1、第十五讲 等腰三角形与直角三角形 1 (2017 台州中考 )如图 ， 已知等腰三角形 ABC， AB AC， 若以点 B 为圆心 ， BC 长为半径画弧 ， 交腰 AC 于点E， 则下列结论一定正确的是 ( C ) A AE EC B AE BE C EBC BAC D EBC ABE ,(第 1 题图 ) ,(第 2 题图 ) 2 (2017 烟台中考 )某城市几条道路的位置关系如图所示 ， 已知 ABCD ， AE 与 AB 的夹角为 48， 若 CF 与EF 的长度相等 ， 则 C 的度数为 ( D ) A 48 B 40 C 30 D 24 3 (2017 大庆中考 )如图 ， AB
2、D 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形 ， BCD 中 ， DBC 90， BCD60， DC 中点为 E， AD 与 BE 的延长线交于点 F， 则 AFB 的度数为 ( B ) A 30 B 15 C 45 D 25 ,(第 3 题图 ) ,(第 5 题图 ) 4 (安顺中考 )已知实数 x， y 满足 |x 4| y 8 0， 则以 x， y 的值为两边长的等腰三 角形的周长是( B ) A 20 或 16 B 20 C 16 D 以上答案均不对 5 (2017 大连中考 )如图 ， 在 ABC 中 ， ACB 90， CD AB， 垂足为 D， 点 E 是 AB 的中点 ， CD DE
3、 a，则 AB 的长为 ( B ) A 2a B 2 2a C 3a D.4 33 a 6 (武汉中考 )平面直角坐标系中 ， 已知 A(2， 2)， B(4， 0)若在坐标轴上取点 C， 使 ABC 为等腰三角形 ，则满足条件的点 C 的个数是 ( A ) A 5 B 6 C 7 D 8 7 (2017 聊城中考 )如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形 ， 线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上如果点P 是某个小矩形的顶点 ， 连结 PA， PB， 那么使 ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 ( B ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 (内江中考 )已知等边三角形的边长为 3，
4、 点 P 为等边三角形内任意一点 ， 则点 P 到三边的距离之和为( B ) A. 32 B.3 32 C.32 D 不能确定 9 (2017 株洲中考 )如图所示 ， 在 ABC 中 ， B _25 _. ,(第 9 题图 ) ,(第 10 题图 ) 10 (泰州中考 )如图 ， 已知直线 l1 l2， 将等边三角形如图放置 ， 若 40， 则 等于 _20 _ 11 (2017 常德中考 )如图 ， 已知 Rt ABE 中 ， A 90， B 60， BE 10， D 是线段 AE 上的一动点 ， 过D 作 CD 交 BE 于 C， 并使得 CDE 30， 则 CD长度的取值范围是 _0
5、CD5 _ ,(第 11 题图 ) ,(第 12 题图 ) 12 (牡丹江中考 )如图 ， 在 ABC 中 ， AB AC 6， AB 的垂直平分线交 AB 于点 E， 交 BC 于点 D， 连结 AD， 若AD 4， 则 DC _5_ 13 (2017 淄博中考 )在边长为 4 的等边三角形 ABC 中 ， D 为 BC 边上的任意一点 ， 过点 D 分别作 DEAB ， DF AC， 垂足分别为 E， F， 则 DE DF _2 3_. 14 (常州中考 )如图 ， 已知 ABC 中 ， AB AC， BD， CE 是高 ， BD 与 CE 相交于点 O. (1)求证： OB OC； (2
6、)若 ABC 50， 求 BOC 的度数 解： (1)AB AC， ABC ACB. BD， CE 是 ABC 的两条高线 ， BEC BDC 90 ， BEC CDB， DBC ECB ， BE CD. 在 BOE 和 COD 中 ， BOE COD ， BE CD， BEC CDB 90 ， BOE COD， OB OC； (2)ABC 50 ， AB AC， A 180 250 80 . DOE A 180 ， BOC DOE 180 80 100 . 15 (宁夏中考 )在等边 ABC 中 ， 点 D， E 分别在边 BC， AC 上 ， 若 CD 2， 过点 D 作 DEAB ， 过
7、点 E 作EFDE ， 交 BC 的延长线于点 F， 求 EF 的长 解： ABC 是等边三角形 ， B ACB 60 . DE AB， EDC B 60 ， EDC 是等边三角形 ， DE DC 2. 在 Rt DEF 中 ， DEF 90 ， DE 2， EDC 60 ， EF tan60 DE 2 3. 16 (2017 郴州中考 )如图 ， ABC 是边长为 4 cm 的等边三角形 ， 边 AB 在射线 OM 上 ， 且 OA 6 cm， 点 D从 O 点出发 ， 沿 OM 的方向以 1 cm/s 的速度运动 ， 当 D 不与点 A 重合时 ， 将 ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 6
8、0 得到 BCE ， 连结 DE. (1)求证： CDE 是等边三角形； (2)如图 ， 当 6 t 10 时 ， BDE 的周长是否存在最小值？若存在 ， 求出 BDE 的最小周长；若不存在 ， 请说明理由； (3)如图 ， 当点 D 在射线 OM 上运动时 ， 是否存在以 D， E， B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在 ， 求出此时 t 的值；若不存在 ， 请说明理由 解： (1) 将 ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60 得到 B CE， DCE 60 ， DC EC， CDE 是等边三角形； (2)存在 ， 当 6 t 10 时 ， 由旋转的性质得 ， BE AD， C DBE
9、BE DB DE AB DE 4 DE， 由 (1)知 ， CDE 是等边三角形 ， DE CD， C DBE CD 4， 由垂线段最短可知 ， 当 CDAB 时 ， BDE 的周长最小 ， 此时 ， CD 2 3 cm， BDE 的最小周长 CD 4 2 3 4； (3)存在 ， 当点 D 与点 B 重合时 ， D， B， E 不能构成三角形 ， 当点 D 与点 B 重合时 ， 不符合题意； 当 0t 6 时 ， 由旋转可知 ， ABE 60 ， BDE 60 ， BED 90 ， 由 (1)可知 ， CDE 是等边三角形 ， DEB 60 ， CEB 30 . CEB CDA ， CDA
10、30 . CAB 60 ， ACD ADC 30 ， DA CA 4， OD OA DA 6 4 2， t 21 2 s； 当 6 t 10 s 时 ， 由 DBE 120 90 ， 此时不存在； 当 t 10 s 时 ， 由旋转的性质可知 ， DBE 60 ， 又由 (1)知 CDE 60 ， BDE CDE BDC 60 BDC ， 而 BDC 0 ， BDE 60 ， 只能 BDE 90 ， 从而 BCD 30 ， BD BC 4， OD 14 cm， t 141 14 s， 综上所述 ， 当 t 2 或 14 s 时 ， 以 D， E， B 为顶点的三角形是直角三角形 17 (六盘水中考 )如图 ， 已知 AB A1B， A1B1 A1A2， A2B2 A2A3， A3B3 A3A4， 若 A 70， 则 A n 1AnBn 1 的度数为 ( C ) A.702n B. 702n 1 C.702n 1 D. 702n 2
