1、第1页柯西准则及其应用摘要柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础它的应用贯穿于数学分析课程学习始终一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0XX一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用关键词柯西准则；应用；极限存在；优越性引言柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0XX一种情形来讨论，即设函数FX在00UX内有定义，00LIMXXFX存在的充要条件是任给0，存在正数0，存在正数0，存在正数0，存
2、在N0，使得当NM，N时有00NMXXUX，第2页从而有NMFXFX于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列NFX的极限存在，记为A，即LIMNNFXA设另一数列00NYUX且0LIMNNYX，则如上所证，LIMNNFY存在，记为B现证BA，为此，考虑数列1122,NNNZXYXYXY易见NZ00UX且0LIMNNZX，故仍如上面所证，NFZ也收敛于是，作为NFZ的两个子列，NFX与NFY必有相同的极限，所以由归结原则推得0LIMXXFXA证毕定理12设函数F在00UX内有定义00LIMXXFX存在的充要条件是任给0，存在正数，使得对任何X，X00UX，均有FXFX0，设函数F在U内有定义LIMX
3、FX存在的充要条件是任给0，存在正数1MM，使得对任何X1M，X1M，均有FXFX0，设函数F在U内有定义LIMXFX存在的充要条件是任给0，存在正数1MM，使得对任何X0，设函数F在U内有定义LIMXFX存在的充要条件是任给0，存在正数1MM，使得对任何1XXM，均有FXFX定理15的证明可以类似前面4个定理的证明2归纳柯西准则在数学分析中的应用21柯西准则在实数完备性理论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五
4、个定理211用数列的柯西收敛准则证明确界原理证设S为非空有上界数集由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得为S的上界，而1不是S的上界，即存在S，使得1分别取112NN，则对每一个正整数N，存在相应的N，使得N为S的上界，而1NN不是S的上界，故存在AS，使得1NAN（1）又对正整数M，M是S的上界，故有MA结合（1）式得1NMN；同理有1MNM从而得11MAX,MNMN于是，对任给的0，存在0N，使得当MNN，时有MN由柯西收敛准则，数列N收敛记LIMNN（2）现在证明就是S的上确界首先，对任何AS和正整数N有NA，由2式得A，即是S的一个上界其次，对任何0，由10NN及2式，对充分大
5、的N同时有122NN，第6页又因1NN不是S的上界，故存在AS，使得1NAN结合上式得22A这说明为S的上确界同理可证若S为非空有下界数集，则必存在下确界212用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理证在闭域套ND的每一个闭域ND内任取一点NP，构成一个各点各不相同的平面点列NP，则对一切自然数P，由于NPNDD，以1,0,0NNPNNNNPPDPPDN，因此,0LIMNNPNPP由定义任给0，存在正整数N，使得当NN时，对一切自然数P，都有,NNPPP，根据柯西准则NP收敛，记0LIMNNPP现证012NPDN，为此任意取定N，则因为对一切自然数12P，都有0LIMNPNPNNPPPDDPP
6、，由定义知0P是ND的聚点，而闭域ND必为闭集，所以它的聚点012NPDN，最后证明0P的唯一性，若还有012NPDN，则由于10,0NNNPPDN，所以0000,0PPPP，22柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出221柯西准则在数列收敛性判定中的应用数列NA收敛0NNMNN，有MNAA数列NA发散00NNMNN，使得0MNAA例1应用柯西收敛准则，证明数列NA收敛222111123NAN证对0，取2N，则对NMN，有22211112NMAAMMN1111121MMMMNN112MNM第7页而由2M知2M，故NMAA，由柯西收敛准则知数列NA收敛222柯西准则在函数极限存在性判
7、定中的应用00LIMXXFX不存在的充要条件是00，对0，都存在X，X00UX，使得0FXFX例2证明极限01SINLIMXX不存在证可取01，对任何0，设正整数1N，令112XXNN，则有00XXU，而011SINSIN1XX于是按照柯西准则，极限01SINLIMXX不存在223柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用因为无穷积分AFXDX的敛散性是由变上限函数LIMTATFTDT存在与否确定的因此，可由函数极限LIMXFX存在的柯西准则导出无穷积分AFXDX收敛的柯西准则无穷积分AFXDX收敛120GAUUG，有21UUFXDX同理，由函数极限0LIMTTFX存在的柯西准则可直接推出瑕
8、积分BAFXDX（A为瑕点）收敛的柯西准则瑕积分BAFXDX（A为瑕点）收敛1200,UUAA，有21UUFXDX例3设FX在0,上连续可微，并且20FXDX如果FXC当0X时，其中C为一常数试证0LIMXFX证（反证）假设0LIMXFX，则00，使对0G，总有AXG，AFX因为FX在0,上连续可微，FXC故F在0,上一致连续，于是0，使当0,XXXX，时，第8页02FXFX又因20FXDX收敛，故0M时，当12XXM，时，21202XXFXDX，对该M，存在0X，故00,XXM，0FX当00,XXX时02FXFX000000022FXFXFXFXFXFXFX204FX00200242XXFX
9、DX矛盾0LIMXFX224柯西准则在级数收敛性判定中的应用因为级数1NNU的敛散性是由其前N项和数列1NNKKSU的敛散性确定的所以，由NS收敛的柯西准则直接可得级数1NNU收敛的柯西准则1NNU收敛0NNMNPN，有12MMMPUUU例4级数1NNA收敛的充要条件是对任意的正整数序列12NRRR，都有120LIMNNNNRNAAA证必要性因为1NNA收敛，所以对当,NNNN及PN有12NNNPAAA特别地12NNNNRAAA所以120LIMNNNNRNAAA充分性用反证法若1NNA发散，则000NNN，及自然数P，使第9页10NNPAA特别1111NN，及自然数1R使11110NNRAA2
10、122MAX2NNNN，及自然数2R，使12210NNRAA这与120LIMNNNNRNAAA矛盾所以级数1NNA是收敛的例5应用级数收敛的柯西准则证明级数21N收敛证由于12MMMPUUU22211112MMMP1111121MMMMMPMP11MMP1M因此，对任给0，取1N，使当MN及对任意正整数P，由上式就有121MMMPUUUM依级数收敛的柯西准则推得级数21N是收敛的225柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用由数列收敛的柯西准则易推得函数列NFX一致收敛的柯西准则函数列NFX在D上一致收敛0NNMNNXD，有MNFXFX第10页又因为函数项级数1NNFX的一致收敛性是
11、由其部分和函数列1NNKKSXFX的一致收敛性确定的所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯西准则1NNFX在D上一致收敛0NN，当NN时，PNXD，有12NNNPUXUXUX进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法例6证明若对0NNNAXI，有1NNNFFXA且1NNA收敛，则函数列NFX在区间上一致收敛证NPNXI，11NPNNPNPNNFXFXFXFXFXFX1NPNAA因为1NNA收敛，故有0NNNNPN，1NPNAA0NNNNPNXI，有1NPNNPNFXFXAA1NPNAA所以函数列NFX在区间上一致收敛例7设1,2,NUXN是,AB上的单
12、调函数，证明若NUA与NUB都绝对收敛，则NUX在,AB上绝对且一致收敛证因为NUA与NUB绝对收敛对0NN，当NN时，对PN有12NNNPUAUAUA12NNNPUBUBUB第11页又因为1,2,NUXN是,AB上的单调函数，所以对,XAB有NNNUAUXUB或NNNUAUXUBMAX12NNNUXUAUBN，121122NNNPNNNNUXUXUXUAUBUAUBNPNPUAUB2122NNNPUXUXUX由一致收敛的柯西准则可推出函数项级数NUX在,AB上绝对且一致收敛柯西准则的优越性柯西准则的优越性是显然的，在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念都有内容相应的柯西收敛（或一致
13、收敛）准则，其最大的优点是不需借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的具体特点来解决相应的问题，使得看似复杂的问题变的简单易懂它具有整齐完美的形式，充分体现了数学美，使得许多抽象的数学理论形象可见在数学分析中有非常重要的理论价值，所以深刻理解柯西准则很重要参考文献1责任编辑高尚华，华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，2001年，第三版2崔万臣，谈柯西准则在数学分析中的作用，唐山师专学报，1993年，第21卷，第2期3王安斌、宾红华，用柯西准则证明几个相关命题，数学理论与应用，2004年，第24卷，第4期4陈祥平，对柯西准则教学的体会，济宁师专学报，1998年，第19卷，第6期
14、5薛怀玉，2R上完备性定理的等价，咸阳师范专科学校学报（自然学版），1998年，第13卷，第6期6钱吉林，数学分析题解精粹，湘北长江出版集团，2009年，第二版7刘玉链、傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，2003年，第三版8陈纪修、於崇华、金路，数学分析，高等教育出版社，2004年，第二版CAUCHYCRITERIONANDITSAPPLICATION第12页ABSTRACTTHECAUCHYCRITERIONISONEOFTHESIXTHEOREMSWHICHISABOUTTHECOMPLETENESSOFREALNUMBERSITISTHEFOUNDATIONOFTHELIMITTHR
15、OUGHOUTTHECOURSEOFMATHEMATICALANALYSIS,ITSAPPLICATIONHASALWAYSBEENINGENERAL,DURINGTHECURRICULUMMATERIALSOFTHEMATHEMATICALANALYSIS,WHENITDISCUSSESTHECAUCHYCRITERION,ONLYASITUATIONTHAT0XXISDISCUSSEDTHISARTICLEWILLSUPPLYPROOFSOFTHEOTHERFIVECASESOFTHECAUCHYCRITERIONOFTHELIMITSOFFUNCTIONATTHESAMETIME,ITWILLDISCUSSANDSUMTHEFLEXIBILITYAPPLICATIONOFCAUCHYCRITERIONINTHELIMITS,THESERIES,POINTSANDSOONKEYWORDSCAUCHYCRITERIONAPPLICATIONSLIMITEXISTSSUPERIORITY
