1、,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十一章,1,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“分割, 代替, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,2,3,其中 f (x, y, z) 叫做被积,函数, 叫做积分曲面.,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,4,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长
2、的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,5,6,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,7,而,( 光滑),8,说明:,可有类似的公式.,1) 如果曲面方程为,2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,9,10,曲面为参数形式,其中,例1. 计算曲面积分,其中 是球面,被平面,截出的顶部.,解:,11,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,12,例2. 计算,其中
3、是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,13,例3.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的,投影域为,则,14,思考: 若例3 中被积函数改为,计算结果如何 ?,15,例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解: 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?,16,例5. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,17,例6. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或
4、左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,18,例7. 求椭圆柱面,位于 xOy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .,解:,取,19,例8. 计算,解: 取球面坐标系, 则,20,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧.,21,思考与练习,P222 题1；3；4 (1) ; 7,解答提示:,P222 题1.,P222 题3.,设,则,P249 题2,22,P222 题4 (1)., 在 xOy 面上的投影域为,这是 的面积 !,23,P223 题7.,如图所示, 有,24,P249 题2.,限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),25,作业(5-23),P218 10 (2) (4) (7)P222-3 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8,第五节,26,备用题 1. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的,的面密度,质量 M .,解: 在 xOy 面上的投影为,故,27,2. 设 是四面体,面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,28,29,
