1、1（20_届）本科毕业设计数学与应用数学一维欧氏空间上HARDYLITTLEWOOD极大函数的一些性质2摘要文章介绍了一维欧氏空间上的HARDYLITTLEWOOD极大函数的一些性质,给出了其在微分中的一些应用，并讨论HARDYLITTLEWOOD极大函数和调和函数非切向收敛的关系关键词HARDYLITTLEWOOD极大函数极大算子VITALI型覆盖LEBESGUE微分定理THEPROPERTIESOFHARDYLITTLEWOODMAXIMALFUNCTIONINONEDIMENSIONALEUCLIDEANSPACEABSTRACTINTHISARTICLE,WEWILLINTRODUCE
2、SOMEPROPERTIESOFHARDYLITTLEWOODMAXIMALFUNCTIONINONEDIMENSIONALEUCLIDEANSPACE,GIVETHEAPPLICATIONSINDIFFERENTIALANDDISCUSSTHERELATIONSHIPBETWEENTHEHARDYLITTLEWOODMAXIMALFUNCTIONANDTHENONTANGENTIALCONVERGENCEOFTHEHARMONICFUNCTIONSKEYWORDSHARDYLITTLEWOODMAXIMALFUNCTIONMAXIMALOPERATORVITALITYPECOVERINGLE
3、BESGUEDIFFERENTIALTHEOREM1引言HARDYLITTLEWOOD极大函数在调和分析的研究中占有及其重要的地位，并且有许多重要的应用。我们知道，实变理论的基本思想是与集合、函数、积分和微分等概念紧密相关的，其中积分的微分理论就是LEBESGUE积分理论的重要课题，HARDYLITTLEWOOD极大函数便是研究这一课题的主要工具。本文介绍了一维欧氏空间上的HARDYLITTLEWOOD极大函数的一些性质,给出了其在微分中的一些应用，并讨论HARDYLITTLEWOOD极大函数和调和函数非切向收敛的关系。2HARDYLITTLEWOOD极大函数的一些性质定义21设1LOCFLR
4、那么F的中心HARDYLITTLEWOOD极大函数MF定义为1,01SUP,BXRRMFXFTDTXBXRR这里,BXR为以X为中心，R为半径的开区间，即,BXR1YXYRR，0,BRBR简记为定义22设1LOCFLR那么F的非中心HARDYLITTLEWOOD极大函数MF定义为11SUP,QXQMFFTDTXQR其中上确界取自1R中一切包含X，边与坐标轴平行的开区间我们给出几个简单的例子例21设1N，0,1FXX，即0,1区间上的特征函数，则31,011,011,1XXFXXXX如果M如果如果例22设1N，1PFXX，1P，则存在常数CP，仅与P有关，使得PFXCFXM命题21HARDYLI
5、TTLEWOOD极大函数定义的等价性设1LOCFLR，那么存在仅与N有关的常数A，B，使得对一切1XR，MFXAMFXAMFXBMFX命题22HARDYLITTLEWOOD极大函数的下半连续性1LOCLR中任意函数F的HARDYLITTLEWOOD极大函数MF在1R中是下半连续的定义23由（121），122及（123）所定义的，作用于1LOCLR上的算子统称为HARDYLITTLEWOOD极大算子，记为M定义24算子T11PQLLRR，1,PQ称为,PQ型算子（或是,PQ有界的），如它满足不等式PQTFCF，其中，常数C与F无关满足上述不等式的最小常数C称为T的,PQ范数，记作,PQT例23设
6、,X，,Y是两个测度空间，,KXY是XY上的可测函数，且存在常数A，B，使得,RXKXYDXA，AEYY，,RYKXYDXB，AEXX，作积分算子T,YTFXKXYFYDY，PFLY，其中1111PRQ，1,PQR，则111QPQPLXLYTFABF证明不妨假定,0KXY，0FY以及Q，我们有4,YKXYFYDY11,PQRRQQYKXYKXYFYDY111,RRPPQYYKXYDYKXYFYDY11PPQYFYDY1111,PPRPQPQLYYBFKXYFYDY对于PLY的模，我们有111,PPQPQRPPQLYLYXYTFBFKXYFYDYDX111PPQPPPQLYLYBFAF111PQ
7、QPLYABF定义25设1,PQ那么映11PL到RR上的可测函数空间的算子T称为弱,PQ型算子（或是弱,PQ有界的），如果I110SUP,1QPXTFXCFQRII,PQTFCFQ上面常数C与F无关把满足上述不等式的最小常数C叫做T的弱,PQ范数，并记作,PQT显然，T为弱,P型算子等价于T为,P型算子另外，由不等式11QQQQXTFXXTFXTFXDXTFRR可知，,PQ型算子必为弱,PQ型的，且,PQPQTT定义26设0TTU是1R中一族非空有界开凸集，并满足ITU关于原点对称，即TTUU；5II若12TT，则1200TTTTUUU且；III对00T，00TTTTUUU则称TU是VITAL
8、I凸集套命题23（HARDYLITTLEWOOD极大算子M的初等性质）AM是,型算子；BM不是1,1型算子定理24VITALI型覆盖定理设1ER，可测又集合BB覆盖了E，且满足SUPDB这里DB为B的直径那么存在互不相交的数列1KKBB，使得5KKEB定理25HARDYLITTLEWOOD极大算子M是弱1,1型算子即存在常数1CC，使得对任意的0及11FLR有11CXMFXFR命题26分布函数的基本性质A对1R上的任意可测函数F，其分布函数FS在0,上是非增的B如FXGXAE1XR，那么FGSS，0SC如120FF，且对1XR，KFXFXK，那么对0S，当K时，KFFSSD如1FLR，那么IN
9、F0FFSSE如11PFLXR，那么10PPFPFPSSDS定理27对1P，HARDYLITTLEWOOD极大算子M是,PP型算子即存在常数,NPCC，使得对任意的1PFLR有,NPPPMFCF定理28（算子族的点态收敛性设0T将是11PLPR映入1R上的可测函数6空间的线性算子族如下定义算子族T的极大算子T对任意的1PHLR及1XR，0SUPTHXTHX如果IT是弱,PQ型算子1,PQ即存在常数0A，使得对任意的0及1PHLR，1QPAXTHXHRII对于1PLR的某稠密子集D中的任一元G，0LIMTGXAE存在且有限，那么对任意的1PFLR，0LIMTFXAE存在且有限证明只需证明，使得当
10、0时，THX的极限不存在及极限为无穷的点X所成之集的测度为零即可设PFLR，对0K，记“2,“,“0,0KFXTFXTFXK对无限多对及1KKFF下面将证明，对任意的0，21QKFAK21这样由的任意性得0KF，并由此推出0F，从而完成定理的证明因D在PLR中稠密，故对上述0，存在GD使得PFG令0LIMGXTGX存在且有限由II知0GR而KKKFFGFGR因此KKKKKFFGFGFGR22故为获得1218，只需说明21QKFGAK即可,记FGH，则“TFXTFXTGXTGXTHXTHX及对任意的XG，“,“0,0LIM0TGXTGX另一方面，令“1,“,“0,0KHXTHXTHXK对无限多对
11、则有下面的事实7KKFGH23这是因为，如记“,“0,01QLIMKXTGXTGXK，那么QKKKFH因此QKKKKKFGGHGHGH故1220成立另一方面由T的定义11221KHXTHXXTHXKK由条件I，T是弱,PQ型算子，因此121KKFGHXTHXK2121QQPAKHAK这样就由22得到21定理29LEBESGUE微分定理设1PFLR，则有如下结论A对AE1XR，101LIM0PTFXTFXDT使上述极限成立的点X的全体称为F积分的可微点集B对AE1XR，101LIM0TRRFXTFXDTR使上述极限成立的点X称为F的LEBESGUE点，其全体称为F的LEBESGUE点集定理210
12、如1PFLR1P，那么对AE1X101LIM0PTFXTFXDT定理211算子族的收敛性设101PTLP是将R映入1R上的可测函数空间的线性算子族如果I对所有的1P，极大算子T是弱,PP型算子；II存在某个Q，1Q，以及1QLR的某稠密子集D，使得对任一GD，0LIMTGXAE存在且有限，那么下面的结论成立8A对1P，T是,PP型算子；B对1P及1PFLR，0LIMTFXAE存在且有限；C对11PPFL及R，0LIM0PTFTF，这里算子族的极限T由B所确定；DT是,PP型1P及弱1,1型的命题212T的等可积性对X上任一可积函数F，有A对TR，TXXFXDXFXDX；B对E，TTEEFXDX
13、FXDX定理213设1,FLX，那么对AEXX，XTFTFX在每个有限区间上关于T是可积函数此外，0RXFXFTDT定理214对GRR及常数0A，记0,AAGTGTT那么对1,0,FLXRSN及，有2NRRXTFXSLFS，其中，1SRRSLGSGTDTR对固定的XX，XSFSFX3HARDYLITTLEWOOD极大函数与微积分基本定理定理31若函数F在,AB上连续，设XAXFTDT，,XAB，则在,AB上可导，且XFX定理32设PFLR，1P，XAXFTDT，则XFX，AE01LIMXHXHFTDTFXH定理32是将定理31中关于R的RIEMANN测度推广到LEBESGUE测度的一种形式定理
14、33设TU为VITALI凸套集，权函数W满足倍增条件1,PFLWDX,1P,则01LIMTTTXUFYWYDYFXWXU关于测度WDX几乎处处成立，其中DX是关于LEDESGUE测度，W满足倍增条件1定义为存在常数0C，使得对一切X及0T，有2TTWXUCWXU，19这里C为常数，在不同地方可以不相同A定理33的证明首先建立引理14设W满足倍增条件1，则极大函数MFX在PLWDX上是弱1,1型的，即RCWXMFXFYWYDY，1FLWDX引理24设W满足倍增条件1，则极大函数MFX在PLWDX上是,PP型的，1P，即PPWLWDXLWDXMFXCFX证明（定理33）先证1P的情形，即让01LI
15、M0TXUTTFYFXWYDYWXUAE这只需证，对0，01LIMTTTXUAXFYFXWYDYWXU，关于测度WDX是零测集对于1FLR，由可积函数分解定理可写FGH，其中G是具有紧支集的连续函数，而1LWDXH可以任意小，即0，1LWDXH，则由G的性质及VITALI凸集族的有界性知01LIM0TTTXUGYGXWYDYWXU，AE从而01LIMTTTXUFYFXWYDYWXU01LIMTTTXUHYHXWYDYWXUMHXHX，故22AXMHXXHX，10从而22WWAWXMHXWXHX，由引理1，可得112LWDXLWDXCCWAHXHX，从而由的任意性，可推得0WA当1P时证明是类似
16、的，只要注意到有引理2可得PWPLWDXCWXMHXHX，证毕B相关的结论定理34设0,TTU为正则VITALI族，且W满足A倍增条件，PFLWDX，1P，则01LIMTTXUTFYWYDYFXWXU关于测度WDX几乎处处成立定理35设0TTU为VITALI准凸集套，W满足A倍增条件，PFLWDX，1P，则01LIMTTTXUFYWYDYFXWXU关于测度WDX几乎处处成立4HARDYLITTLEWOOD极大函数和调和函数的非切向收敛定理41如果,0UXYY是1PFLPR的POISSON积分，则,UXYMFX证明实际上，我们可以证明更一般的结果设1MKKKC，0KC，K是KKBXX上的特征函数
17、，则对0F，有11MKTKFXCFXTDT11MKKTKKCQFXTDTQ111MKKTKMFXCBMFX这个结果很容易推广到任意1LR,其中TT，是非负单调下降函数特别地取21TCT就可以得到定理41定理42如果0F，它的POISSON积分,0UXYY存在，则存在常数A，使得0SUP,MFXAUXY证明固定0，则220SUP,UXYUXRCFXTDTTR11TTACFXTDTACQFXTDTQ从而推知0SUP,UXYAMFX证明只需证明，使得当0时，THX的极限不存在及极限为无穷的点X所成之集的测度为零即可设PFLR，对0K，记“2,“,“0,0KFXTFXTFXK对无限多对及1KKFF下面
18、将证明，对任意的0，21QKFAK1218这样由的任意性得0KF，并由此推出0F，从而完成定理的证明因D在PLR中稠密，故对上述0，存在GD使得PFG令0LIMGXTGX存在且有限由II知0GR而KKKFFGFGR因此KKKKKFFGFGFGR1219故为获得1218，只需说明21QKFGAK即可,记FGH，则“TFXTFXTGXTGXTHXTHX及对任意的12XG，“,“0,0LIM0TGXTGX另一方面，令“1,“,“0,0KHXTHXTHXK对无限多对则有下面的事实KKFGH1220这是因为，如记“,“0,01QLIMKXTGXTGXK，那么QKKKFH因此QKKKKKFGGHGHGH故
19、1220成立另一方面由T的定义11221KHXTHXXTHXKK由条件I，T是弱,PQ型算子，因此121KKFGHXTHXK2121QQPAKHAK这样就由1219得到1218推论43如果PFLR1P，而,0UXYY是F的POISSON积分，则,UXY有非切向极限FX，即对几乎处处的0XR，有00,0LIM,XYXUXYFX，0,XYX其中200,0XXYXXY是任意固定常数R证明首先容易看到，如果CPFLRR，则结论成立其次我们将证明,UXY的非切向极大函数00,SUP,XYXUXUXY被F的HARDYLITTLEWOOD极大函数所控制，且存在与F无关的固定常数A，使得00UXAMFX13由
20、此推知0UX满足弱型不等式再由定理128可直接得到推论3现证明00UXAMFX22,YUXYCFZDZXZYR0022221ZXYZXYYFZDZCFZDZCIIIYXZY显然，0IAMFX，而1022221KKYXXYKYFZDZIICXZY1021212KKZXYKCYYFZDZ2110122KKKCCYYYMFX10012KKCMFXAMFX其中A仅与有关参考文献1兰家诚微积分基本定理与HARDYLITTLEWOOD极大函数J中央民族大学学报（自然科学版）,1996,（02）2朱海静,陈斌HARDYLITTLEWOOD极大函数双权范数积分不等式的研究J黑龙江大学自然科学学报,2007,（
21、04）3王斯雷极大函数的带权不等式J科学通报,1984,（19）4潘文杰,关于凸集族或准凸集族的极大函数的双权模不等式,北京大学学报自然科学版,1988,55135255陈斌基于HARDYLITTLEWOOD极大函数的双权范数积分不等式D哈尔滨工业大学，20066朱海静,陈斌HARDYLITTLEWOOD极大函数双权范数积分不等式的研究J黑龙江大学自然科学学报,2007,（04）7张永胜关于HARDYLITTLEWOOD一个定理的注记J数学研究与评论,1983,（01）148马继钢,邓耀华关于HARDYLITTLEWOOD极大函数的有界性J科学通报,1991,（03）9丁勇现代分析基础M北京北京师范大学出版社，200810周民强调和分析讲义M北京北京大学出版社，1999
