2016年高考数学理试题分类汇编.DOC

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1、 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 2016 年高考数学理试题分类汇编 统计与概率 一、选择题 1、( 2016 年北京高考) 袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三个空盒 .每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒 .重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 ( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】 C

2、2、( 2016 年山东高考) 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是 17.5,30 ,样本数据分组为17 .5 , 20 ), 20 , 22 .5 ), 22 .5 , 25 ),25 , 27.5 ),27.5 , 30.根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 ( A) 56 ( B) 60 ( C) 120 ( D) 140 【答案】 D 3、( 2016 年全国 I 高考) 某公司的班车在 7:30, 8:00, 8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车

3、站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( A) 13 ( B) 12 ( C) 23 ( D) 34 【答案】 B 4、( 2016 年全国 II 高考) 从区间 0,1 随机抽取 2n 个数 1x , 2x , , nx , 1y , 2y , , ny ,构成n 个数对 11,xy , 22,xy , , ,nnxy ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 ( A)

4、4nm ( B) 2nm ( C) 4mn( D) 2mn【答案】 C 5、( 2016 年全国 III 高考) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了 一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C, B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个 【答案】 D 二、填空题 1、( 2016 年山东高考) 在 , 11 上随机的取一个数 k ,则事

5、件“直线 kxy= 与圆 95 22 =+)( yx相交”发生的概率为 【答案】 43 2、( 2016 年上海高考) 某次体检, 6 位同学的身高(单位:米)分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是 _(米) 【答案】 1.76 3、( 2016 年四川高考) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 . 【答案】 32 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 三、解答题 1、( 2

6、016 年北京高考) A、 B、 C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时); A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 ( 1) 试估计 C 班的学生人数; ( 2) 从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人, A 班选出的人记为甲, C 班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; ( 3) 再从 A、 B、 C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时

7、间分别是 7, 9, 8.25(单位:小时),这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 1 ,表格中数据的平均数记为 0 ,试判断 0 和 1 的大小,(结论不要求证明) 解析】 8 100 4020, C 班学生 40 人 在 A 班中取到每 个人的概率相同均为15设 班中取到第 i个人事件为, 1,2,3,4,5iAiC 班中取到第j个人事件为, 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7, 8jCjA班中取到ijAC的概率为 iP所求事件为 D 则1 2 3 4 51 1 1 1 1() 5 5 5 5 5D P P P P P 1 2 1 3 1 3 1 3 1 45 8

8、 5 8 5 8 5 8 5 8 38 10三组平均数分别为7,9,8.25,总均值 08.2但 1中多 加的三个数据, , ,平均值为 8.08,比小, 故拉低了平均值 2、( 2016 年山东高考) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 43 ,乙每轮猜对的概率是 32 ;每学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 轮活

9、动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响假设“星队”参加两轮活动,求: ( ) “星队”至少猜对 3 个成语的概率; ( ) “星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX 【解析】 ( ) “ 至少猜对 3 个成语 ” 包括 “ 恰好猜对 3 个成语 ” 和 “ 猜对 4 个成语 ” 设 “ 至少猜对 3 个成语 ” 为事件 A ; “ 恰好猜对 3 个成语 ” 和 “ 猜对 4 个成语 ” 分别为事件 CB, , 则 1253232414331324343)( 1212 CCBP; 4132324343)( CP 所以 3241125)()()( CPBPAP ( ) “星队”两

10、轮得分之和 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,6 于是 1 4 4131413141)0( XP ; 725144103143314131413241)1( 1212 CCXP ; 14425313243413131434332324141)2( 12 CXP ; 1211 4 41231413243)3( 12 CXP ; 1251 4 460)31433241(3243)4( 12 CXP ; 411 4 43632433243)6( XP ; X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 6 P 141 725 1425 121 125 41 学科网 ( w w w .z x x k

11、 .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 X 的数学期望 6231 4 45 5 26414125312121 4 425172501 4 41 EX 3、( 2016 年四川高考) 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准 x (吨)、一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费,超出 x 的部分按议价收费 .为了了解居民用水情 况,通过抽样,获得了某年 100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照 0,0.5), 0.5,1), 4,4.5)分成 9 组,制

12、成了如图所示的频率分布直方图 . ( I)求直方图中 a 的值; ( II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由; ( III)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x (吨),估计 x 的值,并说明理由 . 【解析】 ( I) 由概率统计相关知识,各组频率之和的值为 1 频率 =(频率 /组距 )*组距 0 . 5 0 . 0 8 0 . 1 6 0 . 4 0 . 5 2 0 . 1 2 0 . 0 8 0 . 0 4 2 1a 得 0.3a ( II) 由图,不低于 3吨 人数 所占百分比为 0 .5 0 .1 2 0 .0 8

13、 0 .0 4 = 1 2 % 全市月均用水量不低于 3吨的人数为: 30 12%=3.6 (万 ) ( III) 由图可知, 月均 用水量 小于 2.5吨的居民人数 所占百分比为: 0 . 5 0 . 0 8 0 . 1 6 0 . 3 0 . 4 0 . 5 2 0 . 7 3 即 73% 的居民 月均 用水量小于 2.5吨 , 同理, 88%的居民 月均 用水量小于 3吨 ,故 2.5 3x 假设月均用水量平均分布,则 8 5 % 7 3 % 0 . 52 . 5 0 . 5 2 . 90 . 3x (吨) . 注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差。 4、( 2016

14、 年天津高考) 某小组共 10 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为 1,2,3的人数分别为 3,3,4,.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 . ( I)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A 发生的概率; 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 ( II)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 【解析】( )设事件 A :选 2 人参加义工活动,次数之和为 4 1 1 23 4 3

15、210C C C 1C3PA ( )随机变量 X 可 能取值 0, 1, 2 2223 3 4210CCC 40 C 1 5PX 1 1 1 13 3 3 4210C C C C 71 C 1 5PX 1134210CC 42 C 15PX X 0 1 2 P 415 715 415 78 115 15EX 5、( 2016 年全国 I 高考) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元 .在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元 .现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并

16、整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . ( I)求 X 的分布列; ( II)若要求 ( ) 0.5P X n,确定 n 的最小值; ( III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 19n 与 20n 之中选其一,应选学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 用哪个? 解:

17、 每台机器更换的易损零件数为 8, 9, 10, 11 记事件 iA 为第一台机器 3 年内换掉 7i 个零件 1,2,3,4i 记事件 iB 为第二台机器 3 年内换掉 7i 个零件 1,2,3,4i 由题知 1 3 4 1 3 4 0 . 2P A P A P A P B P B P B , 220.4A P B 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X , 则 X 的可能的取值为 16, 17, 18, 19,20, 21, 22 111 6 0 . 2 0 . 2 0 . 0 4P X P A P B 1 2 2 11 7 0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 . 2 0

18、. 1 6P X P A P B P A P B 1 3 2 2 3 11 8 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 . 2 4P X P A P B P A P B P A P B 1 4 2 3 3 2 4 11 9 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 2P X P A P B P A P B P A P B P A P B 0.2 0.4 0.24 2 4 3 3 4 22 0 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 2P X P A P B P A P B P A P B 3

19、4 4 32 1 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 0 8P x P A P B P A P B 442 2 0 . 2 0 . 2 0 . 0 4P x P A P B X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 要令 0.5P x n , 0 .0 4 0 .1 6 0 .2 4 0 .5 , 0 .0 4 0 .1 6 0 .2 4 0 .2 4 0 .5 则 n 的最小值为 19 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用 当 19n 时,

20、费用的期望为 1 9 2 0 0 5 0 0 0 . 2 1 0 0 0 0 . 0 8 1 5 0 0 0 . 0 4 4 0 4 0 当 20n 时,费用 的期望为 2 0 2 0 0 5 0 0 0 . 0 8 1 0 0 0 0 . 0 4 4 0 8 0 所以应选用 19n 6、( 2016 年全国 II 高考) 某险种的基本保费为 a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

21、 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 ( )求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; ( )若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; ( )求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 【解析】 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A, ( ) 1 ( ) 1 ( 0.30 0.15 ) 0.55P A P A 设续保人保费比基本保费高出 60%为事件 B,

22、 ( ) 0.10 0.05 3() ( ) 0.55 11P A BB A PA 解:设本年度所交保费为随机变量 X X0.85a a 1.25a 1.5 1.75a 2a P0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 0.85 0.30 0.15 1.25 0.20 1.5 0.20 1.75 0.10 2 0.05E X a a a a a 0.25 5 0.15 0.25 0.3 0.17 5 0.1 1.23a a a a a a a , 平均保费与基本保费比值为 1.23 7、( 2016 年全国 III 高考) 下图是我国 2008 年至 2014 年生

23、活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图 ( I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; ( II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。 参考数据: 71 9.32ii y , 71 40.17iii ty , 7 21 ( ) 0 .5 5ii yy , 7 2.646. 参考公式:相关系数 12211( ) ( )( ) ( y y )niiinniiiit t y yrtt, 回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分 别为: 学科网 ( w w w .z x x k .

24、c o m ) 全国最大的教学资源网站 ! 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 121( )( )()niiiniit t y ybtt,=.a y bt 【解析】 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A, ( ) 1 ( ) 1 ( 0.30 0.15 ) 0.55P A P A 设续保人保费比基本保费高出 60%为事件 B, ( ) 0.10 0.05 3() ( ) 0.55 11P A BB A PA 解:设本年度所交保费为随机变量 X X0.85a a 1.25a 1.5 1.75a 2a P0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 0.85 0.30 0.15 1.25 0.20 1.5 0.20 1.75 0.10 2 0.05E X a a a a a 0.25 5 0.15 0.25 0.3 0.17 5 0.1 1.23a a a a a a a , 平均保费与基本保费比值为 1.23

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