1、存档编号赣南师范学院学士学位论文矩阵特征值的求法研究教学学院数学与计算机科学学院届别2015届专业数学与应用数学学号110700064姓名指导教师完成日期2015年5月5日赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）作者声明本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。特此声明。作者专业数学与应用数学作者学号110700064作者签名2015年3月12日赣南师范学院2
2、014届本科生毕业论文（设计）矩阵特征值的求法研究。MATRIXEIGENVALUEINTHISSTUDY2014年5月5日赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）1摘要本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值得一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常采用的是求解矩阵特征多项式根的方法。若矩阵的特征多项式的根存在，则这个根即为矩阵特征值；如果没有根，则该矩阵无特征值。而对于一些抽象矩阵，主要有左乘矩阵法。通过证明一个数为矩阵多项式根的方法及转置共轭法。在这三种方法的运用过程中，通过一些已证得的特殊矩阵特征值的相关结论，可以起到简化运算的效果。本文不仅给出了每一种方法与相关结论的证明，
3、而且还通过大量的例题来说明这些方法的具体求解步骤。关键词矩阵；特征值；特征多项式ABSTRACTTHISARTICLEMAINLYDISCUSSABOUTTHECHARACTERISTICOFMATRIXANDMATRIXEIGENVALUEOFRELIGIONWORTHSOMECOMMONMETHODSOFPROOFFORGENERALMATRIX,WEUSUALLYADOPTISTHEMETHODOFSOLVINGMATRIXCHARACTERISTICPOLYNOMIALROOTSIFTHECHARACTERISTICPOLYNOMIALOFMATRIXEXISTS,THEROOTOFT
4、HEROOTISTHECHARACTERISTICVALUEOFMATRIXIFTHEREISNOROOT,THEMATRIXEIGENVALUESFORSOMEABSTRACTMATRIX,BASICALLYHAVELEFTBYMATRIXMETHODBYSHOWINGTHATANUMBEROFMATRIXPOLYNOMIALROOTMETHODANDTRANSPOSEDCONJUGATEMETHODINTHEPROCESSOFTHEUSEOFTHESETHREEMETHODS,THROUGHSOMEHASTHESPECIALMATRIXEIGENVALUERELATEDCONCLUSION
5、S,CANHAVETHEEFFECTOFSIMPLIFIEDOPERATIONTHISPAPERNOTONLYGIVESTHEPROOFOFEACHMETHODANDTHERELATEDCONCLUSIONS,BUTALSOTHROUGHALOTOFEXAMPLESTOILLUSTRATETHECONCRETESOLVINGSTEPSOFTHESEMETHODSKEYWORDSMATRIXCHARACTERISTICVALUECHARACTERISTICPOLYNOMIAL赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）2目录内容摘要1关键词1ABSTRACT1KEYWORDS11引言12向量在平
6、面几何中的应用121垂直问题122三点共线问题323向量在平面几何中的综合运用63向量在立体几何中的应用731空间的垂直问题732空间的角度问题1033空间的距离问题1534向量在立体几何中的综合应用174结束语19主要参考文献20赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）31引言矩阵在中国古代的萌芽，孕育了丰富的数学思想与方法，推动了中国社会政治和经济的发展，奠定了中国传统数学在世界数学发展史上的地位。矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独
7、立的一门数学分支矩阵论。而特征问题又是矩阵理论的一个重要部分。矩阵特征问题也是数值计算的一个重要组成部分，也是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研究课题。求解矩阵特征值也是最普遍的问题之一。目前已经有许多国内外的知名学者对矩阵进行研究，矩阵理论对于问题的解决有着重要的作用。就我阅读的一些参考文献矩阵分析与应用张贤达著、组合矩阵论柳柏濂著等。到现在已经有很多学者对矩阵有了一定的研究。但他们大部分都不是很全面，本文对矩阵特征值的一般求法进行总结，并探讨了一些特殊求法。2矩阵特征值的定义及其性质21，矩阵特征值的定义定义1给定一个NN维矩阵A，确定标量的值，使得线性代数方程A，0具有1N
8、非零解。这样的标量称为矩阵A的特征值（EIGENVALUE），向量称为与对应的特征向量（EIGENVECTOR）。式A，0有时也被称为特征值特征向量方程式。由于特征值和特征向量经常成对出现，因此常将，称为矩阵A的特征对（EIGENPAIR）。虽然特征值可以取零值，但是特征向量不可以是零向量。为了确定向量，将式子A，0改写成0由于上式对任意向量均应该成立，故式子0存在非零解0的唯一条件是矩阵的行列式等于零；即DET0应当指出，一个特征值不一定是唯一的，有可能多个特征值取相同的值，同一个特征值重复的次数称为特征值的多重度（MULTIPLICITY）。例如，NN单位矩阵的N个特征值都等于1，其多重度
9、为N。观察式子DET0，可得到若特征值外问题具有非零解0X,则标量必然使NN矩阵奇异。因此，特征值问题的求解由以下两步组成（1）求出所有使矩阵奇异的标量（特征值）；（2）给出一个使矩阵奇异的特征值，求出所有满足0X的非零向量X，它就是与对应的特征向量。根据代数学基本定理知，即使矩阵是实的，特征方程的根也可能是复的，而且根的多重数可以是任意的甚至可以是N重根。这些根统称矩阵的特征值。关于特征值，有必要先集中介绍以下术语（1）称的特征值具有代数多重度（ALGEBRAICMULTIPLICITY），若是特征多项式DETZ的重根。（2）若特征值的代数多重度为1，则称该特征值为单特征值（SIMPLEEI
10、GENVALUE）。非单的特征值称为多重特征值（MULTIPLICITYEIGENVALUE）。赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）4（3）称的特征值具有几何多重度（GEOMETRICMULTIPLICITY），若与对应的线性无关特征向量的个数为。换言之，几何多重度是特征空间ULL的维数。（4）矩阵称为减次矩阵（DEROGATORYMATRIX），若至少有一个特征值的几何多重度大于1（5）一特征值称为半单特征值（SEMISIMPLEEIGENVALUE），若它的代数多重度等于它的几何多重度。不是半单的特征值称为亏损特征值（DEFECTIVEEIGENVALUE）。一般来说，矩阵的特征值
11、是各不相同的。若特征多项式存在多重根，则称矩阵具有退化特征值（DEGENERATEENGINVALUE）。需要注意的是，即使矩阵是实矩阵，其特征值也有可能是复的。以GIVENS旋转矩阵COSSINSINCOS为例，其特征方程22COSSINDETCOSSIN0SINCOS然而，若不是的整数倍，则2SIN0。此时，特征方程不可能有的实根，即GIVENS旋转矩阵的两个特征值都为复数，与它们对应的特征向量也是复向量。22，矩阵特征值的性质及证明性质1矩阵奇异，当且仅当至少有一个特征值。证明先证充分条件。将特征值代入特征方程，得DET，从而知矩阵奇异。再证必要条件。假定矩阵奇异，则DET，或者等价写作
12、DET00。因此，在矩阵奇异的情况下0是矩阵的特征值。性质2矩阵和T具有相同的特征值。证明由行列式的性质对于任何矩阵，恒有DETDET。因此，若是矩阵的特征值，则有DETDETDET最后一个特征方程说明，也是转置矩阵的特征值，即矩阵和具有相同的特征值。性质3若是NN矩阵的特征值，则有（1）K是矩阵K的特征值。（2）若非奇异，则1具有特征值1/。（3）矩阵2的特征值为2。证明（1）用归纳法证明。先证明对，2是2的特征值。假定U是矩阵的特征对，即UU，其中，U0。此式两边左乘矩阵后，得UU，从而有22,UUUU0U这意味着2,U是矩阵2的特征对。现在假定1,KU是矩阵1K的特征对，即11KKUU成
13、立。在此式两边左乘矩阵，立即有11,KKKKUUUU0U这就证明了K是K的特征值。赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）5（2）因为是矩阵的的特征值，故DET0。若矩阵可逆，则有110DETDETDETDET当矩阵可逆时，行列式DET0，故上式意味着1DET0，或等价为11DET0这表明，1/是矩阵1的特征值。（3）令是矩阵的特征值，而是矩阵2的特征值，则有UU和2UU。综合这两式，得2UUU，故2对矩阵2的每一个特征值均成立。若MM矩阵具有N个不同的特征值12,N，其中，MN，则存在一个非奇异的NN矩阵T使得1TT，其中，为JORDAN型，即100K（）为块对角矩阵，定义为000100
14、01000IIIINNNNI1，1,2,IKN（）式（）所示矩阵分解称为JORDAN型分解。JORDAN块矩阵主对角线的相同特征值IN重复出现的个数称为该特征值的几何多重度（GEOMETRICMULTIPLICITY）。这是几何多重度的第二种定义。3矩阵特征值的常规求法31定义法求矩阵的特征值和特征向量的定义法求出矩阵特征多项式FEA的全部特征根，这些特征根就是矩阵的特征值。例1已知矩阵122212221，求其特征值。解因为特征多项式为赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）6赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）7矩阵特征值的若干求法和应用摘要矩阵特征值和特征向量是线性代数研究的重
15、要内容，并在其他领域也有着非常重要的研究价值本文主要介绍了矩阵特征值和特征向量的四种求解方法，并且介绍了特征值在线性代数以及微分方程求解问题中的一些应用关键词矩阵特征值特征向量SEVERALWAYSANDAPPLICATIONSOFEIGENVALUEOFTHEMATRIXABSTRACTMATRIXISTHEMAINRESEARCHTOOLSOFLINEARALGEBRAANDADVANCEDALGEBRAANDUNIVERSITIESPLAYAVITALROLEINMATHEMATICS,WHILEINOTHERAREASALSOHASVERYIMPORTANTRESEARCHVALUET
16、HISPAPERDESCRIBESTHEFOURMETHODFORSOLVINGTHEEIGENVALUESANDEIGENVECTORS,ANDINTRODUCESSOMEOFTHEAPPLICATIONSOFTHEEIGENVALUEPROBLEMOFLINEARALGEBRAANDDIFFERENTIALEQUATIONSOLVINGKEYWORDSMATRIXEIGENVALUEEIGENVECTOR赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）8矩阵特征值的若干求法和应用摘要矩阵特征值和特征向量是线性代数研究的重要内容，并在其他领域也有着非常重要的研究价值本文主要介绍了矩阵特征值和特征
17、向量的四种求解方法，并且介绍了特征值在线性代数以及微分方程求解问题中的一些应用关键词矩阵特征值特征向量SEVERALWAYSANDAPPLICATIONSOFEIGENVALUEOFTHEMATRIXABSTRACTMATRIXISTHEMAINRESEARCHTOOLSOFLINEARALGEBRAANDADVANCEDALGEBRAANDUNIVERSITIESPLAYAVITALROLEINMATHEMATICS,WHILEINOTHERAREASALSOHASVERYIMPORTANTRESEARCHVALUETHISPAPERDESCRIBESTHEFOURMETHODFORSOLV
18、INGTHEEIGENVALUESANDEIGENVECTORS,ANDINTRODUCESSOMEOFTHEAPPLICATIONSOFTHEEIGENVALUEPROBLEMOFLINEARALGEBRAANDDIFFERENTIALEQUATIONSOLVINGKEYWORDSMATRIXEIGENVALUEEIGENVECTOR4赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）9特征值的几种特殊求法5已知矩阵A的特征值和特征向量,反求矩阵A的方法6方阵的特征值的计算机方法赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）1主要参考文献1陈胜利向量与平面几何证题M北京中国文史出版社,2003,08
19、332谢冬秀解析几何M北京高等教育出版社,2009,06,12,63673严士健向量及其应用M北京高等教育出版社,2005,090203,08094陈振宣向量几何应用的思维方法J数学教学,2008,1212155段晓文法向量在立体几何教学中的应用J学术纵横,2011,011336房元霞向量概念的发展J消费导刊,2009,052117蒋建红平面向量几何意义的应用J数学之友,2013,01688李瑞仓向量法在初等几何中的应用J沧州师范专科学校学报,2005,061281309仇海全,潘花向量法在数学问题中的一些应用J唐山学院学报,2010,05131410沈恒空间向量几何意义的应用J中学生数学20
20、09,121811孙海明向量法解几何问题J科技资讯,2012,0618618712薛党鹏解析几何的解题技巧J中等数学,2012,0310713于亚青平面向量在解析几何中的应用J高中数学教与学,2011,0440,464714DURKINGABRIELA,SIMONCHRISTOPHMULTIPARTITEENTANGLEMENTINEQUALITIESVIASPINVECTORGEOMETRYPHYSICALREVIEWLETTERS,201095188040215TATJANASHILBERT,ALEXANDERRENKL,STEPHANKESSLER,KRISTINAREISSLEARNINGTOPROVEINGEOMETRYLEARNINGFROMHEURISTICEXAMPLESANDHOWITCANBESUPPORTEDLEARNINGANDINSTRUCTION,2011,181,5465
