1、数学义务教育的“四基”及小学案例解读,南开大学 顾 沛 2013年7月3日 河北省教科所 石家庄,1,2,2012年起，进入课程改革的一个新时期,2011年12月28日，教育部颁布了义务教育数学课程标准（2011年版）在内的19种课程标准。 为落实课程标准，教育部强调：组织开展 全员学习和培训，全面理解、深刻领会、准确把握修订后课程标准的精神实质和主要变化。根据修订后印发的各学科课程标准，组织教科书的修订和审查工作。2012年秋季已在所有起始年级使用新教材。其他年级也要依据新课程标准组织教学，改进评价方法。加强组织领导，统筹规划，全面部署新课程标准的学习、宣传、培训和教研工作，确保新课程标准的
2、全面落实。 （ 教基二司20119号文，2011年12月28日 中国教育报 2012年2月8日 CCTV 1 新闻直通车 2月12日 ）,3,媒体的报道,4,课程标准是国家的法定文件，应该特别重视。我国基础教育现在实行“一标多本”的教材建设和选用制度，“课标”的地位和重要性远远高于各出版社出版的教材。希望教师养成经常研读“课标”的习惯。教师备课，应该避免“重教材，轻课标”的情况；看课程标准，应该避免“重内容部分，轻理念部分”的情况。教任何一个年级的教师，都应该尽量了解教学全局，包括数学课程的教学全局，也包括语文、科学等课程的相关情况。教材，由于编写和审定需要时间，一本一本地逐年出版，教师难以胸
3、有全局，其实弊病很大。课程标准对于教学内容，是按照学段表述的，不是按照年级表述的。天津市和平区的小学教研，从2011年10月开始布置“教师说课标”活动，一直延续至2012年6月，是很好的措施。,5,报告的提纲,一、数学基础教育的“双基”如何发展为“四基”二、小学教学中“数学思想”与“数学活动”的案例三、小学数学若干节课举例（听课、评课）四、教学建议,6,一、数学基础教育的“双基”如何发展为“四基”,7,数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”,8,数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”,9,数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”（顾沛，数学教育学报2012年第1期）,一、“双基”为什
4、么要发展为“四基”二、关于数学的“基本思想”三、关于数学的“基本活动经验”四、“四基”是一个有机的整体,10,一、“双基”为什么要发展为“四基”,“双基”发展为“四基”，在课标中的表述为：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。” “知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观” 三维目标结合数学学科的特点的具体化。,11,“双基”的历史贡献应该肯定。但是，对于“双基”的内容，即对于什么是学生应该掌握的“基础知识”和“基本技能”，在“知识爆炸”的时代，在现代信息技术突飞猛进的时代，在获取知识、技能的渠道大大增
5、加的时代，应该与时俱进。过去提到数学的“双基”时，通常是指：数学的基本概念、基本公式、基本运算、基本性质、基本法则、基本程式、基本定理、基本作图、基本推理、基本语言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等。,12,许多年来，“双基”概念一直在发展中深化。至2000年，中华人民共和国教育部制定的九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试验修订版）中的表述，数学“基础知识是指：数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。基本技能是指：能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理。” 并且，“双基”在此已经是与思维能力、运算能力、空间观念等相互联系表
6、述的。 在“知识爆炸”的时代，对于过去数学“双基”的某些内容，如繁杂的计算、细枝末节的证明技巧等，需要有所删减；而对于估算、算法、数感、符号意识、收集和处理数据、概率初步、统计初步、数学建模初步等，又要有所增加。这就是数学“双基”内容的与时俱进。,13,为什么有了“双基”还不够，现在还要增加两条，成为“四基”？第一，因为“双基”仅仅涉及上述三维目标中的一个目标“知识与技能”。新增加的两条则还涉及三维目标的另外两个目标“过程与方法”和“情感态度与价值观”。第二，因为某些教师有时片面地理解“双基”，往往在实施中“以本为本”，见物不见人，而教育必须以人为本，新增加的“数学思想”和“活动经验”就直接与
7、人相关，也符合“素质教育”的理念。第三，因为仅有“双基”还难以培养创新性人才，“双基”只是培养创新性人才的一个基础，但创新性人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养，获得数学思想和数学活动经验等也十分重要，这就是新增加的两条。,14,二、关于数学的“基本思想”,数学课程固然应该教会学生许多必要的结论，但绝不仅仅以教会这些定理、公式和计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。数学思想是数学科学发生、发展的根本，也是数学课程教学的精髓。但是，课标在这里并没有展开阐述“数学的基本思想” ，这就给我们留下了讨论的空间。而且由于它过去并没有被充分地讨论过，所以可能仁
8、者见仁，智者见智，不同的学者可能会有不完全一样的说法。我这里也谈谈自己不成熟的观点，与大家交流。,15,数学思想的内涵和外延都很丰富，通俗地说，例如有从数学角度看问题的出发点，把客观事物简化和量化的思想，周到、严密、系统地思考问题，以及建立数学模型的思想，合理地运筹帷幄，等等。一个人进入社会后，如果不是在与数学相关的领域工作，他学过的数学定理和公式可能大多都用不到，而在学习数学知识的过程中获得的这些数学思想却一定会使他终生受益；虽然有些人对此是有意识的，有些人是无意识的。“课标”在这里的措词为数学的“基本思想”，而不是数学的“基本思想方法”，我以为，这是明智的、恰当的，因为“思想方法”可能更多
9、地让人联想到具体的“方法”，如换元法、代入法、配方法，层次就降低了，且冲淡了“思想”这个关键词。并且，其实双基中已经含有数学的这些具体方法。,16,数学的基本思想，主要可以有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以丰富和发展；通过数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的社会效益，又反过来促进了数学科学的发展；通过数学审美，看到数学“透过现象看本质”、“和谐统一众多事物”中美的成份，感受到数学“以简驭繁”、“天衣无缝”给我们带来的愉悦，并且
10、从“美”的角度发现和创造新的数学。,17,当然，由上述数学的“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。例如由“数学抽象的思想”派生出来的可以有：分类的思想，集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。例如由“数学推理的思想”派生出来的可以有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，运筹的思想，算法的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。例如由“数学建模的思想”派生出来的可以有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等。例如由“数学审
11、美的思想”派生出来的可以有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想，等等。,18,举例说，“分类的思想”和“集合的思想”可以是这样由“数学抽象的思想”派生出来的：人们对客观世界进行观察时，常常从研究需要的某个角度分析联想，排除那些次要的、非本质的因素，保留那些主要的、本质的因素，一种有效的做法就是对事物按照其某种本质进行分类，分类的结果就产生了“集合”。把它们上升到思想的层面上，就形成了“分类的思想”和“集合的思想”。,19,在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了“数学方法”。数学方法也是具有层
12、次的。处于较高层次的，例如有：逻辑推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法，等价变形的方法，分情况讨论的方法，等等。低一些层次的数学方法，还有很多。例如有：分析法，综合法，穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方法，列表法，图像法，等等。,20,数学方法不同于数学思想“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的；而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应
13、该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。,21,三、关于数学的“基本活动经验”,数学教学，本质上是师生共同进行数学活动的教学，所以学生获得相关的活动经验当然应该是数学课程的一个目标。特别是，其中有些精神“只能意会，难以言传”，必须要学生自己在亲身经历的过程中获得经验；有些内容虽能言传，但是如果没有学生在数学活动中亲身体会，理解也难以深刻。但是，课标并没有展开阐述“数学的基本活动经验” ，这也给我们留下了讨论的空间。我在这里也谈谈自己不成熟的观点，与大家交流。,22,什么是数学活动经验？我以为，“活动经验”与“活动”密不可分，所说的“活动”，当然要有“动”，手动、
14、口动和脑动。它们既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动，也包括与数学课程相联系的学生实践活动；既包括生活、生产中实际进行的数学活动，也包括数学课程教学中特意设计的活动。“活动”是一个过程，因此也体现出，不但学习结果是课程目标，而且学习过程也是课程目标。,23,其次，“活动经验”还与“经验”密不可分，当然就与“人”密不可分。学生本人要把在活动中的经历、体会总结上升为“经验”。这既可以是活动当时的经验，也可以是延时反思的经验；既可以是学生自己摸索出的经验，也可以是受别人启发得出的经验；既可以是从一次活动中得到的经验，也可以是从多次活动中互相比较得到的经验。特别关键的是，这些“经验”必须转化和
15、建构为属于学生本人的东西，才可以认为学生获得了“活动经验”。应该注意的是，所说的“活动”都必须有明确的数学内涵和数学目的，体现数学的本质，才能称得上是“数学活动”，它们是数学教学的有机组成部分。教师的课堂讲授、学生的课堂学习，是最主要的“数学活动”，这种讲授和学习，应该是渐进式的、启发式的、探究式的、互动式的。此外，还有其他形式的“数学活动”，例如学生的自主学习，调查研究，独立思考，合作交流，小组讨论，探讨分析、参观实践，以及作业练习和操作计算工具，等等。,24,还应该强调的是，学生在进行“数学活动”的过程中，除了能够获得逻辑推理的经验，还能够获得合情推理的经验。例如，根据条件“预测结果”的经
16、验和根据结果“探究成因”的经验。这两种经验对于培养创新人才也是非常重要的。数学活动的教育意义在于，学生主体通过亲身经历数学活动过程，能够获得具有个性特征的感性认识、情感体验、以及数学意识、数学能力和数学素养。,25,让学生获得“数学活动经验”，还能够培养学生在活动中从数学的角度思考问题，直观地、合情地获得一些结果，这些是数学创造的根本，是得到新结果的主要途径。数学活动经验并不仅仅是实践的经验，也不仅仅是解题的经验，更加重要的是思维的经验，是在数学活动中思考的经验。因为，创新依赖的是思考，是数学活动中创造性的思维。而思维方法是依靠长期活动经验积累获得的，思维品质是依靠有效的、多方面的数学活动改善
17、的，并不是仅仅依靠接受教师的传授获得的。爱因斯坦说：“独立思考是创新的基础”。获得数学活动经验，最重要的是积累“发现问题、提出问题”的经验，以及“分析问题、解决问题”的经验，总之，是“从头”想问题、思考问题、做问题全过程的经验。,26,学生形成智慧，不可能仅依靠掌握丰富的知识，一定还需要经历实践及在实践中取得经验。数学思想也不仅在探索推演中形成，还需要在数学活动经验积累的基础上形成。,27,数学的基本活动经验可以按不同的标准分成若干类型。比如，有的学者把它分为如下四种： 直接的活动经验，间接的活动经验，设计的活动经验和思考的活动经验。直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中所获得的经
18、验，如购买物品、校园设计等。间接的活动经验是学生在教师创设的情景、构建的模型中所获得的数学经验，如鸡兔同笼、顺水行舟等。设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获得的经验，如随机摸球、地面拼图等。思考的活动经验是通过分析、归纳等思考获得的数学经验，如预测结果、探究成因等。学生只有积极参与数学课程的教学过程，经过独立思考，经过探索实践，经过合作交流，才有可能积累数学活动经验。,28,课标中还专门设计了“综合与实践”的课程内容，强调以问题为载体，让学生在综合运用知识、技能解决问题的实践中获得数学活动经验。在学生积累和获得数学的基本活动经验的过程中，就必然有情感态度与价值观的提升。这样，“四
19、基”就全面体现了纲要中“三维目标”的要求。,29,四、“四基”是一个有机的整体,“四基”虽然是由四个部分构成的，但“四基”不应仅仅看作是四个事物简单的叠加或混合，而应是一个有机的整体，是互相联系、互相促进的。,30,基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要花费较多的课堂时间；数学思想则是数学教学的精髓，是统领课堂教学的主线；数学活动是不可或缺的教学形式与过程。“四基”既然比原来增加了两条，教师在课堂教学的安排上就应该有意识地给数学思想的教学预留适当的时间；但是数学思想的教学不能空洞地进行，一定要以数学知识为载体进行，并且应该注意将数学知识与数学思想融为一体，因势利导，水到渠成，画龙点睛；教
20、师在讲解数学思想时，应该避免“两层皮”，避免生硬牵强，避免长篇大论。在课堂数学活动的时间安排上，大量的应该是教师启发式传授和学生在教师指导下独立思考、自主探究的时间；其他形式的数学活动也应安排适当的时间。此外，“四基”既然比原来增加了两条，那么，在教学评价上也应该给数学思想和数学活动以适当的位置和空间。,31,二、小学教学中“数学思想”与“数学活动”的案例,学习数学思想积累数学活动经验提高数学素养十分重要,小学、中学和大学，学习内容不同，但 这一点是共同的。,33,小学的案例,课标（2011年版）中若干案例（原序号）该案例怎样展开数学活动该案例渗透什么数学思想该案例还体现课标的 其他哪些方面,
21、34,基础教育课程上发表的文章（小学、初中）,35,第一学段,例1 用算盘上的算珠表示三位数。 配合教具、学具的数学活动；计数与记数 符号表示的思想；实物的“位置制”（513）,36,例6.学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元，带8000元钱够不够？解决简单实际问题的活动；渗透简化的思想；估算的方法； 第一学段学习估算的核心，是结合具体情境选择合适的单位，而不是“近似计算”，不是“四舍五入，凑整计算”。,37,例8. 估计每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。设计的数学活动；指导学生实际测量解决问题的多种策略；渗透优化的思想,38,例10 在下面的图1中，
22、描出横排和竖排上两个数相加等于10 的格子，再分别描出相加等于6，9的格子，你能发现什么规律。 设计的、自主探索的活动； 渗透数形结合的思想； 渗透函数的思想； 渗透数学审美的思想； 情感态度和价值观（从简单的情形入手，都是直线！）,图1,例17 分别选择三个不同的标准把全班同学分为两类，记录调查结果。 调查、记录、分类的活动； 积累思考的活动经验 渗透分类的思想；统计的思想 培养从数据出发的观念,40,例18 新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。 调查、记录、整理数据的活动； 设计的数学活动，鼓励学生讨论收集数据的方法（每一提案举手；填调查表；罗列全部提案表决）；
23、按照约定决定购买水果的方案；积累直接的活动经验 渗透数据分析的思想； “统计”无对错，但是要符合最初设定的原则。,41,例19 对全班同学的身高进行调查分析。 指导学生把身高的数据保留下来； 积累直接的活动经验 渗透数据分析的思想；情感态度和价值观 养成保存资料的习惯；在数学活动中体会数学思维和数学精神。,42,在三个学段，标准都举了对全班同学的身高进行分析的例子，并且鼓励学生把每年测量身高的数据都保留下来，根据不同学段的特点对于数据进行整理、描述和分析，提取信息，从而经历数据分析的过程。具体阐述和要求如下。 三个学段中对于数据分析过程的例子第一学段（课标例19）：对全班同学的身高进行调查分析
24、。 说明 学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，养成保存资料的习惯。在第一学段，主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。第二学段（课标例38）： 对全班同学的身高的数据进行整理和分析。 说明 在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析。在这个学段中，要求学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度
25、段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。第三学段（课标例70）： 比较自己班级与别的班级同学的身高状况。,43,例20 （扣子）图形分类。 图6设计的数学活动，鼓励学生讨论分类的标准（扣子的颜色、形状、扣眼个数）；积累思考的活动经验 分类的思想；集合的思想,44,说明 本活动适合于本学段的各个年级，可以在要求上有所区分。本活动的目的是希望学生能够清楚，分类是要依赖分类标准的，例如扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准，而在不同的分类标准下
26、分类的结果可能是不同的。本活动将有利于培养学生把握图形的特征、抽象出多个图形的共性的能力。另一方面，活动还要求学生运用文字、图画或表格等方法记录对扣子进行分类后的结果，这有利于培养学生整理数据的能力。,45,教师在此活动的教学中可以作如下设计：（1）教师提出问题，引导学生讨论分类标准。可以启发学生这样思考：先关注一个指标作为分类标准，如先关注颜色；在此基础上，再进一步关注两个指标作为分类标准，如进一步关注颜色和形状；最后再关注颜色、形状和扣眼数。这样可以避免出现混乱。（2）根据已经讨论确定的分类标准对学生分组，引导学生实际操作，合作完成计数；各小组呈现统计结果。（3）教师组织学生报告统计结果，
27、引导学生作出评价，帮助学生整理思路。,46,47,（扣子分类问题的延伸）,按不同的标准分类，结果不同；兼用两种标准分类；兼用两种标准分类，顺序不同，注意其结果；再兼用两种标准分类，顺序不同，注意其结果；猜测规律 交换率；验证规律 穷举法；规律能否推广 任何两个独立的指标，在“运算”时都满足 交换率？试验推广的规律 按行和列两个独立的指标加方表中的数；找出不独立的两个指标的情况 平面的旋转和平移； 灌水和烧水,例21 生活中的轴对称图形。 组织学生收集生活中的轴对称图形，尝试画出它们的对称轴。积累直接的活动 经验、思考的活动经验； 渗透对称的思想；数学审美的思想； 情感态度和价值观的提升,48,
28、例22 上学时间。让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信息。 积累直接的活动经验； 渗透数据分析的思想；随机的思想 数据较多时的稳定性，从中可以得到很多信息； 培养学生认真做事的习惯。,49,第二学段,例24 某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生，例如，200903321表示“2009年入学的三班的32号同学，该同学是男生”。那么，201004302表示什么？ 积累直接的活动经验、思考的活动经验； 渗透符号意识；数据分析的观念 数，具有表示的作用，可以表示数量（基数），也可以表示顺序（序数），还可以用来测量、计算和命名。（数感！）,50,
29、例26 李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？ 结合生活情境，选择合适的方法，进行估算活动，解决简单的问题。 渗透简化的思想，估算的思想 估算的方法：选取合适的单位；适当放大或者适当缩小。,51,例28 利用计算器计算1515，2525，9595，并探索规律。 运用计算工具的活动，通过设计的活动探索规律， 积累思考活动的经验； 渗透“变中有不变”的思想1515=225=12100+25，2525=625=23100+2
30、5，3535=1225=34100+25， ,52,例29 彩带每米售价3.2元，购买2米，3米，10米彩带分别需要多少元？在方格纸上把与数对（长度，价钱）相对应的点描出，并且回答下列问题：（1）所描的点是否在一条直线上？（2）估计一下买1.5米的彩带大约要花多少元？（3）小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍？设计的数学活动，积累自主探索的活动经验； 渗透数形结合的思想（几何直观）；数学审美的思想,53,“数”和“形”是数学中最基本的两个概念，数学家华罗庚先生说“数无形时不直观，形无数时难入微”，这就是数形结合思想。在分数的教学中，我们常用饼形图帮助学生理解分数的含义；而在有理
31、数的教学中，我们需要借助数轴表示相反数、理解绝对值的意义、比较有理数大小，表示不等式组的共解集等。在平时的教学中，教师要对具体的数学知识进行深入的分析，挖掘这部分内容蕴涵的数学思想，进行反复渗透，提高学生的认识水平。,54,例30 联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？ 间接的数学活动；积累思考的活动经验； 渗透数学模型的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想,55,AAABBCAAABBC,例31 一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？ 设
32、计的数学活动；积累思考的活动经验； 渗透数学推理的思想；归纳的思想，符号表示的思想，数学模型的思想 探索规律的观念；由简至繁的方法；解决问题多种策略椅子数 凳子数 腿的总数 16 0 416=64 15 1 415+31=63 14 2 414+32=62 ， 模型：由416 60 = 凳子数 推知 4（椅子和凳子的总数） 腿的总数 = 凳子数 （扩展：鸡兔同笼）,56,数学模型的思想,事实上，这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学段讨论过的方法是基于四则运算，到第三学段还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。启发学生从不同的角度思考同一个问题，有利于学生进行比较，加深对于模型
33、的理解。 例51题目与例31完全一样，但是有方程语言的阐述；可以让学生比较解决问题的不同策略。,57,例32 观察下图（图8）： 请指出从前面、右面、上面看到的相应图形（图9）： 设计的数学活动；积累思考的活动经验； 渗透空间观念 （先想后看）,58,例34 测量一个土豆的体积。 设计的数学活动，指导学生实际测量； 积累思考的活动经验； 渗透转换的思想；简化的思想； 体现化繁为简的方法、等量替换的方法,59,例35 图画还原。 打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤。 图11设计的数学活动；积累思考的活动经验（由简至繁）渗透空间观念；符号表示的思想 （
34、记录几何运动）,60,例37 小青坐在教室的第3行第4列，请用数对表示，并在方格纸上描出来。在同样的规则下，小明坐在教室的第1行第3列应当怎样表示？ 直接的数学活动；积累思考的活动经验 渗透数形结合的思想，一一对应的思想 坐标法（渗透）,61,例38 对全班同学身高的数据进行整理和分析。 指导学生讨论并且明确画各种统计图（条扇折）的基本标准； 直接的数学活动；积累思考的活动经验 渗透数据分析的思想； 养成保存资料的习惯；组织讨论用什么数据来代表全班同学的身高；在数学活动中体会数学思维和数学精神。 情感态度和价值观的提升,例40 袋中装有5个球、4个红球和1个白球。只告诉学生袋中球的颜色为红色和
35、白色，不告诉他们红球数目与白球数目，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例，由此估计袋中红球和白球数目的情况。 先鼓励学生思考，不打开袋子，如何估计其中红球和白球数目的比。然后组织摸球活动，明确规则：有放回、摇匀 设计的数学活动；积累思考的活动经验 渗透随机的思想；数据分析的方法,例42 绘制学校平面图。 按照确定的比例和方位，绘制校园的平面图，包括围墙、主要建筑、主要活动场所、道路等等。 “综合与实践”的活动是积累数学活动经验的重要载体； 理解-位置、方向、比例；掌握-测量的方法 渗透空间观念 ；操作比较复杂，小组合作交流,例44 象征性长跑。 为了迎接奥运会的召
36、开，某小学决定组织“迎接圣火、跑向北京”的象征性长跑活动，学校向同学们征集活动方案，请你参与设计，其中要解决的问题有： （1）调查你所在的学校到北京天安门的距离约有多少千米？（2）如果一个人每天跑一个“马拉松”，要几天能完成这项长跑？（3）如果全班用接力方式开展这项活动，请你设计一个合理的活动方案。（4）全班交流、展出同学们的不同方案，说明各个方案的特点，同学之间评价方案的优缺点，推荐本班的最佳活动方案。 综合与实践的活动； 解决问题的不同策略，优化的思想；生生互评,65,课标在“四基”的表述前用了“获得适应社会生活和进一步发展所必需的”这样一个限制性定语，这样，一方面避免了在“四基”的名义下
37、不适当地扩大教学内容，一方面也强调了学生获得数学“四基”的现实意义和长远意义。其现实意义是学生适应社会生活所必需；其长远意义是学生进一步发展所必需。如果数学课程能够使我们的学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，那么培养全面发展的创新性人才就具备了很好的条件。,66,其他案例,67,被删去的例84 探索数量关系的变化规律 （实施建议之第三学段） 教师可以先给出题目，求 1+3+5+19=？ 教学的目的当然不是希望学生通过加法运算得到结果，而是希望学生通过求解的过程归纳出规律。可以有各种途径引导学生探索规律。 例如，学生可以利用由简单到复杂的策略
38、来探索规律。从题目的最简单的情况开始计算（这里也体现了 问题特殊化 的方法）： 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 1+3+5+7+9=25,68,学生可能会发现上述计算结果均为平方数，甚至可能会发现均为算式中数字个数的平方，于是可以预测 1+3+5+19=102=100 这个时候，学生可能已经知道了一般的计算公式，但是要让全体学生都能够用数学符号把计算公式表达出来还是有一定困难的。可以先引导学生考虑奇数的符号表达，考虑这个表达与题目中数字个数的关系，然后可以得到一般的结论： 1+3+5+7+(2n -1)= n2 这种由最简单情况出发探索规律的方法似乎非常笨拙，但在数学探究中往
39、往是最有效的方法。在教学过程中要让学生关注：分析计算结果的数量关系，寻求规律、提出猜想、符号表达、验证规律。 （这里也体现了 变中有不变 的思想）,69,为了帮助学生思考，教师也可以提供一些工具，比如下面的点阵，启发学生从数与形的联系中发现规律： 图30 可以看到，图30中的折线中得到的就是平方数，引导学生用算式表达出来，然后得到一般的结论。 （此例也体现了 数形结合 的思想 和几何直观 及数学审美 的思想 ）,70,71,“对应”的思想,教小孩识数，教会“一一对应”是关键。“十进制”的产生，也是由于数数时用人的十个手指头与所数若干物体“一一对应”。,72,讨论“个数”时，“一一对应”是关键,
40、一个集合中元素的个数两个集合中元素的个数是否相等 （“点名”数空座； 大足石刻的千手观音有多少只手，贴金箔，1007）推广到无限集合时，仍然用“一一对应”的观点,73,大足石刻千手观音,74,讨论“个数”时，“一一对应”是关键,一个集合中元素的个数两个集合中元素的个数是否相等 （“点名”数空座； 大足石刻的千手观音有多少只手，贴金箔，1007）推广到无限集合时，仍然用“一一对应”的观点,75,抽象的思想,3个苹果+2个苹果=5个苹果3个桔子+2个桔子=5个桔子3条鲤鱼+2条鲤鱼=5条鲤鱼3+2=53个苹果+2个桔子=？,运算概念的建立和运算的背景、含义,“数的运算”非常重要，在小学数学中占了一
41、半以上的内容。加法运算的含义和背景，相对比较容易理解，但是减法、乘法、除法则不然，学生需要较长的时间，较多的情境，获得较丰富的经验后，才能全面理解这些运算的各种含义。例如，减法除了“取走”的意思外，还有“比较”的含义：6个人比4个人多2个人；摄氏6度比摄氏零下4度高10度。例如，乘法除了“相同加数的相加”的意思外（乘整数），还有其他的含义：计算长方形的面积9.2厘米4.3厘米；计算96元打8折后的金额96 0.8（元）等。例如，除法除了“等分”的意思外，还有其他的含义：“比”的含义；“变化率”的含义等。,76,77,希望通过这些例子，达到举一反三的效果。,教学过程中传授或者渗透数学思想应该注意
42、的地方,传授数学思想，与传授数学知识不是分离的，更不是对立的，而是统一的、融合的。数学思想、数学能力、数学素养这些“精髓”都不能脱离知识肉体而存在。它们都不是单独地、空洞地被传授的，而一定是以知识为载体传授的。并且不是在讲授知识时生拉硬扯、牵强附会地传授的，而是融入其中，因势利导、水到渠成地渗透的；也不是摆开架势、长篇大论地传授的，而是潜移默化、画龙点睛地渗透的；更不是浮皮潦草、浅尝辄止地传授的，而是细致贴切、深入浅出地渗透的。,78,三、小学数学若干节课程举例（听课、评课）,顾沛教授 点评数学课现场,80,每一例都是40分钟的一节课因为时间关系，不能介绍该节课的全过程仅点评其中的亮点及可以改
43、进的地方有详有略,81,小学教学（数学版）上发表的文章,82,小学教学（数学版）上发表的文章,83,小学教学（数学版）上发表的文章,84,例1. 9的乘法口诀（二年级）,这本来是一节操作性的课程，但是教师注重了操作性与思维性的结合，在让学生记住口诀的同时也培养了他们的思维品质。同桌讨论5分钟，自己编口诀（已有基础，探究、思考！），然后表述。表述时要求按照这样的句型：6个9是54，乘法口诀是“六九五十四”（设计直达乘法的本质！）。教师发问：这些口诀中哪句比较好记？生答：一九得九；九九八十一（因为简单；西游记故事中九九八十一难）。师：这些口诀中有不好记的吗？生答：八九七十二。教师说：那么，集体读两
44、遍（正反两个方面学习；问话照顾到“情感”！）。多种形式背口诀：个人背；师出卡片齐答背；两个学生一问一答；接力背；男女生分别接力背；（双基-必要的适当重复！） 18-右,编口诀之前，教师以“小熊跳格”的情境做引导,86,学生编口诀之前，教师以“小熊跳格”的情境，引导出“一九得九”和“二九十八”两句口诀，然后发问：为什么第一句要添加一个“得”字？生答：因为积比10小。教师鼓掌并口头肯定。（看来过去就有这样的问题，而学生回答得不太好，这次才值得鼓掌。但是，“积比10小”未必是其本质的原因，“四字顺口，易读易记”可能才是真正的原因。口诀：重要、简短、上口，易记。）教师在有规律地板书所有关于9的个位数乘法后，再让学生背相关口诀，并且问“谁找到了规律？”。生答后师生共同总结出三条规律。（此段启发式探究，效果不错。）其中有一条规律是“按照顺序背口诀时，个位上的数一次比前一次少 1”，然后教师教给学生一个小窍门：伸出双手，弯曲手指；“几九”，乘积得数就是剩下的手指数。（借助工具，借助形象来记忆，值得提倡；但是这里的形象思维本来可以与逻辑思维相辅相成的因为每次加一个9，9比10少1！不但说明了乘积个位上的规律，也说明了乘积十位上的规律。）,
