1、第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷（本题共七大题，满分160分）一、（20分）如图所示，一块长为L1.00m的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期T2.00s。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为h9.80m。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度u0，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰
2、撞而且只发生一次碰撞，u0的值应在什 g9.8m/s2。一、参考解答：如 小球的水平速度 大，它与平板的 一次碰撞正好发生在平板的边缘Q ， 时的值 满 题中条 的 大值 如 小球的水平速度 小，在它与平板发生 一次碰撞 次接 平板时， 好从平板的边缘Q 过而不与平板接 ， 时的值 满 题中条 的 小值 小球从台面水平抛出到与平板发生 一次碰撞 的时间为， （1）碰撞正好发生在Q ， （2）从（1） （2）两的值 满 题中条 的 大值，（3） currency1（4）如 ，小球与平板的碰撞 “不在Q 小球 一次 要与平板碰撞时在竖直方向的速度为， （5）以 分示碰撞fifl时 小球平板竖直方向
3、的速度，碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球平板在竖直方向的动量 小球平板的质量 m， （6）为碰撞 弹性的，且平板 光滑的，能量 可（7）（6） （7）两，（8）（9）碰撞 ，平板从其平衡位置以为速度” 振动 固定 ，其O与平板 平衡位置时板的上面中重，x的方向竖直向下， 以小球平板发生碰撞的时 为， 平板在t时 离”平衡位置的位（10）中（11）A 两定的量， 方，在t时 平板振动的速度（12）时， ，（9） （11） （12）可（13）（14）（13） （14）（10），（15）碰撞 ，小球”平抛运动 如 一次碰撞 ，小球 过时间与平板发生 次碰撞且发生在 Q， 在发生 次碰撞时，小球的x
4、为（16）平板的x 为（17）在碰撞时， （18）（16） （17） （18）， currency1（19）满 的方程， 过currency1值计 方程可（ currency1值 ）（20） 如 次碰撞正好发生在平板的边缘Q ， （21）（1） （20）（21）（22）而满 题中要的u0的 小值应大（22）给出的值 以上 ，u0的 值 0.46m/s u0 0.71m/s （23）（19）的currency1值currency1值 要不 currency1值， 所值， 如下 0.730 0.750 0.760 0.765 0.770 0.771 0.772 0.775 0.780 0.790
5、0.8103.31 3.12 3.02 2.96 2.91 2.91 2.90 2.86 2.81 2.70 2.482.61 2.76 2.83 2.87 2.91 2.91 2.91 2.94 2.98 3.06 3.210.70 0.36 0.19 0.09 0 0 -0.01 -0.08 -0.17 -0.36 -0.73二、（25分）图中所示为 性 AB BC CD连成的平面连 fi构图。ABCD 可分 过A D的 直 面的固定动，A D两位 一水平上。BC 的两端分与AB CD 相连，可 连接 动（ ）。 AB A以定的速度到图中所示的位置时，AB 竖直位置。BC 与CD 与水平方
6、向成45，已知AB 的长度为l，BC CD 的长度图给定。 时C 速度aC的大小方向（ 与CD 之间的示）二、参考解答：一为B A 周运动，其速度的大小为（1）B的向 速度的大小为（2）为 速动，B的 向 速度为0， B的 速度，其方向BA方向 为C D 周运动，其速度的大小 示，方向 直 CD，在 的时 ，图可知，其方向 BC方向 BC 性 ，所以BCBC方向的速度相等， （3）时 CD D时方向动，C的向 速度（4）图可知，（3） （4）（5）其方向CD方向 下面 分 C 直 CD方向的 速度， 向 速度 为BC 性 ，所以C相 B的运动只能 B的动，C相 B的速度方向 直 BC 示其速度
7、的大小，根速度成公 几何系（6）C B 周运动，相 B的向 速度（7）为， （8）其方向 直 CD.（2）及图可知，B的 速度BC 的分量为（9）所以C相 A（或D）的 速度 直 CD方向的分量（10）C的总 速度为C D 周运动的向 速度与 向 速度的 速度，（11）的方向与 CD间的（12） 过微商C 速度以固定A为一直 系Axy，Ax与AD重，Ay与AD 直 任意时 t，连 的位 如图所示， 时各 的位置分 ，示，且已知，C 示为（1）（2）“（1） （2） 时间t一阶微商，（3）（4）（3） （4） 时间t一阶微商，（5）（6）根几何系， （7）（8）“（7） （8）平方 相 且化，（
8、9）（9） 时间t一阶微商，（10）（9） 时间t阶微商，并上述currency1，（11）“（10） （11）以及，的currency1值（5） （6），所以aCl2 （12）图知，与x的为（13）所以在 象限，为，aC与CD的80.54 （14）三、（20分）如图所示，一容器左侧装 活门K1，右侧装 活塞B，一厚度可以忽略的隔板M“容器隔成a b两室，M上装 活门K2。容器 隔板 活塞及活门 绝热的。隔板活塞可 销钉固定，拔掉销钉可在容器 左右平，动时不受摩擦 且不漏气。整容器置压强为p0 温度为T0的大气中。时“活塞B 销钉固定在图示的位置，隔板M固定在容器PQ ，使a b两室体积等V0
9、 K1 K2闭。时，b室真空，a室装 一定量的空气（容器 外气体种相 ，且均可视为理想气体），其压强为p0，温度为T0。已知1mol空气温度升高1K时 能的增量为CV，普适气体量为R。（1）现在打”K1，容器 外压强相等时迅速闭K1（假定 过程中 在容器 的气体与 在容器外的气体之间无热量交换），达到平衡时，a室中气体的温度。（2）接着打”K2，a b两室中气体达到平衡 ，闭K2。拔掉所 销钉，缓慢推动活塞B直至到过容器的PQ位置。在推动活塞过程中，隔板 a室气体所的功。已知在推动活塞过程中，气体的压强p与体积V之间的系为量。三、参考解答：（1） a室中 气体为，打”K1 ， 一部分空气进a室
10、，直到K1闭时，a室中气体增 到， a室中增 的气体在进容器前的体积为，气体进a室的过程中，大气 部分气体所的功为（1）T 示K1闭 a室中气体达到平衡时的温度， a室中气体 能增 量为（2）热力学 一定律可知（3）理想气体状态方程， （4）（5）（6）以上各出TT0 （7）（2）K2打” ，a室中的气体向b室自膨胀，系统绝热又无外界做功，气体 能不变，所以温度不变（仍为），而体积增大为 的2倍 状态方程知，气体压强变为（8）闭K2，两室中的气体状态相 ，且 （9）拔掉销钉 ，缓慢推动活塞B，压缩气体的过程为绝热过程，达到 终状态时， 两室气体的压强 体积温度分为 ， （10）（11）隔板与容
11、器 壁无摩擦， （12）理想气体状态方程， （13）（14）（15）（8）（15）可（16）（17）在推动活塞压缩气体 一绝热过程中，隔板 a室气体的功W等a室中气体 能的增 ，（18）（6） （17）（18）W（1）p0V0 （19）四、（25分）图中Oxy 位水平光滑桌面上的直 系，在x0的一侧，存在 强磁场，磁场方向 直Oxy平面向里，磁感应强度的大小为B。在x 0的一侧，一边长分为l1l2的 性矩 超导框位桌面上，框 无电流，框的一 边与x平行。框的质量为m，自感为L。现让超导框x方向以速度v0进磁场区域，试定量地 框以 可能发生的运动情况及与速度v0大小的系。（假定框在运动过程中终保
12、持超导状态）四、参考解答：某一时 框在磁场区域的深度为x，速度为，框的一条边 割磁感应产生的感应电动势为，它在框中引起感应电流，感应电流的变化又引起自感电动势 框的电动势电流的正方向均为时方向， 割磁感应产生的电动势与 定的正方向相反，自感电动势与 定的正方向相 .框 超导状态，电阻， （1）（2）或（3）（4）可 与x成性系， （5）C为一定currency1，注意到时，可， （6）时，电流为负值示框中电流的方向与 定的正方向相反，在框进磁场区域时右侧边的电流实际流向 向上的 外磁场 框的安培力（7）其大小与框位x成正 ，方向与位x相反，具 弹性力 的性质 下面分两种情 做进一 分 （i）框
13、的速度 小，在安培力的 下， 它的速度 为0时，整框未 部进磁场区， 时在安培力的 下，框“反向运动， 出磁场区 框一进一出的运动 一 振动的 周期 的运动，振动的 （8） 周期（9）振动的振 可能量系， 示框速度 为0时进磁场区的深度， 时框的动能 部换为 弹性力 的 弹性势能 ，能量 可（10）（11）其运动方程为， t从0到 （12）周期 ，框 出磁场区，“以速度向左 速运动 为在 种情况下的 大值 ，（13） 可知，发生 （i）种情况时，的值要满 下 （14）（ii） 框的速度 大，整框能 部进磁场区 框 进磁场区时，其速度仍大0，要满 下（15）框的速度满 （15）时，框能 部进磁场
14、区，在 部进磁场区域以前，框的运动方程与（12）相 ， 位区间 到，所以时间间隔与（12）不 ，而 从0到（16） 为框的总电动势总 为0，所以一 框 部进磁场区域，框的两条边 割磁感应，所产生的电动势之为 0，而自感电动势 为0 框中 持 大的电流，磁场 框两条边的安培力的力等 ，框“在磁场区域 速前进，运动的速度可下 定v（17）五、（25分）地球 面 的重力 速度为g09.8m/s2，磁场的磁感应强度的大小B03.010-5T，方向 向 。 上空的磁感应强度的大小与r3成反 （r为 到地 的距离），方向与 的磁场方向平行。假 在 上空离地 的距离r5Re（Re为地球 ） ，存在厚度为10
15、km的等currency1量的质 电 的等离 （ 磁场可视为 强磁场）， 种 的currency1 度 ， 电 的相 可以忽略不计。已知电 的质量me9.110-31kg，质 的质量mp1.710-27kg，电 电 量为1.610-19C，地球的 Re6.4106m。（1）所 的等离 中的电 质 一方面无 运动， 一方面受地球引力磁场的共 成位 平面 的 地 的行电流，试 行电流的电流 度。（2）现 想等离 中所 电 质 ，它速度的方向向地 ，电 速度的大小ue1.4104m/s，质 速度的大小up3.4102m/s。试 过计 电 质 不可能到到达地球面。五、参考解答：解法一：1.等离 的厚度
16、小地球的 ，在所 的等离 区域 的引力场磁场可视为 强场.在currency1区域 磁场的磁感应强度（1）引力 速度（2） 等离 中的某一质量为m 电 量为q 速度为u的 ， 所在 为 O，一直 系Oxyz，Ox向地球中 ，Oz磁场方向，如图1所示.currency1 的速度在 系中的 分量分为ux uyuz. 的引力x正方向， 的“力与z 直， 在z方向不受力 ，z的分速度保持不变. 现 想在”时 ， 给 一y正方向大小为v0的速度， 时 给 一y负方向大小为v0的速度，要与其中一v0相系的“力正好与所受的地球引力相平衡，（3）v示ux与y的速度的速度（ 质 正， 电 负）， （4）fi，所
17、 的 的速度可分为 部分 z的分速度 其大小方向保持不变， 不 的 不 的，fl等离 中 的无 运动的速度分量 y的速度 正电的 ，速度的方向y的负方向， 负电的 ，速度的方向y的正方向 与 速度系的“力正好引力 ， “以速 y运动 （3）可知，的大小定的，与 的速度无，且 种的 相 在平面 的速度 与 速度系的“力使 在平面 速 为的 速 周运动， 以R示 周的 ， （5）（4） （5）可知，轨 不与 的质量 ，而且与 的速度的x分量y分量 周运动的速度方向 时间变化的，在 周运动的一周期 的平均速度等0 可 ，等离 电 质 的运动 相 ， 具 （3）给出的速度，其方向 直 所在 的地球引力
18、方向， 电 ，方向向， 质 ，方向向。电 质 种运动”为运动， 应的速度”为速度 运动 的定向运动，电 质 的定向运动 成 地球中 的 电流 （3）（1） （2）两以及 currency1可电 质 的速度分为（6）（7）电 质 速度的方向相反，电 ，它产生的电流方向相 ，均为度向.根电流度的定 （8） currency1j2.810-14A/m2 （9）电流 度的方向度向.（2）上一小题的 ， 在平面 周运动，运动的速 （4）给出，它与 的速度 速度方向向地 的 ， 周运动的速 为（10）（1） （2） （3） （5） （10）各并题给的 currency1可电 质 的轨 分为（11）（12）
19、以上的计 ， 具 引力方向的速度， 受到磁场的 ，电 质 在地球 方向的 大下距离分为，小等离 的厚度，所 的电 质 仍在等离 运动，不 到地面上. .1.等离 的厚度小地球 ，在所 等离 区域 的引力场磁场可视为 强场.在currency1区域 磁场的磁感应强度（1）引力 速度（2） 等离 中的某一质量为m，电 量为q 速度为u的 ， 所在 为 O，一直 系Oxyz，Ox向地球中 ，Oz磁场方向，如图1所示.currency1 的速度在 系中的 分量分为ux uyuz. 以 示 在任意时 t的速度在x方向 y方向z方向的分速度， 电在引力“力的共 下的运动方程为（3）（4）（5）（5），所
20、的速度在z上的分量保持不变，（6）变量换， （7）其中（8）（7） （8）（3） （4） （9） （10）（9） (10) 两可知， 的力在xy方向的分量分为示的方向与x的，示的方向与x的，而， 可 ，的方向与的方向 直， “在的 下在平面 速 为的 速 周运动 以R示 周的 ， （11）在 速 周运动中，V的大小 不变的，任何时 V的值 时 V的值，（7）已知条 在时 （12）以上 ， 的运动可分成 部分 根（6），可知 z的分速度大小方向保持不变， 不 的 不 的，fl等离 中 的无 运动的速度分量 根（7）可， 在平面 以速 周运动的 时，又以速度y运动 周运动速度的x分量y分量 周运动
21、的轨 不与 的质量 ，而且与 的速度的x分量y分量 周运动的速度方向 时间变化的，在 周运动的一周期 的平均速度等0 y的速度（8）给出，其大小 定的，与 的速度无， 种 相 ， 正电的 ，其方向y的负方向， 负电的 ，其方向y的正方向 可 ，等离 电 质 相 ， 具 （8）给出的速度，其方向 直 所在 的地球引力， 电 ，方向向， 质 ，方向向 电 质 种运动”为运动应的速度”为速度 运动 的定向运动，电 质 的定向运动 成 地球中 的 电流 （8）（1） （2）两以及 currency1可电 质 的速度分为（13）（14）电 质 速度的方相反，电 ，它产生的电流方向相 ，均为度向.根电流
22、度的定 （15） currency1（16）电流 度的方向度向.2 上一小题的 ， 在平面 周运动，运动的速 （12）给出，它与 的速度 速度方向向地 的 ， 周运动的速 为（17）题给出的电 与质 的速度 不 的，电 质 的质量又 不 的，电 质 在平面 周运动的 不 的 （1） （2） （8） （11） （12）各并 currency1可电 质的轨 分为（18）（19）以上的计 ， 具 引力方向的速度， 受到磁场的 ，电 质 在地球 方向的 大下距离分为2Re0.66m2Rp29.6m，小电离 的厚度，所 的电 质 仍在等离 运动，不 到地面上.六、（25分）图1所示为 实的示意图， 面为yz平面。y z的方向如图所示。光 S 过z，S1 S2 ”分在z两侧，它以及P 直 面。间的距离为d，光 S到的距离为l，到的距离为D，dD，dl
