1、高考专题训练三十 不等式选讲 (选修 4 5) 班级 _ 姓名 _ 时间： 45分钟 分值： 100 分 总得分 _ 一、填空题 (每小题 5分，共 35 分 ) 1 (2011合肥 )设 a、 b 为正数，且 a b 1，则 12a 1b的最小值是 _ 解析： 本题考查均值不等式求最小值，按不同的变形方式的解法也有很多最常见的解法： 12a1ba b2a a bb 12b2a 1ab 32 b2a ab 32 2 b2aab 32 2. 答案： 32 2 2 (2011郑州 )已知实数 x、 y满足 3x2 2y2 6，则 P 2x y的最大值是 _ 解析： 本题考查圆锥曲线的参数方程、三角
2、函数的和差角公式等知识 所给不等式表示的区域为椭圆 x22y23 1 及其边界部分设椭圆的参数方程为 x 2cosy 3sin ( 为参数， 0 2 时，易知 f(x)的值域为 a 2， )，使 f(x) 2a 恒成立，需 a 2 2a 成立，即 a 2(舍去 ) 当 ab0， x a b a， y a a b，则 x、 y的大小关系是 x_y. 解析： 由 x y a b a ( a a b) ba b a ba a b b a b a b a b a a a b4，可分段求函数的最小值，得 f(x)min 3. 解不等式组 x4，2x 5 5， 求并集得所求 x 的取值范围是 0,5 答案
3、： 3 0,5 二、解答题 (共 65分 ) 8 (11 分 )如图， O 为数轴的原点， A， B， M 为数轴上三点， C为线段 OM 上的动点设 x 表示 C 与原点的距离， y表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和 (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)要使 y 的值不超过 70， x 应该在什么范围内取值？ 解： (1)y 4|x 10| 6|x 20|,0 x 30. (2)依题意， x 满足 4|x 10| 6|x 20| 70，0 x 30. 解不等式组，其解集为 9,23 所以 x 9,23 9 (10 分 )(2011辽宁 )已知函数 f(x
4、) |x 2| |x 5|. (1)证明： 3 f(x) 3； (2)求不等式 f(x) x2 8x 15 的解集 解： (1)证明： f(x) |x 2| |x 5| 3， x 2，2x 7， 29a2b2. 证明： 因为 a， b是正实数，所以 a2b a b2 33 a2bab2 3ab0，当且 仅当 a2b a b2，即 a b 1 时，等号成立； 同理： ab2 a2 b 33 ab2a2b 3ab0，当且仅当 a b 1时，等号成立 所以 (a2b a b2)(ab2 a2 b) 9a2b2， 当且仅当 a b 1 时，等号成立 因为 a b，所以 (a2b a b2)(ab2 a
5、2 b)9a2b2. 11 (11 分 )(2011南通卷 )已知函数 f(x) |x 1| |x 2|.若不等式|a b| |a b| |a|f(x)(a 0， a、 b R)恒成立，求实数 x 的取值范围 解： 由 |a b| |a b| |a|f(x)且 a 0 得 |a b| |a b|a| f(x) 又因为 |a b| |a b|a| |a b a b|a| 2，则有 2 f(x) 解不等式 |x 1| |x 2| 2 得 12 x 52. 12 (11 分 )(2011福建 )设不等式 |2x 1|0. 故 ab 1a b. 13 (11 分 )(2011课标 )设函数 f(x) |x a| 3x，其中 a0. (1)当 a 1 时，求不等式 f(x) 3x 2 的解集； (2)若不等式 f(x) 0 的解集为 x|x 1，求 a 的值 解： (1)当 a 1 时， f(x) 3x 2 可化为 |x 1| 2， 由此可得 x 3或 x 1. 故不等式 f(x) 3x 2 的解集为 x|x 3或 x 1 (2)由 f(x) 0 得 |x a| 3x 0. 此不等式化为不等式组 x a，x a 3x 0， 或 x a，a x 3x 0， 即 x a，x a4， 或 x a，x a2. 因为 a0，所以不等式组的解集为 x|x a2 . 由题设可得 a2 1，故 a 2.
