1、第七章 多元函数微分学,一 多元函数与极限二 多元函数的偏导数三 多元函数的全微分及其应用四 多元复合函数的微分法五 多元函数的极值,1.实例分析,一、多元函数,一、多元函数的概念,定义1 ：设在某一过程中有三个变量 x , y 和 z，如果对于 变量 x , y 在其变化范围 D 内的每一对值 ( x , y )， 按照法则 f 有唯一确定的值 z R 与之对应， 那么这种法则就规定了一个函数： 其中 x ，y 称为自变量，z 称为因变量， D为定义域。 D中任一对数 ( x , y )在法则 f 下的对应值 z ，称为 f 在 点( x , y )的函数值，记作 z = f ( x , y
2、 ) 。,多元函数的概念,函数 f 的函数值的全体称为函数 f 的值域。,函数的两个要素:定义域，对应法则,设 z = f (x, y) 的定义域是平面区域 D .,按二元函数定义, (x, y)D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z).,二元函数的几何意义,当(x , y) 在D中变动时, 点M (x, y, z)在空间中变动,当 (x , y)取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中织出一片曲面.,即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 x y 面上的投影区域.,M (x, y, z),二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图
3、形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,这是一个无界开区域。,这是一个闭区域。,（1）邻域,回忆,（1）邻域,定义2： 若函数 z = f ( x , y ) 在点 附近有定义 （在点 可以没有定义）， P ( x , y )是 邻域内的点，如果当 P 以任意的方式无限的趋向 于点 时。 f ( x , y ) 无限的趋向于某一个常 数 A ，那么我们就说当 或 时，函数 f ( x , y )以 A 为极限，记作,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的
4、极限运算法则与一元函数类似,（3）二重极限的几何意义：, 0，P0 的去心 邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .,一元中,多元中,确定极限不存在的方法：,例3 设,解,但取,其值随 k 的不同而变化。,不存在,故,考察 P(x, y)沿平面直线 y = k x 趋于(0, 0)的情形.,如图,对应函数值,定义3：设函数 z = f ( x , y )在点 及其附近有定义 如果 ，就称函数 f ( x , y )在点 连续。如果 f ( x , y )在区域 D 的 每一点都连续，就称 f ( x , y
5、) 在区域 D 连续。,例4 求,解,例5 求极限,解,其中,多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义域内是连续的,在定义域内的连续点求极限可用“代入法”：,例,解,一、 偏导数,多元函数的偏导数,在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.,则 z 成为一元函数 z = f (x, y0),我们可用讨论一元,函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.,一、偏导数的定义,则称这个极限值为 z
6、= f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数.,即,此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.,类似, 若固定 x = x0, 而让 y 变, z = f (x0, y)成为 y 的一元函数.,则称它为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.,即,定义：设函数 z = f ( x , y ) 在点 的某个邻域内有定义。 固定 ，给 x 增量 ，相应的函数 z 有增量 ，称为 z 关于 x 的偏增量。如果极限 存在，就称其为函数 f ( x , y )在点 处
7、对 x 的偏导数，记作,函数 f ( x , y ) 在点 处对 y 的偏导数，记作,若 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处时x的偏导数都存在, 即(x, y)D,存在.,此时, 它是 x, y的二元函数. 称为 z 对 x 的偏导函数. 简称偏导数.记作,类似定义 z 对 y 的偏导函数.,1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元函数来定义的.,注,因此,在实际计算时, 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,求 f y (x, y)时, 只须将
8、 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,2. f x (x0, y0) 就是 f x (x, y), 在点(x0, y0)的值.,算 f x (x0, y0),可用3种方法.,f y (x0, y0),f y (x, y),f y (x0, y0),(1) 用定义算.,例1.,解:,或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,f x(x, 2) = 2x + 6,故 f x(1, 2) = 2+ 6 = 8.,例2.,解:,例3.,解:,偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.,比如, 设 u = f (x, y, z) .,它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.,例4.,
9、解:,由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏导数的几何意义.,设 z = f (x, y) 在点 (x0, y0),处的偏导存在, 记 z0 = f (x0, y0 ). 点M0(x0, y0 , z0)则,二、偏导数的几何意义,f x (x0, y0)就是以平面 y = y0与曲面z = f (x, y) 相截, 得到截线 1 .,1 上点 M0(x0, y0 , z0)处切线,对 x 轴的斜率.,而 f y (x0, y0)就是以就是以平面 x = x0与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线 2 .,2 上点 M0(x0, y0 , z0),处切线对 y 轴的斜率.,4、偏导
10、数的几何意义,如图,几何意义:,故只须搞清一元函数 f (x, y0)的几何意义. 就可得到 f x (x0, y0)的几何意义.,以平面 y = y0与曲面z = f (x, y)相截, 得截线,1 :,z = f (x, y),y = y0,也就是 z = f (x, y0).,且 M0 (x0, y0 , z0)在 1 上.,即 z = f (x, y0)表示平面 y = y0与曲面 z = f (x, y)的交线1.,z = f (x, y0)上点M0处的切线对 x的斜率.,如图,即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 x
11、 的斜率.,类似得 f y (x0, y0)的几何意义.,如图,即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.,在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数不适用.,即, 对多元函数 f (x,y)而言, 即使它在 (x0， y0 )的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (x,y)在 (x0， y0 ) 连续.,三、偏导与连续的关系,例. 设,证明z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0)不连续.,证:,前边已证 z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它在 (0
12、, 0)不连续.,= 0,= 0,故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0)不连续.,下证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在.,从几何上看, f x (x0, y0)存在. 只保证了一元函数 f (x, y0)在 x0 连续.,也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的.,同理, f y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z = f (x, y)的截线 2 在 M0连续.,但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.,换句话说, 当 (x,y
13、) 从任何方向, 沿任何曲线趋于(x0， y0 )时, f (x,y)的极限都是 f (x0， y0 ).,显然, 上边两个条件都不能保证它成立.,两个偏导数都存在的二元函数未必连续,偏导与连续的关系：,例.,易知, f (x, y)在(0,0)的两个偏导都存在,且为0.,但它在(0, 0)不连续.,如图,由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论,高阶偏导数,称为 z = f (x, y)的二阶偏导数.,类似, 可得三阶, 四阶, , n 阶偏导数.,例1.,解:,若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数才相等呢?,问题:,是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?,若 z = f
14、 (x, y)的两个混合偏导数,则,定理1,一般说来, 算这个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式.,该近似公式应满足(1)好算. (2)有起码的精度.,在实际中,常需计算当两个自变量都改变时, 二元函数 z = f (x, y)的改变量 f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0).,一、全微分的概念,多元函数的全微分,类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义.,记 z = f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0).,称为 z = f (x, y)在点 (x0, y0) 的全增量.,全微分的定义,定义,对照一元函数的微分, z = f (x , y), 若z = Ax
15、+0(x) 则dz = Ax = f (x) x .,自然会提出以下问题.,(1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = Ax +By中系数 A, B 如何求, 是否与z的偏导有关?,(2)在一元函数中, 可微与可导是等价的. 在二元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价?,(3)在一元函数中, 可微连续, 对二元函数是否也对?,事实上,结论: 对二元函数 z = f (x, y), z 在(x0, y0)可微(不是存在两个偏导) z 在(x0, y0)连续.,可微的条件,证,总成立,分别称为函数z = f (x, y)关于自变量 x，y 的偏微分。,一元函数在
16、某点的导数存在,多元函数的各偏导数存在,例如，,？,微分存在,全微分存在,则,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。,证略。,多元函数连续、可导、可微的关系,解,(2, 1) 处的全微分,它们均连续。因此，函数可微分。,解,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,解,所求全微分,全微分在近似计算上的应用,估计函数的绝对误差,估计函数的相对误差,定理1： 如果函数 在点 ( x , y )有 连续偏导数 ，函数 z = f ( u , v ) 在对应点 ( u , v ) 有连续偏导数 ，则函数 在点( x , y )有连续偏导数 且,复合函数的微分法,一 链式法则,链式法则如图示,
17、若 z = f ( u , v, w )，都有连续偏导数，则,有多个中间变量的情况，连锁法则仍然适用例如有三个中间变量的情况,特殊地,即,令,其中,区别类似,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,解,解,解,解,令,则,二、全微分形式不变性,（1）如果 u，v 是自变量，结论显然。,（2）如果 u，v 是中间变量，,在点 ( x , y )有连续偏导数，则复合函数Z = f u ( x , y ), v ( x , y )的全微分可表示为：,事实上，,全微分形式不变形的实质： 无论 z 是自变量 u，v 的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的.,常用的微分公式,解,解,d ( ) d ( ),一、多元函数的极值,二、多元函数的最大值与最小值,多元函数的极值,一、多元函数的极值,不可导点可能是极值点,二、二元函数的最大值与最小值,1 求下列函数的偏导数,2 求下列函数的全微分,3 求下列复合函数的偏导数,4 设 u = f ( x+ at )+ g (x at )其中f,g是任意的二阶可微函数，证明：,答案 1 求下列函数的偏导数,2 求下列函数的全微分,3 求下列复合函数的偏导数,（5）令,（6）令,4 证明：令,
