1、智浪教育 普惠英才文库 第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 第 1 试 2012 年 3 月 11 日 上午 8： 30 至 10： 00 得分 一、 选择题（每小题 4 分，共 40 分 .）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答案 1. 集合 | 1 , , | 1 1 , P x x x R Q x x x Z ，则 PQ （ ） ( )(0,1).A ( )0,1.B ( )0,1.C ( ) 1,1.D 2. 已知 340 , lo g (1 ) , lo gx A x B x
2、 ，则 A 与 B 的大小关系是（ ） ( ) .AA B ( ) .BA B ( ) .CA B ()D 随 x 的值而定 . 3. 有若干个同心圆，其半径是公比为 ( 1)qq 的等比数列，相邻的两个圆组成一个圆环，则这些圆环的面积（ ） ()A 不是等比数列 . ()B 是等比数列，公比为 .q ()C 是等比数列，公比为 2.q ()D 是等比数列，公比为 2 1.q 4. 设 ,ab是两个非零向量，则“ a 和 b 同向”是“ 2( ) ( )( )a b a a b b ”的（ ） ()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充分且必要条件 ()D 既不充分也不必要条件
3、 5. 已知 ,xy R ，且 3 5 3 5x y y x ，则下列关系式中成立的是（ ） ( ) 1.xyAe ( ) 1.yxBe ( )ln( ) 0.C x y ( ) ln( 1) 1.D y x 6. The range of values for the function 21y x x is （ ） ( ) 2, 2.A ( )( 2, 2).B ( ) 1, 2.C ( )( 1, 2)D 7. 方程 222 2 ( 2) 4 6 0x y x x y y y 的正整数解的个数是（ ） ()1.A ( )2.B ( )5.C ()D 无穷多个 . 8. 已知正三棱柱 1 1
4、 1ABC ABC 中， 1AA a ， 2AB a ，M 、 N 、 E 分别是 AB 、 AC 、 11AB 的中点，那么平智浪教育 普惠英才文库 面 BCE 与平面 MNE 所成的二面角的余弦值是（ ） 3( ) .2A 7()2B 7()7C 27()7D 9. 椭圆 22 14yx 的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比等于（ ） 3( ) .4A 4()5B 5()6C 7()8D 10. 定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于 A 、 B 两点，则线段 AB 称为该双曲线的焦点弦。已知双曲线 22125 9xy，那么过该双曲线左焦点，长度为整数且不超过 2012 的焦点弦的条数
5、是（ ） ( )4005A ( )4018B ( )8023C ( )8036D 二、 A 组填空题（每小题 4 分，共 40 分） 11. 若定义在 R 上的偶函数 ()fx和奇函数 ()gx满足： 2( ) ( ) 1f x g x x x ， 则 (2)g 12. 函数 21 ()xxy e e x R 的单调递减区间是 13. 平面直角坐标系中，已知点 (2,1)A ，动点 B 在 x 轴上，动点 C 在直线 yx 上，那么ABC 的周长的最小值 是 14. 已知 sin cos 2，则 tan( )3 15. 设 2 0 1 1 2 0 1 3 | , 2012nnA n Z n Z
6、 ，将 A 中的元素从小到大地排列为： 12, , ,aa则 1 2 2012a a a 16. 已知数列 nx 中， 211 13, 2nn nxxx x ，则数列 nx 的通项公式 nx 17. 设 A 是半径为 5 的 O 上的一个定点，单位向量 b 在 A 点处与 O 相切，点 P 是 O 上的一个动点，且点 P 与点 A 不重合，则 APb 的取值范围是 18. Suppose the equation 222 1 0x kx k has two unequal real roots 12,xx,which satisfy 1 3( 1,2)ixi . Then the range
7、of values for the real number k is 智浪教育 普惠英才文库 19. 如图 2，在正四面体 ABCD 中， 12,PP是 BC 的 3 等分点，过这两个分点分别作 CD 的平行线 1 1 2 2,PQ PQ ，其中 12,QQ在 BD 上，则点 B 到平面 1 1 2 2,APQ APQ 的距离之比是 20. 已知双曲线 22:1xyC ab的左、右焦点分别是 12,FF，正三角形12AFF 的一边 1AF 与双曲线左支交于点 B ，且 114AF BF ，则双曲线 C 的离心率的值是 三、 B 组填空题（每小题 8 分，共 40 分） 21.一个正数的小数部分
8、、整数部分及它自身构成等比数列，则该数的整数部分是 ， 小数部分是 22.已知正三棱锥的侧面面积与底面积之比等于 ，则此三棱锥的侧棱与底面边长的比等 于 ，侧棱与底面所成角的正弦值等于 23.设曲线 1*()ny x n N在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx ，则 nx ， 2 0 1 2 1 2 0 1 2 2 2 0 1 2 2 0 1 1lo g lo g lo gx x x 24.已知函数 3( ) 3 s i n ( ) c o s ( ) c o s c o s ( )4 4 2f x x x x x ，则 ()fx的最小正周期是 ，若函数 ()fx的图象按向量 ( , )b mn 平移后， 所得的图象与函数( ) sin 2 1g x x图象重合，且 2m ，则 b 25.已知 ln , 0 5,()1 0, 5 .xexfxxx 若方程 ( ) ( )f x k k 是 常 数有三个不同的实数根 , , ,abc 且,abc 则 ab ， c 的取值范围是 智浪教育 普惠英才文库
