1、2018/10/8,1,高能物理过程的精确计算,中国科学技术大学 张仁友2006年10月31日 桂林,2018/10/8,2,1. 引言,标准模型的检验 W，Z， top等粒子的物理特性的精确测量Higgs粒子的寻找与测量 Higgs粒子是否存在 Higgs粒子的物理特性 是否是标准模型的Higgs粒子新物理的发现与精确测量 超对称，额外维，小Higgs模型等新模型的发现；模型参数测量,2018/10/8,3,高能对撞机,Tevatron (running) com: 1.96 TeV PPbar lumi: 2E32 cm-2s-1 CDF, D0,LHC (2007) com: 14 Te
2、V PP lumi: 2E33 cm-2s-1 low luminisity, then 2E34 cm-2s-1 ATLAS，CMS，LHCb， Alice,LC (in the future)e+e- collision and gamma-gamma collision,or e-gamma collision NLC, JLC,TESLA, CLIC,2018/10/8,4,大量费曼图的计算；标量积分函数的计算；张量积分函数推导为标量积分函数的计算；控制数值计算的精度。,多体末态! 高精度！,理论上高精度计算存在的四个主要问题:,2018/10/8,5,2.量子场论计算的基础知识,可观
3、测量O的期望值:其中 为过程的矩阵元（动力学部分） 为相空间体积元,2018/10/8,6,a) 费曼规则: 费曼图 数学表达式,图形与幅度的转换过程是按照费曼图图形技术中所对应的规则进行的;外线对应自由波函数，内线对应着传播函数，顶点对应相互作用顶点。例: 费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则：,2018/10/8,7,例：矩阵元其中,2018/10/8,8,二阶张量圈图积分函数部分：矩阵元中剩余部分：标量积分函数：,2018/10/8,9,b) IR和UV发散的正规化,k0, IR发散! kinf, UV发散!维数正规化方案（n=4-2 ） UV发散的l圈图积分函数则出现最高达 阶极
4、点项。 IR发散的l圈图积分函数则可以出现直到 阶的极点项。,2018/10/8,10,c) N条外线过程的NLO计算,含胶子、光子或轻夸克辐射的N+1条外线树图的对应幅度产生；实(胶子、光子、轻夸克)辐射过程软、共线发散的分离；PDF抵消项贡献中红外发散(共线发散)的分离；N条外线单圈图(包括抵消项图)的对应幅度的产生；计算单圈图，分离出软、共线发散；将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；有限贡献的幅度数值计算。,2018/10/8,11,3. 单圈标量积分函数计算,n（=4-2 ）维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积分函数与外部张量S的乘积求和，即其中S只与外线运动学相关,2018/10/
5、8,12,I的一般形式为：对应于对称张量组合例如：标量系数可以通过Passarino-Veltman方法求出它们由标量积分函数表示出上述即为张量积分的约化过程。,2018/10/8,13,（1）标量A,B,C,D圈积分函数定义; 其中:,2018/10/8,14,（2) 基本标量积分函数计算:,以 为例来说明标量函数的计算。1）Feynman 或 Schwiger 参数化. Feynman参数化 Schwiger参数化2）积分变量平移. 定义:,2018/10/8,15,3） Wick旋转.4） D维欧氏空间的球坐标变换.,2018/10/8,16,5） 角向及径向积分. 作变换 ： 并对径向
6、作积分：有：,角向积分：,2018/10/8,17,（3）A,B标量积分函数的解析结果：,G. t Hooft and M. Veltman, NLB153,365(1979),2018/10/8,18,对标量五点积分函数：,(A. Denner and S. Dittmaier, hep-ph/0212259),(4) 五点标量函数计算:,2018/10/8,19,(5) 六点标量积分函数计算:,Guo 方法：,定义5点和6点标量积分函数：并用 表示 消去传播子 后得到的5点函数。,2018/10/8,20,定选择系数，使得：取：,2018/10/8,21,得到：其中， 为Gram行列式。,
7、Binoth的方法：,其中：,2018/10/8,22,2018/10/8,23,4.张量积分函数计算,(1) Passarino-Veltman 方法：,例如，对于3点2阶张量积分：,N点p阶张量积分：,利用下面的性质降阶：,2018/10/8,24,其中：,三、四、五点张量积分函数推导中出现的Gram矩阵分别为：,将p阶的N点张量积分函数系数表示为低阶张量的N点和N-1,N-2,的 积分函数系数。降阶过 程中会出现Gram矩阵求逆。 递归地采用PV方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为标 量积分函数。,2018/10/8,25,小 结：该方法原则上适用于所有1，2，3，4，5点张
8、量多点积分函数的计算。这种方法会出现 Gram 矩阵求逆，当Gram行列式值很小时会产生积分函数数值计算的不稳定性。四点以下（含四点）积分函数数值计算中Gram行列式值很小的区域仅仅出现在相空间的边缘附近（如前后向区，阈值附近）。5点积分函数数值计算中Gram行列式值很小的区域可能出现在相空间中间。,2018/10/8,26,(2) Denner-Dittmaier 方法:,（ hep-ph/0212259 ）,2018/10/8,27,矢量积分：,2阶张量积分：,2018/10/8,28,3阶张量积分：,2018/10/8,29,该方法避免出现Gram矩阵求逆的计算。,2018/10/8,3
9、0,5. 六点张量积分的计算,（1）Guo 方法：,利用上式将6点张量积分化为5点同阶及低阶张量积分。得到的5点张量积由Denner-Dittmaier方法化为5点及更低点标量积分的计算。,2018/10/8,31,2018/10/8,32,(2) Denner-Dittmaier 方法： (hep-ph/0509141),6点张量积分:,2018/10/8,33,张量积分的系数为:,2018/10/8,34,6. IR发散的分离（Nucl.Phys. B675 (2003) 447）,定义变量：一条无质量外线粒子连接两条无质量的内线传播子，设外线动量 为类光四矢量： 发散发生在 此时传播子n
10、的动量 与外线的动量 在共线 位形上，因此这种发散称为共线发散。,2018/10/8,35,两个在壳的粒子间交换一个无质量的粒子， 此时发散发生在 ，传播子n的动量 ，因 此这种发散称为软发散。,2018/10/8,36,圈积分中的红外发散的分离:,为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划分为有限部分和发散部分。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，我们可以用标准的程序包FF在质量正规化方案下计算。而发散部分可以用相应的3点积分表示。 发散部分的计算： 其中对于共线发散：,2018/10/8,37,对于软发散：例: 五点图发散部分的计算,2018/10/8,38,根据前面的公式计算出相应不为零的3 点函数的系数 ：,2018/10/8,39,最后得到该五点函数的极点项表达式为：,2018/10/8,40,三点标量圈积分的软发散部分：,例：三点标量圈积分的共线发散部分：,其中:,2018/10/8,41,三点标量圈积分的共线和软发散部分:,其中:,2018/10/8,42,The End,
