1、一种阻尼振动规律的研究 姜付锦 (武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430030) 2011 年第 12 期 1一文 ，对 在 粗糙水平面上的弹簧振子的运动规律进行了定性和半定量的研究，但是没有 给出 振子的振动图象 ， 不够系统和完整； 2011 年第 10 期 从一道题的错解说弹簧振子 2一文 ，对这个模型的 ,a xx t图象进行了定性和半定量研究，分析方法科学有效；同一期的 对一道双平衡位置振动问题的讨论 3一文 ，从这个模型 的“双平衡位置” 的角度 出发 展开了研究，并得到了 ,a xx t图象和部分 运动 规律。笔者受到以上三篇文章中思想的启发，借助 MathCAD对这个问题也进
2、行了分析研究 ， 得到了和以上三篇文章中相同的结果并进行了有效补充，以下是分析过程 ，文中 若有不当之处还请各位物理同仁批评指正。 1 题目 如图 1 所示，将一根劲度系数为 k 的弹簧与一质量为 m 的物块相连 ， 置于粗糙的水平面上，已知 物 块与水平面的滑动摩擦力大小为 f ， 弹簧处于原长时 ， 物块位于 O 点 。 用力向左 缓慢 推物块从 O 点至 A 点，且使 OA L ，之后撤去外力， 物块将在水平面上来回运动，试分析物块的运动规律。 1 1 建立模型 如图 2 所示， 物块在运动过程中会受到重力 G 、 地面的 支持力 NF 、弹簧的弹力 F 和地面的 滑动摩擦力 f 作用，
3、其中重力和支持力是一对平衡力。弹簧弹力 F 与摩擦力 f 是两个变力 。 F 的大小 方向 与弹簧的形变有关， f 的大小一定， 方向与振子的运动方向相反 ，若将 f 等效为重力则弹簧 振子 在振动过程中 有两个平衡位置（ 即 文 123中所指的 “ 双平衡位置 ” ） 。若以 O 点 为坐标原点向右为正方向 ， 建立坐标轴 Ox ，设在某一时刻物块位于 P点 ， 偏离原点的位移为 x ， 则物块运动 微分动力学方程如下： 2( 0 ), ( 0 ) 0xLxm x k x f xx 说明：上式中2xf x 是表示摩擦力方向与物块运动的方向相反，当 x 为正时则 f 为负；当 x 为负时则 f
4、 为正。 1 2 用 MathCAD 解 微分动力学 方程 为了研究问题的方便，不妨令 21 0 m , 1 0 N /m , 1 k g , 2 N, 1 0 m /sL k m f g ，则上式可整理为 O A L 图 1 O F f x x L 图 2 2( 0) 10 m10 2 , ( 0) 0xxxx xx 图 610 5 0 5 10200400600121 Vi 21210 Xi 2Xi图 510 5 0 5 103025201510551015202530ViXi图 40 5 10 15 20 255050ViTi图 30 5 10 15 20 25 301010XiTiV
5、S2 X S1 T S0 S r k f ix e d x 0 40 3000 D( )i 1 5000D t x( )x110 x02x1x1 2x100x 0( ) 0x 0( ) 101 x 10 x 2xx2s o l v e1 3 图形分析 上图中 图 3 为弹簧振子振动 xt 图象，图 4 为弹簧振子振动速度 vt 图，图 5 为弹簧振子速度与位移 vt 图 ，图 6 为弹簧振子机械能 Ex 图，它们 与文 23中的 图一致。 若按文 1中的例子 21 0 c m , 1 N / c m , 1 k g , 1 . 5 N , 1 0 m / sL k m f g ， 则 有 0
6、5 10 15 201010XiTi0 5 10 15 202020ViTi图 7图 810 8 6 4 2 0 2 4 6 8108642246810ViXi图 9 由上图可知当振子振动 3/2 个周期后停下来， 与文 1中的分析一致。 1 4 弹簧 振子的周期 文 1中指出这个模型中弹簧振子的周期为 2 fTkg，式中 /fg是物块的等效质量。笔者认为这是错误的，因为弹簧振子的 固有周期只与弹簧振子本身有关（质量 m 和劲度 k ） ，周期 应 为 2/T m k 4。也就是不论弹簧振子 是自由振动，还 是阻尼振动；不论它所在参考系是惯性参考系还是非惯性参考系；不论它在地球的什么位置 ，
7、弹簧振子的周期都是相同 的。 从图 3 中可以看出振子的周期约为 2s 。 设 1kg, 10 N /mmk代入公式得2 1 .9 8 7 smT k ， 与图 3 中的值相同 。 1 5 弹簧振子 振动规律 的解析解 (猜想 ) 由上图 3 可以看出，振子 的周期不变振幅随时间均匀减小，每经过半个周期振子的振幅（相对于 O 点）减小 2/fk1， 猜想 振动方程为 22( ) ( 2 ) c o s ( )ftx t L tk T T 。 若令21 0 m , 1 0 N /m , 1 k g , 2 N, 1 0 m /sL k m f g ，则 有 0 5 10 15 20 251055
8、10x t( )t0 5 10 15 20 255050v t( )t 与前面的图 3、图 4、图 5 相同，即振动方程为 22( ) ( 2 ) c o s ( ) , 2f t mx t L t Tk T T k 2 结语 通 过以上的分析不难发现，文中的阻尼振动的规律与所受的摩擦力的方向有 密切联 系，因为它 每半个周期改变一次方向 ， 所以振幅 （相对于 O 点） 每半个周期减小 2/fk。实际上振子的 振幅 不可能是 一直减小到零，当在某一位置振子 速度为零且弹簧的弹力不大于最大静摩擦力时 ， 它就会停下来不动，这 也 与文 123中所描述的内容相同。 参考文献 1 王兴堂粗糙水平面上弹簧振子运动的研究 物理通报， 2011（ 12）： 9091 2 冯德强 黄雄 从一道题 的错解说弹簧振子 物理通报， 2011（ 10）： 8991 3 陆天明 对一道双平衡位置振动问题的讨论 物理通报， 2011（ 10）： 9293 4 姜付锦 此题还有一解 对正确使用平均值一文的补充 物理通报， 2011（ 7）：94， 98
