1、专题三 主题单元设计 作业 主题单元标题 三角函数的图像和性质 作者姓名 张英杰 所属单位 莱芜市莱城区教研室 联系地址 莱芜市莱城区教研室 联系电话 13706389169 电子邮箱 S 邮政编码 271100 学科领域 （在 内打 表示主属学科，打 + 表示相关学科） 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 语文 美术 生物 科学 数学 外语 历史 社区服务 体育 物理 地理 社会实践 其他（请列出）： 适用年级 高中一年级 所需时间 共 4 课时 主题单元概述 (简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系，主要的学习方式和预期的学习成果，字数 300
2、-500) 本单元主要研究的是三角函数的图像与性质，这部分内容 是高一函数学习中 的 一部分，它是联系几何与代数的桥梁 ,沟通初等数学和高等数学的一条通道 ； 就中观层面分析 ， 本单元的内容是 三角知识中的 重点部分 之一 ，也是 解决数学问题和利用数学知识解决实际问题的有效工具 。 主题单元分为三个专题，专题一、如何利用单位圆作正弦函数图像 ?如何作函数简图 ?通过观看电子文稿和小组讨论得到作图的方法，特别是掌握作简图的方法 ； 专题二、正、余弦函数和正切函数的性质是怎样的？ 利用图像研究函数基本性质 ，通过对图像的观察，分小组研究各函数的相关性质，并能用所学知识进行简单证明 ； 专题三、
3、 、A的物理意义及其对 )sin( xAy 图像的影响 如何呢？ 重点通过学生自主学习的形式， 利用几何画板探索三个量的作用 。该 主题 单元学习主要体现在学生 的学习方式上从以往的从性质研究图像转变为由图像自主研究性质的形式，突出学生利用多媒 体 演示和几何画板等工具自主探索、主动学习的过程 ,使学生进入一种更开放的学习状态中。 主题学习目标 (描述该主题学习所要达到的主要目标 ) 知识与技能： 1、 理解正弦函数和余弦函数的概念。 2、 掌握正弦函数和余弦函数的图像，会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图像。 3、 会利用图像研究正弦函数和余弦函数的相关性质。 4、 掌握正切函数的性质和图
4、像。 5、 研究函数 )sin( xAy 的图像和性质 过程与 方法： 1、 通过对 正弦函数和余弦函数的 学习，体会 类比 、转化等 研究方法， 养成良好的思维习惯。 2、 利用几何画板，通过对比的方法初步体验研究性学习的基本过程。 3、 通过资料收集 过程和探究过程 初步体验信息技术手段在数学知识学习中的应用。 情感态度与价值观： 1、 从数学活动中感悟探索知识的乐趣，体会提出问题、通过实践解决问题的意义于价值。 2、 从 现实世界中的数学现象， 感悟身边处处有数学，养成多看、多想、多问的习惯。 对应课标 1、 实例和利用函数定义，形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义。 2、 掌握正弦
5、函数和 余弦函数的图像，会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图像。 3、 掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质。 4、 类比正弦函数的研究方法，学习并掌握正切函数的性质和图像。 5、 会求一般三角函数的周期，但限于通过简单的三角变换可化为形如 xAy sin 的 函数的情形。 6、 利用几何画板，研究函数 xAy sin （ 0,0 A ）的图 像 ，再讨论该函数的性质， 知道、A 的物理意义及其对图像的影响。 7、 了解三角函数的实际应用；能用函数的周期性去观察和解释一些自然现象。 主题单元问题设计 1、如何利用单位圆法和五点法作正、余弦函数图像？ 2、 正、
6、余弦函数、正切函数的性质是怎样的？ 3、 xAy sin （ 0,0 A ）中 、A 的物理意义及其对图像的影响又如何？ 专题划分 专题一： 正、余弦函数图像作法 如何利用单位圆法和五点法作正、余弦函数图像？ （ 1 课时） 专题二： 探究 函 数 性 质 正 、 余 弦 函 数 、 正 切 函 数 的 性 质 是 怎 样 的 ？ （ 2 课时） 专题三： xAy sin 的图像 特征 、A 的物理意义及其对图像 的 影响 又如何 ？ （ 1 课时） 专 题一 正、余弦函数图像作法 如何利用单位圆 法 和五点法作 正、余弦 函数图像？ 所需课时 1 课时 专题一概述 (介绍本专题在整个单元中的
7、作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果 ) 五点法作 xy sin 的图像是本主题单元的重要内容，为后续专题中学习例如，作 xAy sin 的图像以及研究相关性质作重要的铺垫。 单位圆中三角函数线的问题 学生已经在过去的学习中掌握了，本专题首先要求在此基础上解决利用三角函数线作正弦函数较精确图像的方法。学 生通过观看电子文稿小组研究，以达到了解单位圆上点和直角坐标系中点间对应关系目的。随后通过对图像观察找出作简图的方法即“五点作图法”；最后探索正、余弦函数间关系，交流得到余弦函数图像的方法。它是整个主题学习的准备阶段，是下面学习的基础，由于本单元体现的是由图像研究性质，因此能绘制准
8、确的图像是后面学习的必须技能，要求学生通过学习熟练作出 xy sin 与 xy cos 在一个周期上的图像。 在专题一中，课标要求学生了解由单位圆作正弦函数图像的过程，从以 往不使用任何资源的教学中发现学生很难理解一个单位圆和一条曲线间的联系。于是我在这主要是制作了 PPT 的动画效果，将单位圆上的点和曲线上的点一一对应的过程通过动画展现给学生，帮助学生理解正弦函数图像形成过程，为后面学生自行学习正切函数图像形成过程打好基础。通过这种动态的学习，学生的注意力被有效集中起来，学会知识也就更加事半功倍了 本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标） 1、 结合单位圆中的正弦线 ，理解点 x
9、sinx， 的坐标意义， 作出正弦函数的图像 ； 2、通过 观察 正弦函数的图像， 结合 正弦函数图像的特征 ，学会使用“ 五点法 ”作图； 3、通过函数图像的变换，作出余弦函数及相关函数图像； 4、在渗透数形结合的数学思想过程中， 体会 类比和转化的思维 过程 。 本专题问题设计 1、如何利用 xsinx， 的意义 作正弦函数的图像 ？ 2、如何绘制正弦函数大致图像？ 3、如何得到余弦函数图像呢？ 所需教学材料和资源 (在此列出学习过程中所需的各种支持资源 ) 信息化资源 教师准备的演示文稿 常规资源 教师准备的学生学稿（作图使用） 教学支撑环境 教室 其 他 作图用笔、尺等工具 学习活动设
10、计 （描述本专题的学习过程和学习活动） 第一课时 活动一：复习 单位圆中的正弦线、余弦线、正切线。 1、 教师 提出问题：在 学稿 图一的单位圆中哪条是正弦线？ 学生 在 学稿 上画出正弦线 活动二：学生分组讨论并学习正弦函数图像绘制方法。 1、 共享演示文稿 教师 提问： 1）从文稿学习中 怎样 理解点 xsinx， 坐标的意义 ？ 2）小组讨论如何利用单位圆绘制正弦函数图像？ 3）图像中起关键作用的点是 哪些？能否利用这些点绘制函数的大致图像呢？ 2、 学生 利 用单位圆在学稿中绘制正弦函数较精确图像。 观察图像，寻找图中起关键作用的点，并作出判断能否利用这些点作出正弦函数大致图像。 小组
11、简单交流。 3、 教师 评价和总结 活动三：探究余弦函数图像的绘制方法。 1、 教师 提出问题：从作图中和已学知识中你能谈谈正、余弦函数间关系吗？ 2、 学生 交流、讨论提出解决问题方案。 3、 教师 总结 。 教学评价 （列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法） 可评价的学习要素 1、 课堂学习态度评价 评价方法：现场评价 1）观看文 稿的态度 2）讨论的积极性和活动过程的有序性 2、能利用单位圆法正确绘制正弦函数图像 评价方法：现场评价和对照评价 评价说明：给出正确图像，要求学生对照各自所画的图像进行评价及修改。 3、能利用五点法正确绘制正、余弦函数大致图像 评价方法：现场评
12、价和对照评价 评价说明：给出正确图像，要求学生对照各自所画的图像进行评价及修改。 专题二 探究 函数性质 正、余弦函数、正切函数的性质是怎样的？ 所需课时 2 课时 +课外活动 +拓展课 专题二概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活 动和学习成果 ) 在专题一的学习中，学生已经了解了函数图像的作法，为本专题提供了有效的探究工具。在本专题中，学生将体会从图像认识函数性质的过程，初步体验提出问题，探究问题，解决问题的过程，为下一专题的自行探究作准备。 本专题主要通过组织学生从研究三角函数图像的过程中初步了解各三角函数的性质。 具体活动为，第一，通过对正、余弦函数图像
13、的认识，初步探究正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质。第二，类比正弦函数的研究方法，探究学习并掌握正切函数的图像和性质。第三，引导学生利用 探究的结果解 决一些实际问题，并从解决问题过程中提炼解决一类问题的方式方法。 在专题二第一课时课前先在屏幕上播放一段“摩天轮”的视频，还没上课就把学生的胃口都吊了起来，通过情境引入提出问题，摩天轮和数学有关系吗？让学生产生探究知识的欲望。随后则顺利进入课题，让学生对三角函数性质的探究从兴趣出发，他们探究的过程也就更加热情了。当然在探究过程中，由于是由函数图像来探究函数性质，因此需要有展示图像的工具，这时向学生提供了几项，包括他们
14、自己绘制的函数图像、老师的演示文稿和每个小组两部图像计算器。让学生自由选择，合作交 流完成探究过程，这时资源虽然是起辅助作用，但这些资源最大的好处和共同的特点都是能直观的展现学生探究所需的直观图像，也就是说是必不可少的。 本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标） 1、 掌握各三角函数的基本性质。 2、 了解类比思想研究问题的方法。 3、初步体验研究性学习的一般过程。 本专题问题设计 1、 从函数图像观察， 正、余弦函数拥有哪些相关性质 呢？ 2 如何利用这些性质解决一些数学问题？ 3、 怎样 类比 得到正切函数的图像 和性质 呢？ 所需教学材料和资源 (在此列出学习过程中所需的各种
15、支持资源 ) 信息化资 源 电脑及演示文稿、图形计算器 常规资源 课堂学稿 教学支撑环境 相关教室 其 他 学习工具笔尺等 学习活动设计 （描述本专题的学习过程和学习活动） 第一课时 活动一：情境引入 1、 教师 提出问题： 游乐场中旋转的 摩天轮在某时刻 离地面的高度问题能否用三角函数模型来解决 ？ 2、 共享演示文稿 3、 引出本节课课题。 活动二：绘制正弦函数和余弦函数大致图像。 1、复习：绘制正弦、余弦函数的大致图像。 学生 在学稿上画出正、余弦函数大致图像。 活动三：学生分组研究正、余弦函数的基本性质。 1、观察函数图像 教师 提 问： 1）正弦函数的 奇偶性、周期性、单调性、最大值
16、和最小值等性质 的结论如何 ？ 2） 余弦函数的 奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质 的结论如何 ？ 2、 学生 从观察学稿上图像、观看演示文稿和使用图形计算器，合作探究三角函数基本性质。 利用所拥有的数学知识简单证明或说明基本性质由来。 小组交流形式汇报探究结论。并填写 记录表 小组间互相补充，简单评价。 3、 教师 评价和小结。 附 ，拓展活动：探究利用性质解决具体问题的方式方法。 1、提出问题： 1）从所总结的性质中，你能解决学稿中的一些具 体问题吗？ 2）能提炼出解决一类问题的方式方法吗？ 2、学生课后合作学习完成问题的解答，并将结果和总结的解决问题的方法公布在班级网页上。
17、3、 教师 拓展课时对网页上结果进行评价和相关问题小结。 第二课时 活动一：类比正弦函数图像的作法，利用单位圆作正切函数图像。 1、 教师 提出问题：类比利用单位圆作正弦函数图像方法探索如何利用单位圆作正切函数的图像呢？ 2、 学生 在学稿上寻求利用单位圆作正切函数图像的过程。 3、 学生 自行解决绘制正切函数大致图像的方法。 活动二：学生分组研究正切函数的基本性质。 1、观察函数图像 提问：正且函数的 奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质 的情况又如何呢 ？ 2、 学生 各小组自行观察图像和利用所拥有的数学知识整理总结正切函数的基本性质 。 小组间交流探究后得到的相关结论。并填写记录
18、表。 活动三：探究利用性质解决具体问题的方式方法。 1、提出问题： 类比正、余弦函数解决问题的方法，能否利用性质解决正切函数中相关问题呢 ？ 2、 学生 自行解决学稿中的具体问题 3、 学生 交流问题解决的过程与方法 4、 教师 总结 教学评价 （列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法） 可评价的学 习要素 1、函数性质的探究活动 评价方法：完成探究活动记录表（小组间互评 +教师点评） 评价指标： 1）研究记录表填写完整，结论正确 2）在探究活动中态度积极 3）活动过程规范有序、效果明显 4）活动中能相互交流和配合，有效体现小组合作的精神 2、能利用性质解决具体问题找到解决一类问
19、题的方法 评价方法：现场评价和对照评价 评价说明：给出正确结论，要求学生对照结论对自己的小结进行评价及修改。 专题三 xAy sin 的 图像特征 、A 的物理 意义及其对图像的影响又如何？ 所需课时 课堂教学 1 课时 +课外活动 专题三概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果 ) 在专题一、二的学习中，学生已经了解了函数图像的作法及基本性质。在本专题中，从生活中实际事例引入 xAy sin 型的函数，让学生通过前面研究问题的方式方法探究该函数的图像特征和相关性质，是对所学知识和技能的一次很好检验。 本专题主要通过组织学生 利用几何画板，研究函数 x
20、Ay sin （ 0,0 A ）的图 像 ，再讨论该函数的性质， 知道 、A 的物理意义及其对图像的影响。 具体活动为，第一， 利用几何画板分别研究 xAy sin 、 xy sin 、 xAy sin 、 xy sin 的图像和性质，并掌握它们和 xy sin 的图像和性质间关系。 第二， 整合材料 研究函数 xAy sin 的图像和性质，探究它与 xy sin 的图像和性质间关系。 第三， 收集资料寻找三角函数和生活的结合与其它学科联系的实例。感悟只要做个有心人就能在生活中处处感受和数学的联系。 而专题三的探究过程中需要对不同图像进行比对，这时图形计算器的屏幕太小对探究过程并不方便，于是使
21、用了几何画板软件，其中的超级函数对同一坐标系内显示几个函数的操作很简单，学生都能掌握，因此采用到机房上课，利用电脑来探究函数图像中 、A 的物理 意义及其对图像的影响。学生通过自己在电脑上的操作比对图像，直观而且大大提高了课堂效率。但这部分知识的内容汇总和知识整理对学生来说是有一定困难的，因此这时我在校园网上提供了一个 PPT 演示文稿，供学生完成研究报告时作为参考，让学生不至于产生感觉得到图像的变化过程却无法用语句表达出来的尴尬局面。 本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标） 1、 利用几何画板分别研究 xAy sin 、 xy sin 、 xAy sin 、 xy sin 的图
22、像和性质，并掌握它们和 xy sin 的图像和性质间关系。 2、整合材料 研究函数 xAy sin 的图像和性质，探究它与 xy sin 的图像和性质间关系。 3、 在研究中进一步领会分解与组合的思想方法。 4、 通过对比的方法 进一步 体验研究性学习的基本过程。 5、通过资料收集体会学习内容 与生活的联系，增强一定的学习兴趣 。 本专题问题设计 1、 xAy sin 、 xy sin 、 xAy sin 、 xy sin 的图像和 xy sin的图像间关系 如何？ 2、 、A 的物理意义 如何 ？ 3、 、A 对图像的影响 分别是什么？ 所需教学材料和资源 (在此列出学习过程中所需的各种支持
23、资源 ) 信息化资源 电脑及相关软件 常规资源 课堂学稿、探究过程记录 表 教学支撑环境 多媒体教室 其 他 学习工具笔尺等 学习活动设计 （ 描述本 专题的学习过程和学习活动） 活动一：情境引入 通过上节课，我们得知游乐场中旋转的 摩天轮在某时刻 离地面的高度问题能用三角函数模型来解决 。并得到了相关模型 xAy sin ，那么在这个函数中 、A 的物理意义及其对图像的影响 是什么呢？我们现在就来探究下这个问题的答案吧！ 活动二：探究活动 1、提出问题 1） xAy sin 、 xy sin 、 xAy sin 、 xy sin 的图像和 xy sin 的图像间关系 如何？ 2） xAy s
24、in 的图像和性质与 xy sin 的图像和性质间关系 如何？ 3） 、A 的物理意义及其对图像的影响 是什么？ 2、根据问题，利用几何画板软件进行探究活动。 1）探究 xAy sin 、 xy sin 、 xAy sin 、 xy sin 的图像和 xy sin 的图像间关系 。 2）探究 xAy sin 的图像和性质与 xy sin 的图像和性质间关系 3）探究 、A 的物理意义及其对图像的影响 3、记录探究过程，填写研究记录 表（教师提供模板） 4、得出结论 5、汇报研究结果 6、教师评价各组的研究成果 7、总结并布置课外拓展活动要求 附：拓展活动 （课堂上布置要求，课后学生小组协作完成
25、） 针对研究结果，进一步感悟 三角函数的学习对我们生活有何实际意义和价值？ 具体活动要求： 1、课后收集 资料寻找三角函数与生活的联系及在其它学科中的相关应用 2、将收集的资料用 PPT 的形式制作成小报 3、以小组为单位在午会课时间进行交流 4、将最终完成的小报发布到班级网页 教学评价 （列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法） 可评价 的学习要素： xAy sin 图像与性质 的探究活动 评价方法：完成探究活动记录表（小组间互评 +教师点评） 评价指标： 1）研究记录表填写完整，结论正确 2）对探究活动态度积极 3）活动过程规范有序、效果明显 4）活动中能相互交流和配合，有效体现小组合作的精神
