1、 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 2016 年高考数学理试题分类汇编 统计与概率 一、选择题 1、（ 2016 年北京高考） 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三个空盒 .每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒 .重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （ ） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】 C
2、2、（ 2016 年山东高考） 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5,30 ，样本数据分组为17 .5 , 20 ), 20 , 22 .5 ), 22 .5 , 25 ),25 , 27.5 ),27.5 , 30.根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 （ A） 56 （ B） 60 （ C） 120 （ D） 140 【答案】 D 3、（ 2016 年全国 I 高考） 某公司的班车在 7:30， 8:00， 8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车
3、站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34 【答案】 B 4、（ 2016 年全国 II 高考） 从区间 0,1 随机抽取 2n 个数 1x , 2x ， ， nx ， 1y ， 2y ， ， ny ，构成n 个数对 11,xy ， 22,xy ， ， ,nnxy ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 （ A）
4、4nm （ B） 2nm （ C） 4mn（ D） 2mn【答案】 C 5、（ 2016 年全国 III 高考） 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了 一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C， B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个 【答案】 D 二、填空题 1、（ 2016 年山东高考） 在 , 11 上随机的取一个数 k ，则事
5、件“直线 kxy= 与圆 95 22 =+)( yx相交”发生的概率为 【答案】 43 2、（ 2016 年上海高考） 某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是 _（米） 【答案】 1.76 3、（ 2016 年四川高考） 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 . 【答案】 32 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 三、解答题 1、（ 2
6、016 年北京高考） A、 B、 C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （ 1） 试估计 C 班的学生人数； （ 2） 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （ 3） 再从 A、 B、 C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时
7、间分别是 7， 9， 8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 1 ，表格中数据的平均数记为 0 ，试判断 0 和 1 的大小，（结论不要求证明） 解析】 8 100 4020， C 班学生 40 人 在 A 班中取到每 个人的概率相同均为15设 班中取到第 i个人事件为, 1,2,3,4,5iAiC 班中取到第j个人事件为, 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7, 8jCjA班中取到ijAC的概率为 iP所求事件为 D 则1 2 3 4 51 1 1 1 1() 5 5 5 5 5D P P P P P 1 2 1 3 1 3 1 3 1 45 8
8、 5 8 5 8 5 8 5 8 38 10三组平均数分别为7,9,8.25,总均值 08.2但 1中多 加的三个数据, , ,平均值为 8.08，比小， 故拉低了平均值 2、（ 2016 年山东高考） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 43 ，乙每轮猜对的概率是 32 ；每学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 轮活
9、动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响假设“星队”参加两轮活动，求： ( ) “星队”至少猜对 3 个成语的概率； ( ) “星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX 【解析】 ( ) “ 至少猜对 3 个成语 ” 包括 “ 恰好猜对 3 个成语 ” 和 “ 猜对 4 个成语 ” 设 “ 至少猜对 3 个成语 ” 为事件 A ； “ 恰好猜对 3 个成语 ” 和 “ 猜对 4 个成语 ” 分别为事件 CB, ， 则 1253232414331324343)( 1212 CCBP； 4132324343)( CP 所以 3241125)()()( CPBPAP ( ) “星队”两
10、轮得分之和 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,6 于是 1 4 4131413141)0( XP ； 725144103143314131413241)1( 1212 CCXP ； 14425313243413131434332324141)2( 12 CXP ； 1211 4 41231413243)3( 12 CXP ； 1251 4 460)31433241(3243)4( 12 CXP ； 411 4 43632433243)6( XP ； X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 6 P 141 725 1425 121 125 41 学科网 ( w w w .z x x k
11、 .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 X 的数学期望 6231 4 45 5 26414125312121 4 425172501 4 41 EX 3、（ 2016 年四川高考） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨）、一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费 .为了了解居民用水情 况，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 0,0.5)， 0.5,1)， 4,4.5)分成 9 组，制
12、成了如图所示的频率分布直方图 . （ I）求直方图中 a 的值； （ II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； （ III）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值，并说明理由 . 【解析】 （ I） 由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1 频率 =(频率 /组距 )*组距 0 . 5 0 . 0 8 0 . 1 6 0 . 4 0 . 5 2 0 . 1 2 0 . 0 8 0 . 0 4 2 1a 得 0.3a （ II） 由图，不低于 3吨 人数 所占百分比为 0 .5 0 .1 2 0 .0 8
13、 0 .0 4 = 1 2 % 全市月均用水量不低于 3吨的人数为： 30 12%=3.6 (万 ) （ III） 由图可知， 月均 用水量 小于 2.5吨的居民人数 所占百分比为： 0 . 5 0 . 0 8 0 . 1 6 0 . 3 0 . 4 0 . 5 2 0 . 7 3 即 73% 的居民 月均 用水量小于 2.5吨 , 同理， 88%的居民 月均 用水量小于 3吨 ，故 2.5 3x 假设月均用水量平均分布，则 8 5 % 7 3 % 0 . 52 . 5 0 . 5 2 . 90 . 3x （吨） . 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。 4、（ 2016
14、 年天津高考） 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3的人数分别为 3,3,4,.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 . （ I）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 （ II）设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 【解析】（ ）设事件 A ：选 2 人参加义工活动，次数之和为 4 1 1 23 4 3
15、210C C C 1C3PA （ ）随机变量 X 可 能取值 0， 1， 2 2223 3 4210CCC 40 C 1 5PX 1 1 1 13 3 3 4210C C C C 71 C 1 5PX 1134210CC 42 C 15PX X 0 1 2 P 415 715 415 78 115 15EX 5、（ 2016 年全国 I 高考） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 .在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 .现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并
16、整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （ I）求 X 的分布列； （ II）若要求 ( ) 0.5P X n，确定 n 的最小值； （ III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n 与 20n 之中选其一，应选学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 用哪个？ 解：
17、 每台机器更换的易损零件数为 8， 9， 10， 11 记事件 iA 为第一台机器 3 年内换掉 7i 个零件 1,2,3,4i 记事件 iB 为第二台机器 3 年内换掉 7i 个零件 1,2,3,4i 由题知 1 3 4 1 3 4 0 . 2P A P A P A P B P B P B ， 220.4A P B 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ， 则 X 的可能的取值为 16， 17， 18， 19，20， 21， 22 111 6 0 . 2 0 . 2 0 . 0 4P X P A P B 1 2 2 11 7 0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 . 2 0
18、. 1 6P X P A P B P A P B 1 3 2 2 3 11 8 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 . 2 4P X P A P B P A P B P A P B 1 4 2 3 3 2 4 11 9 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 2P X P A P B P A P B P A P B P A P B 0.2 0.4 0.24 2 4 3 3 4 22 0 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 2P X P A P B P A P B P A P B 3
19、4 4 32 1 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 0 8P x P A P B P A P B 442 2 0 . 2 0 . 2 0 . 0 4P x P A P B X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 要令 0.5P x n ， 0 .0 4 0 .1 6 0 .2 4 0 .5 ， 0 .0 4 0 .1 6 0 .2 4 0 .2 4 0 .5 则 n 的最小值为 19 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当 19n 时，
20、费用的期望为 1 9 2 0 0 5 0 0 0 . 2 1 0 0 0 0 . 0 8 1 5 0 0 0 . 0 4 4 0 4 0 当 20n 时，费用 的期望为 2 0 2 0 0 5 0 0 0 . 0 8 1 0 0 0 0 . 0 4 4 0 8 0 所以应选用 19n 6、（ 2016 年全国 II 高考） 某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
21、 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （ ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （ ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； （ ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 学科网 ( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 【解析】 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A， ( ) 1 ( ) 1 ( 0.30 0.15 ) 0.55P A P A 设续保人保费比基本保费高出 60%为事件 B，
22、 ( ) 0.10 0.05 3() ( ) 0.55 11P A BB A PA 解：设本年度所交保费为随机变量 X X0.85a a 1.25a 1.5 1.75a 2a P0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 0.85 0.30 0.15 1.25 0.20 1.5 0.20 1.75 0.10 2 0.05E X a a a a a 0.25 5 0.15 0.25 0.3 0.17 5 0.1 1.23a a a a a a a ， 平均保费与基本保费比值为 1.23 7、（ 2016 年全国 III 高考） 下图是我国 2008 年至 2014 年生
23、活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （ I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （ II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。 参考数据： 71 9.32ii y ， 71 40.17iii ty ， 7 21 ( ) 0 .5 5ii yy ， 7 2.646. 参考公式：相关系数 12211( ) ( )( ) ( y y )niiinniiiit t y yrtt， 回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分 别为： 学科网 ( w w w .z x x k .
24、c o m ) 全国最大的教学资源网站 ！ 北京凤凰学易科技有限公司 版权所有 学科网 121( )( )()niiiniit t y ybtt，=.a y bt 【解析】 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A， ( ) 1 ( ) 1 ( 0.30 0.15 ) 0.55P A P A 设续保人保费比基本保费高出 60%为事件 B， ( ) 0.10 0.05 3() ( ) 0.55 11P A BB A PA 解：设本年度所交保费为随机变量 X X0.85a a 1.25a 1.5 1.75a 2a P0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 0.85 0.30 0.15 1.25 0.20 1.5 0.20 1.75 0.10 2 0.05E X a a a a a 0.25 5 0.15 0.25 0.3 0.17 5 0.1 1.23a a a a a a a ， 平均保费与基本保费比值为 1.23
