，故美国需要找出一种毁坏地雷的有效方法。在此之前，欧洲曾尝试过从飞机上丢炸弹来引爆地雷，但效果不好。于是，And
31、erson等人设计一种新方法，但实验数据表明这种方法并不有效。这样就导致美国在日本投下原子弹的原因之一。,SPRT检验,Wilks又在哥伦比亚大学组建了第二个统计研究小组(SRG-Pjr)，这个小组的成果之一即是提出了与此与此序贯分析（序贯分析当时被列为最高机密，直至战争结束多年后，参加这项研究的专家都不能对外发表论文）。后来，Abraham Wald通过高度抽象的理论归纳，提出了决策理论。,The Applications In Social Sciences,数据：美国佛罗里达，1976-1977年凶杀案结论：白人被判死刑的比例为：19/160=11.9% 黑人被判死刑的比例为：17/16
32、6=10.2%,The Applications In Social Sciences,Contingency Table （列联表）,在IT业中的应用,分类、搜索图像或模式识别网络完全（数字签名）,统计在医药卫生中的应用,Biostatistics 制药业（比对试验） 疾病的诊断（Bayes方法，图模型等） 病理分析 疾病的控制,The Applications In Bioinformation,六 、数学魅力,（一）混沌与分形 1967年法国数学家B.B.Mandelbrot在科学杂志上发表文章“英国的海岸线有多长？”,Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。
33、,在理论数学中，瑞典数学家Koch早在1904年就构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象。,B.B.Mandelbrot： “1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。” “首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样它是自相似的。,“整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。 ” “自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，
34、以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。” - B.B.Mandelbrot,Mandelbrot集,1. 混沌的特点 1) 混沌是决定论系统的内在随机性，这种随机性与我们过去所了解的随机性现象，比如抛硬币等有很大的区别。 2) 混沌对初值的敏感依赖性。在线性系统中，小扰动只产生结果的小偏差，但对混沌系统，则是“失之毫厘，谬以千里”。 3) 混沌不是简单的无序，更不是通常意义下的有序。,混沌的意义 1) 混沌的发现与数学史上的数学危机是不同的。数学危机是人们对于数学根基的质疑，而混沌则是人们在看似简单的问题中发现了复杂
35、的现象。 2) 混沌绝不单单是有趣的数学现象，混沌是比有序更为普遍的现象，它使我们对物质世界有了更深一层的认识，为我们研究自然的复杂性开辟了一条道路，同时也引出了关于物质世界认识论上的一些哲学思考。,混沌学的应用,通过对生命现象进行的考察，发现各种各样的生物节律既非完全周期，又不可能属于纯粹随机，它们既有与自然界周期（季节，昼夜等）协调的一面，又有着内在的复杂性质。 20世纪20年代后期已经有人用非线性电路模拟过心脏搏动。近几年更发现了心律不齐等病症与混 沌运动的联系。,如果考察人类脑电波，对比就更为尖锐。癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波近乎随机讯号。 进一步测量表明它们
36、不是随机的，而是接近于混沌系统。 虽然距离最终认清它们还很远，但现在已有人进行利用混沌过程预测和控制癫痫，心律不齐等等病症。,基于混沌理论的保密通信、信息加密和信息隐藏技术的研究已成为国际热门前沿课题之一，也是高科技研究的一个新领域。 尽管已有许多混沌加密方案被提出，但混沌密码学的理论还未完全成熟，混沌密码学的研究仍然是一个新的具有挑战性的前沿课题。,目前将将混沌理论应用到经济理论上的研究也十分活跃，但混沌理论最现实应用的应属于美国一交通工程师小组，他们在1988年把混沌与错综复杂的交通图形联系了起来，若有人被停停走走堵塞在公路上，那他就可以把责任推给混沌。,（二）渔网的几何规律,用数学方法可
37、以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式： V + F E = 1,多面体的欧拉公式,V + F E = 2,数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。,（三）四色问题,四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德摩根，希望帮助给出证明
38、。,一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜想是正确的。1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。,四色问题的解决,直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。,这是一个惊人之举。当这项成果在
39、1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳四色足够(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。,拓展了人们对“证明”的理解,由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。,（四）“韩信点兵”的故事 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面
40、前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。 韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。思考怎样求出？,（五）哥尼斯堡七桥问题,连通的“点线图”能够一笔画的充要条件：“奇结点”不多于两个。,反观“七桥问题”,94,七、数学史上的三次危机（一）第一次数学危机,这一危机发生在公元前5世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现 不能表为整数比。 其实质是： 是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数。,（二）第二次数学危机,第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机是由牛顿学派的外部、贝克
41、莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起。,危机的引发 牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。,例如，设自由落体在时间 下落的距离为 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我们要求物体在 的瞬时速度，先求 。 （*）,当 变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是 ，这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。 牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。,贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？,如果是0，上式左端当 成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的 就不能任意去掉。,在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？,
