1、工程热力学与传热学,传热学第九章 导热,第九章 导热,内容要求1.导热的基本定律（Fourier定律）2.导热微分方程及相应的单值性条件 3.几种最典型的稳态导热问题的分析和求解 重点：一维稳态导热（平壁，圆筒壁，肋片） 了解：二维稳态导热4.非稳态导热及集总热容系统的分析方法5.导热问题的数值求解方法,9-1 导热的理论基础,9-1-1 导热的基本概念,1. 导热（conduction ） 物体的各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、 原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传 递过程。,2. 分类：,温度场（Temperature field）： 在某一时刻，物体内所有各点的温度分布。
2、,单纯的导热只能发生在密实的固体中。,直角坐标系下：,一维稳态温度场 (one dimensional steady state temperature field）,3. 比较,4. 温度梯度（temperature gradient） 是沿等温面法线方向的向量， 其正方向指向温度增加的方向。,温度变化率最大的方向？,9-1-2 导热基本定律,1. 导热基本定律（Fouriers law of heat conduction）,2. 关于Fourier定律的几点说明,（1）物理意义 导热现象中，热流量其大小正比于温度梯度 和截面面积，其方向与温度梯度方向相反。,（2）Fourier定律又称为
3、导热热流速率方程。,向量形式,（3）适用范围： 各向同性物体的稳态导热和非稳态导热。,热流密度：,（4）直角坐标系中热流密度的表示,温度梯度 ：,9-1-3 导热系数（thermal conductivity ）,2. 影响因素：,（2）物体的结构和物理状态（密度，成分，湿度等）,（1）物体的种类,（3）物体的温度,实验指出，对大多数材料, 与 t 呈线形关系； = 0 （1+ b t ) （附表15, P392）,3. 不同物体的导热系数,气体 绝热材料 液体 紫铜黄金铝铂铁等,导电性能好的金属，导热性能也好,耐火材料，建筑材料,绝热材料：平均温度在350以下时导热系数小于 0.12 W/m
4、.K的材料。（GB4272-92） 例如；玻璃纤维，矿渣棉，聚乙烯泡沫塑料。,各向异性材料 导热系数的数值与方向有关。 例如：木材，石墨，晶体等,非金属,值：0.0253.0 W/m.K,影响：温度，材料气孔率，密度，湿度,值：0.070.7 W/m.K,机理：类似于气体，非金属固体,影响因素：温度：大多数液体 t ， （水，甘油除外）,（3）液体,9-1-4 导热微分方程,1. 直角坐标系下的导热微分方程,是描述物体内温度分布的微分关系式。它是根据傅里叶定律和能量守恒定律建立的。,假设：物体各向同性连续介质, ,为常数， 物体有内热源（吸热放热的化学反应， 电阻通电发热等）。,内热源强度v
5、： 单位时间，单位体积的 内热源生成热。,选取微元六面体，应用能量守恒方程,导入微元体的总热流量 din,导出微元体的总热流量 dout,单位时间内热源生成热 dv,单位时间热力学能的增加 dU,因此：, 导热微分方程,当=常数时, 直角坐标系下非稳态，有内热源，常物性的 导热微分方程。,导温系数（热扩散率）,表示了物体传播温度变化的能力。,a的大小取决于和c的综合影响。,对稳态导热：不出现a。 非稳态导热：a的高低，表示温度传播的快慢。,数值范围：油110 -7 银2104 m2/s。,a的定义：,几种简化形式的导热微分方程,导热系数=常数,无内热源V=0,稳态导热,稳态导热，无内热源,2.
6、 圆柱坐标系下的导热微分方程,圆柱坐标系中,导热微分方程,无内热源，稳态，一维导热微分方程,3. 球坐标系下的导热微分方程,球坐标系中,导热微分方程,无内热源，稳态，一维导热微分方程,单值性条件 使导热微分方程获得特解即唯一解的条件。,9-1-5 导热问题的单值性条件,几何条件 物理条件 时间条件 边界条件,1. 几何条件： 参与导热过程的物体的几何形状及尺寸大小。,2. 物理条件： 导热物体的物理性质（）,有无内热源。,3. 时间条件： 导热过程进行的时间上的特点。,稳态导热：无初始条件 非稳态导热：,4. 边界条件： 说明了导热物体边界上的热状态以及与周围环境 之间的相互作用。,第一类边界
7、条件 给出物体边界上的温度分布及随时间的变化规律。,恒壁温边界条件（Constant temp B.C）,第二类边界条件 给出物体边界上的热流密度分布 及其随时间的变化规律。,或：,恒热流边界条件（Constant heat rate B.C）,绝热边界条件（Adiabatic B.C）,绝热边界条件,第三类边界条件 给出与物体表面进行对流换热的流体温度 t f 及 表面传热系数 h。,举例,导热微分方程 单值性条件,第三类边界条件在一定情况下会自动转化为 第一类或第二类边界条件。,总结,第三类 第一类边界条件,第三类 第二类边界条件,h非常大：,h非常小：,1. 描述傅里叶定律的一般表达式，
8、并说明式中各量 和符号的物理意义。2. 白天晒被子，晚上盖时会觉得很暖和，为什么？,例 题,1. 如图，由某种材料组成的大平壁，厚度为0.5m，具有 强度等于 103 w/m3 的内热源。在某一瞬时的温度场为 t=450-320x-160x2。 已知=24.38W/m.k , c=116J/kg.K ,=18070kg/m3。 求（1）x=0m 和 x=0.5m 两处的热流密度； （2）该平壁热力学能的变化速率； （3）x=0m和x=0.5m两处温度 随时间的变化速率。,9-2 稳态导热,9-2-1 平壁的一维稳态导热,1. 第一类边界条件下单层平壁的导热,假设；大平壁=常数，表面积A， 厚度
9、，无内热源，平壁两侧 温度 tw1, tw2，且tw1 tw2,确定:（1）平壁内的温度分布 （2）通过此平壁的热流密度,导热数学模型（导热微分方程+边界条件）,求解微分方程，得通解：,由边界条件，求 C1，C2：,平壁内的温度分布,温度梯度,通过平壁的热流密度,通过平壁的总热流量：,结论,当=常数时，平壁内温度分布呈线性分布， 且与无关。,通过平壁内任何一个等温面的 热流密度均相等，与坐标x无关。,导热热阻（Conductive resistance）,总热阻：,2. 第一类边界条件下多层平壁的导热,按照热阻串联相加原则,（1）热流密度,（2）n层平壁热流密度,3. 第三类边界条件下多层平壁
10、的导热,（1）热流密度,如何求解两侧壁面温度及夹层中间温度？,4. 复合平壁的导热,9-2-2 圆筒壁的一维稳态导热,1. 单层圆筒壁的导热,假设；空心圆筒壁 l，内外径 r1, r2, 且 l d2， =常数，无内热源，内外表面 温度 tw1, tw2，且tw1 tw2,确定：（1）圆筒壁的温度分布 （2）通过径向的热流量,选取坐标系为圆柱坐标,导热数学模型（导热微分方程+边界条件）,求解微分方程，得通解：,由边界条件，求 C1，C2：,圆筒内的温度分布,温度梯度,圆筒壁沿 r 方向的热流密度,通过整个圆筒壁的总热流量,整个圆筒壁的导热热阻,单位长度圆筒壁的热流量,2. 第一类边界条件下，多
11、层圆筒壁的导热,通过多层圆筒壁的总热流量,单位长度的热流量,3. 第三类边界条件下，多层圆筒壁的导热,通过多层圆筒壁的总热流量,单位长度的热流量,（1）一维圆筒壁导热，壁内的温度分布 成对数分布（沿径向）。,（2）圆筒壁的温度梯度沿径向变化。,（3）对稳态导热，通过圆筒壁径向热流密度 不是常数，随r的增加，热流密度逐渐减小， 但通过整个圆筒壁的总热流量不变。,（4）对无内热源的一维圆筒壁导热，单位长度圆筒壁 的热流量是相等的。圆筒壁按单位长度管长而不是 单位面积来计算热流密度。,对比平壁,9-2-3 变导热系数,对大多数材料，可近似认为随 t 线性变化。,温度分布的表达式：,温度分布为二次曲线
12、,温度分布与b的关系？,根据Fourier定律的表达式：,热流密度,或：,既：,1. 图示三层平壁中，若为定值，过程为稳态，试分析 三条温度分布曲线所对应的导热系数的相对大小。,2. 厚度为的单层平壁，两侧温度维持为 t1 和 t2，平板 材料导热系数 （其中a，b为常数）， 试就 b0， b=0， b, 面积A，周长U。温度分布 t=f (x)，一维导热， =常数，表面传热系数h=常数， 忽略肋片端面的散热量。 （端面绝热）,确定（1）肋片的温度分布 （2）通过肋片的散热热流量,分析通过肋片的传热过程,导热数学模型（导热微分方程+边界条件）,引入过余温度：= t - t,相应温度分布：= f
13、 (x),肋片根部 x=0，过余温度 = 0 = t 0 - t,肋片端部 x=H，过余温度 = H = tH - t,肋片单位体积的散热量,微元体散热热流量,微元体的体积,肋片单位体积的散热量,过余温度表示的导热微分方程+边界条件,肋片过余温度的分布函数,说明,肋片的过余温度从肋根开始 沿高度方向按双曲余弦函数 的规律变化。,肋端的过余温度,实际肋端的边界条件可有四种不同的情况：,通过肋片的散热热流量,2. 肋片效率,（1）肋片效率：肋片的实际散热量与假设整个肋片 都具有肋基温度时的理想散热量0之比。,（2）影响肋片效率的因素（图9-20，9-21，P207）,对等截面直肋：,例 题,4.
14、不锈钢实心圆杆的直径为10mm，长0.2m。从 t0=120 的基面上伸出，周围的空气保持 t=20，杆表面与空气 间的表面传热系数 h=25W /(m2.K)。求杆的远端温度和杆 的散热量。并考虑这根杆能否近似当作“无限长”的杆对待。 如果杆的材料换成铜材，上述情况会发生什么变化？,9-2-5 接触热阻（Thermal contact resistance）,接触热阻 Rc,总温差相同时：,主要影响因素：粗糙度，硬度，压力。,减小接触热阻的方法： 施压，加铜箔（银箔），涂导热油等。,9-3 非稳态导热,9-3-1 基本概念,1. 非稳态导热的类型,周期性导热（Periodic unstead
15、y conduction） 瞬态导热（Transient conduction）,2. 瞬态非稳态导热的基本特点,右侧面参与换热和不参与 换热两个不同阶段； 每一个与热流方向相垂直的 截面上热流量处处不相等。,9-3-2 一维非稳态导热问题的分析解,1. 无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介,问题：无限大平壁，2，a，V=0，初始温度t0， 突置流体中 t，且 t t0, h。,确定：温度分布,导热微分方程：,分析 的半个平壁,过余温度表示的导热微分方程：,引入过余温度：= t - t,用分离变量法求解，直接给出求解结果：,无量纲温度分布：,原导热微分方程的温度分布：,简化未知数个数,2. 对
16、分析解的讨论,傅里叶数 Fo对温度分布的影响,（1）定义：,（2）物理意义：,分子：非稳态导热过程从 0 的时间,分母：温度变化波及到2面积的时间,非稳态导热的无量纲时间,（3）傅立叶数对温度分布的影响：,Fo增加时， 逐渐减小，t 越接近于 t。,Fo0.2 时，取级数的第一项作解。,毕渥数 Bi 对温度分布的影响,（1）定义：,（2）物理意义：,（3）Bi对温度分布的影响：,Bi的数值范围：,内部导热热阻 趋于零；,集总热容系统。,外部对流换热 热阻趋于零；,内部导热热阻和 外部对流换热热 阻相当；,第一类边界条件,3. 诺模图（Nomo-chart）,当Fo0.2时，可利用式（9-63）
17、，（9-66），（9-67） 计算物体的过余温度分布。,将式（9-66）,（9-67）绘制成线算图诺模图。,诺模图的使用方法：,9-3-3 特殊多维非稳态导热的简易求解方法,一维非稳态导热温度分布：,多维非稳态导热温度分布：,数值计算方法； 特殊几何形状物体简易求解。,无限长方柱：,短圆柱：,垂直六面体：,9-3-4 集总参数法的简化分析,毕渥数 Bi,（1）定义：,（2）物理意义：,（3）Bi的数值范围：,集总热容系统,集总参数法（Lumped parameter analysis method）： Bi0.1时，物体内部的导热热阻远小于外部对流换热 热阻，忽略物体内部导热热阻的简化分析方法
18、。,物体内部温度分布：,分析： Bi0.1,导热系数相当大 几何尺寸相当小 表面传热系数h很小,1. 物体在冷却过程中温度随时间的变化规律,根据能量守恒：,引入过余温度：,求得温度分布：,说明,（1）采用集总参数法，过余温度分布随 时间呈 指数规律衰减。,（2）关于特征长度的选取：,一般形状物体： 厚度为2的无限大平壁： 半径为R 的圆柱： 半径为R的圆球： 边长为b的立方体：,（3）判断是否采用集总参数法的依据：,其中；无限大平壁 M=1，无限长圆柱 M=1/2，球 M=1/3。,2. 时间常数c,当 时，,3. 瞬时热流量及总换热量,（1）瞬时热流量Q,（2）总热流量Q,例 题,5. 有一直径为5cm的钢球，初始温度为450，被突然 置于温度为30的空气中。设钢球表面与周围流体间 的总换热系数为24W/（m2.K），试确定钢球冷却到 300所需的时间。（已知钢球的=7753kg/m3, cp=0.48kJ/（kg.K），=33W/（m.K）,
