1、中考必做的 36 道 数学 压轴题 第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例 1(2013 北京， 23,7 分 )在平面直角坐标系 x Oy 中，抛物线 222 mxmxy （ 0m ）与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B （ 1）求点 A， B 的坐标 ； （ 2）设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式 ； （ 3）若该抛物线在 12 x 这一段位于直线 l 的上方，并且在 32 x 这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式 解 ：（ 1）当 x 0 时， y 2 . A（ 0， 2） 抛物 线 对 称 轴为 x 2 12mm
2、， B（ 1， 0） （ 2） 易得 A 点 关 于 对 称 轴的 对称 点 为 A（ 2， 2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直 线 的 解 析 式 为 y kx b 则 2 2,0.kbkb 解得 2,2.kb 直 线 的 解 析 式 为 y 2x 2 （ 3） 抛 物 线 对 称 轴为 x 1 抛物 体 在 2 x3 这一 段 与在 1x 0 这 一 段关 于 对 称轴 对 称，结合 图 象 可 以 观 察 到 抛 物 线在 2x 1这一 段位 于 直线 l 的 上 方， 在 1 x0 这 一 段 位 于 直 线 l 的下方 抛 物 线 与 直线 l 的 交 点 横 坐标为 1
3、； 当 x 1 时， y 2x( 1) 2 4 则抛 物 线 过 点（ 1， 4） 当 x 1 时， m 2m 2 4 ， m 2 抛 物 线 解 析为 y 2x2 4x 2 . 连接 （ 2013 江苏南京， 26， 9 分） 已知二次函数 y a（ x m） 2 a（ x m）（ a、 m 为常数，且 a0） . （ 1）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点； （ 2）设该函数的图象的顶点为 C.与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 D. 当 ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值； 当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，求 m 的值 .
4、 【答案】 （ 1）证明： y a（ x m） 2 a（ x m） ax2（ 2am a） x am2 am. 因为当 a0时，（ 2am a） 2 4a（ am2 am） a2 0. 所以，方程 ax2（ 2am a） x am2 am 0 有两个不相等的实数根 . 所以，不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点 . 3 分 （ 2） 解 ： y a（ x m） 2 a（ x m） a（ x 212 m ） 2 4a ， 所以，点 C 的坐标为（ 212 m ， 4a ） . 当 y 0 时， a（ x m） 2 a（ x m） 0.解得 x1 m， x2 m 1.所以
5、 AB 1. 当 ABC 的面积等于 1 时， 21 14a 1. 所以 21 1（ 4a ） 1，或 21 14a 1. 所以 a 8，或 a 8. 当 x 0 时， y am2 am.所以点 D 的坐标为（ 0， am2 am） . 当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时， 21 1 4a 21 1 amam2 21 1（ 4a ） =21 1（ am2 am），或21 14a =21 1（ am2 am） . 所以 m 21 ，或 m 2 21 ，或 m 2 21 .9 分 变式 : （ 2012 北京， 23， 7 分） 已知二次函数 2 3( 1) 2 ( 2 )2y t x t
6、 x 在 0x 和 2x 时的函数值相等。 （ 1） 求二次函数的解析式； （ 2） 若一次函数 6y kx的图象与二次函数的图象都经过点 ( 3 )Am， ，求 m 和 k 的值； （ 3） 设二次函数的图象与 x 轴交于点 BC， （点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图象在 点 BC， 间的部分（含点 B 和点 C ）向左平移 ( 0)nn 个单位后得到的图象记为 G ，同时将（ 2）中得到的直线 6y kx向上平移 n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时， n 的取值范围。 【答案】 （ 1） 方法一： 二次函数 2 3( 1) 2 ( 2 )2y t x
7、 t x 在 0x 和 2x时的函数值相等 334 ( 1) 4 ( 2 )22tt . 32t . 这个 二次函数的解析式是 21322y x x 方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为 1x 则 2( 2) 12( 1)tt 32t . 这个 二次函数的解析式是 21322y x x .（ 2） 二次函数的图象过 ( 3, )Am 点 . 213( 3 ) ( 3 ) 622m . 又 一次函数 6y kx的图象经过点 A 3 6 6k 4k （ 3）令 213022y x x 解得： 1 1x 2 3x由题意知，点 B、 C 间的部分图象的解析式为 1 ( 3)( 1)2y x x
8、，（ 13x ） . 则向左平移后得到图象 G 的解析式为： 1 ( 3 ) ( 1 )2y x n x n ，（ 13n x n ） . 此时平移后的一次函数的解析式为 46y x n . 若平移后的直线 46y x n 与平移后的抛物线 1 ( 3 ) ( 1 )2y x n x n 相切 . 则 14 6 ( 3 ) ( 1 )2x n x n x n 有两个相等的实数根。 即一元二次方程 221 1 9( 3 ) 02 2 2x n x n 有两个相等的实数的根。 判别式 = 2 21 1 9( 3 ) 4 ( ) ( ) 02 2 2nn 解得： 0n 与 0n 矛盾 . 平移后的直
9、线 46y x n 与平移后的抛物线 1 ( 3 ) ( 1 )2y x n x n 不相切 . 结合图象可知，如果平移后的直线与图象 G 有公共点，则两个临界交点为 ( 1,0)n 和(3 ,0)n . 则 4( 1) 6 0nn ，解得： 23n 4(3 ) 6 0nn ，解得： 6n 2 63 n 第 2 题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破 （例题） （ 2012 湖南湘潭 ， 26， 10 分） 如图，抛物线 )0(2232 axaxy 的图象与 x轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为 0,4 . （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）试探究 ABC
10、 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （ 3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标 . 【答案】 解：（ 1）将 B（ 4， 0）代入 )0(2232 axaxy 中，得： 21a 抛物线的解析式为： )0(22321 2 axxy （ 2） 当 022321 2 xx 时，解得 41x ， 12 x A 点坐标为（ 1， 0），则 OA=1 当 x=0 时， 222321 2 xxy C 点坐标为（ 0, 2），则 OC=2 在 Rt AOC 与 Rt COB 中， 21 OBOCOCOA Rt AOC Rt COB ACO= CB
11、O ACB= ACO+ OCB= CBO+ OCB=90 那么 ABC 为直角三角形 所以 ABC 的外接圆的圆心为 AB 中点，其坐标为（ 1.5， 0） （ 3）连接 OM.设 M 点坐标为 （ x， 22321 2 xx ） 则 O B CO B MM B C S SSS O C M = 4221221)22321(421 2 xxx = 4)2( 2 x 当 x=2 时， MBC 的面积有最大值为 4， M 的坐标为（ 2， 3） 变式 （ 2011安徽芜湖 24） 面直角坐标系中， ABOC如图放置，点 A、 C 的坐标分别为（ 0， 3）、（ -1， 0），将此平行四边形绕点 O
12、顺时针旋转 90，得 到 ABOC （ 1）若抛物线过点 C， A， A，求此抛物线的解析式； （ 2） ABOC 和 ABOC重叠部分 OCD 的周长； （ 3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点 M 在何处时 AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标 第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进” （例题） 23（ 2012 河南， 23， 11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 1 12yx与抛物线 2 3y ax bx 交于 A、 B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（ 不与 A、 B 重合），过点
13、 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PD AB 于点 D （ 1）求 a、 b 及 sin ACP 的值； （ 2）设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长， 并求出线段 PD 长的最大值； 连接 PB，线段 PC 把 PDB 分成 两个三角形，是否存在适合的 m 值， 使这两个三角形的面积之比为 9:10? 若存在，直接写出 m 值；若不存在，说明理由 第 23 题图 B C D x O P A y 【答案】 （ 1）由 1 102x ，得 2,x ( 2,0)A 由 1 132x ，得 4,x (4,3)B 2 3y ax bx 经过 ,AB两点， 2
14、2(-2) -2 -3=04 +4 -3=3abab 11,22ab 设直线 AB 与 y 轴交于点 E ，则 (0,1)E PC y 轴， ACP AEO . 2 2 5si n si n55OAA C P A E O AE （ 2）由可知抛物线的解析式为 211 322y x x 21 1 1( , 3 ) , ( , 1 )2 2 2P m m m C m m 221 1 1 11 ( 3 ) 42 2 2 2P C m m m m m 在 Rt PCD 中， sinP D P C A C P 21 2 5( 4 )25mm 25 9 5( 1) .55m 5 05当 1m 时， PD
15、有最大值 955 存在满足条件的 m 值， 5 3229m 或 【提示】 分别过点 D、 B 作 DF PC， BG PC，垂足分别为 F、 G 在 tR PDF 中， 211 ( 2 8 ) .55D F P D m m 又 4,BG m 21 ( 2 8 ) 25 45P C DPBCmmS D F mS B G m 当 295 10P C DPBCS mS 时，解得 52m ； 当 2 1059P C DPBCS mS 时，解得 329m 变式一 27（ 2011 江苏泰州， 27， 12 分）已知：二次函数 y=x2 bx 3 的图像经过点 P（ 2,5） （ 1）求 b 的值，并写出
16、当 1 x 3 时 y 的取值范围； （ 2）设点 P1（ m,y1）、 P2（ m+1,y2）、 P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上 当 m=4 时， y1、 y2、 y3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由； 当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、 y2、 y3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由 【答案】 解：（ 1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （ 2） 2 2b 3，解得 b= 2. 当 1 x 3 时 y 的取值范围为 4 y 0. （ 2） m=4 时， y1、 y2、 y3 的值分别为 5、 12、 21，由于 5+12 21，不能成为三角
17、形的三边长 当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、 y2、 y3 的值分别为 m2 2m 3、 m2 4、 m2 2m 3，由于， m2 2m 3 m2 4 m2 2m 3，（ m 2） 2 8 0， 当 m 不小于 5 时成立，即 y1 y2 y3 成立 所以当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、 y2、 y3 一定能作为同一个三角形三边的长， 变式二 （ 2013 重庆 B 卷 ， 25， 10 分） 如图，已知抛物线 cbxxy 2 的图像与 x 轴的一个交点为 B（ 5， 0），另一个交点为 A， 且与 y 轴交于点 C(0， 5). （ 1）求直线 BC 与抛物线的解析式
18、； （ 2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点，过点 M 作 MN/y 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值； （ 3）在（ 2）的条件下， MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ， 设平行四边形 CBPQ 的面积为 1S ， ABN 的面积为 2S ，且 21 6SS ，求点 P 的坐标 . 【答案】 解： （ 1） 设直线 BC 的解析式为 nmxy ，将 B（ 5， 0）， C（ 0， 5） 代入有： 5 05n nm解得： 51nm所以直线 BC 的 解析式为 5 xy 再将 B（ 5， 0）， C（
19、 0， 5） 代入 抛物线 cbxxy 2 有： 5 0525c cb解得：56cb所以抛物线的解析式为：y x O C A B 562 xxy （ 2） 设 M 的坐标为（ x， 562 xx ），则 N 的坐标为（ x， 5x ）， MN= )56()5( 2 xxx = xx 52 当 25x 时， MN 有最大值为 425 （ 3） 当 0562 xxy 时，解得 11x ， 52x 故 A（ 1,0）， B（ 5,0），所以 AB=4 由（ 2）可知， N 的坐标为（ 25 ， 25 ） 5254212 S则 306 21 SS ，那么 15CBPS 在 y 上取点 Q (-1， 0
20、)，可得 15CBQS 故 QP BC 则直线 QP 的解析式为 1 xy 当 1562 xxx 时，解得 21x ， 32x 1PM 2PM y x O C A B N M Q 所以 P 点坐标为（ 2， 3 ），（ 3 ， 4 ）， 第四题 “准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构” （例题） （ 2012 四川 资阳 ， 25， 9 分） 抛物线 214y x x m 的顶点在直线 3yx上，过点F ( 2,2) 的直线交该抛物线于点 M、 N 两点（点 M 在点 N 的左边）， MA x 轴于点 A， NB x轴于点 B （ 1） (3 分 )先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用
21、含 m 的代数式表示），再求 m 的值； （ 2） (3 分 )设点 N 的横坐标为 a ，试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明 NFNB； （ 3） (3 分 )若射线 NM 交 x 轴于点 P，且 PA PB 1009 ，求点 M 的坐标 答案：解 （ 1） 2211 ( 2 ) ( 1 )44y x x m x m 顶点坐标为 ( 2 , 1m ) 顶点在直线 3yx上， 2+3= 1m ，得 m =2 （ 2） 点 N 在抛物线上， 点 N 的纵坐标为 21 24aa 即点 N(a , 21 24aa ) 过点 F 作 FC NB 于点 C， 在 Rt FCN 中， FC=
22、a +2， NC=NB-CB= 214aa , 2NF 22NC FC 2 2 21( ) ( 2 )4 a a a = 2221( ) ( 4 ) 44 a a a a 而 2NB = 221( 2)4 aa 2221( ) ( 4 ) 44 a a a a 2NF 2NB ， NF=NB （ 3）连结 AF、 BF （第 25 题图） 由 NF=NB，得 NFB= NBF， 由（ 2）的结论知， MF=MA， MAF= MFA, MA x轴， NB x 轴， MA NB, AMF+ BNF=180 MAF 和 NFB 的内角总和为 360, 2 MAF+2 NBF=180， MAF+ NB
23、F=90, MAB+ NBA=180， FBA+ FAB=90又 FAB+ MAF=90 FBA= MAF= MFA 又 FPA= BPF， PFA PBF， PF PBPA PF ， 2PF PA PB=1009 过点 F 作 FG x 轴于点 G,在 Rt PFG 中， PG= 22PF FG =83 ， PO=PG+GO=143 ， P( 143 , 0) 设直线 PF： y kx b，把点 F（ 2 , 2）、点 P( 143 , 0)代入 y kx b解得 k =34 ，b = 72 ， 直线 PF： 3742yx 解方程 21 3 724 4 2x x x ，得 x = 3 或 x =2（不合题意，舍去） 当 x = 3 时， y =54 ， M（ 3 , 54 ） 变式一 25 已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0）顶点为 C（ 1， 1）且过原点 O过抛物线上一点 P（ x， y）向直线 y= 54 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图） （ 1）求字母 a， b， c 的值； （ 2）在直线 x=1 上有一点 F(1， 34 )，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时 PFM 为正三角形； （ 3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（ 1， t），使PM=PN 恒成立？若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由
