1、1毕业论文开题报告数学与应用数学关于BERNSTEINSIKKEMA算子逼近性质的研究一、选题的意义BERNSTEIN于1912年提出了BERNSTEIN算子，它在逼近论、计算数学以及概率论等相关领域都有着重要的影响，与其有关的研究一直以来从未间断过，其中一个研究分支就是从各个方面对BERNSTEIN算子就行推广，如BERNSTEINSIKKEMA算子，这是由SIKKEMA于1975年首先在UBERDIESCHURERSCHENLINEARENPESITIVENOPERATOREN一文中提出，近几十年来该方面的研究也一直受到众多学者的光顾。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）
2、主要内容1介绍BERNSTEINSIKKEMA算子的相关定义及性质，2BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近问题，3多元BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近性质的研究三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）1听毕业论文指导讲座，广泛查阅资料，确定选题，填写任务书有关事项，明确任务要求；（2011年1月10日2月25日）2撰写开题报告及完成外文翻译；（2011年2月26日3月15日）3撰写论文稿初；（2011年3月15日4月20日）4修改论文、译文，定稿，上交所有相关材料；（2011年4月20日5月2日）5准备毕业论文答辩；（2011年5月2日5月20日）方法1文献资料法利用网络、书籍
3、，杂志等渠道收集与BERNSTEINSIKKEMA的逼近性质相关的信息资料,然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。和老师同学进行讨论，运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。2举例说明法运用典型例子说明BERNSTEINSIKKEMA的逼近性质，将问题说得更具体明白，易于理解。措施2查阅与论题有关的书籍；再则查找相关网页，积累资料。从中心论点出发决定材料的取舍。了解关键论点思想和国内外对有关该课题学术研究的最新动态以及研究中存在的还有待于研究的其他问题。最后综合运用各方面资料完成本论文。四、毕业论文（设计）中文摘要1ABSTRACT11、前言211背景12一些记
4、号与定义2、BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近问题321BERNSTEINSIKKEMA算子本身性质的研究22BERNSTEINSIKKEMA算子逼近性质的研究23BERNSTEINSIKKEMA算子迭代的研究现状3、多元BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近性质的研究931二元BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近性质32多元BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近性质参考文献11致谢词12五、主要参考文献1谢庭藩,周颂平实函数逼近论M杭州杭州大学出版社,19982DITZIANZ,TOTIKV,MODULIOFSMOOTHNESSM,NEWYORKSPRINGVERLAG
5、,1987INDAGMATH,371975,2432533丁春梅,广义BERNSTEIN多项式的若干性质J,海南大学学报自然科学版,212003,3043074郭顺生,BERNSTEINSIKKEMA算子逼近有界函数的点态估计J,科学通报,201986,152115265徐淳宁、何甲兴,关于BERNSTEINSIKKEMA算子的导数逼近J,数学研究与评论,141994,1531546葛金辉,关于SIKKEMABERNSTEIN多项式导数的迭代极限J,太原理工大学学报,362005,3783807李松,BERNSTEINSIKKEMA算子的正逆定理J,应用数学学报,191996,1441488王
6、国明,SIKKEMABERNSTEI算子对只有第一类间断点的有界函数的逼近J,河北大学学报,11997,717439熊庆良、曹飞龙,BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近J,数学研究与评论,191999,26126510刘丽霞、郭顺生、刘秋菊,BERNSTEINSIKKEMA算子的点态逼近J,四川大学学报,412006,45846111李翠香、刘雅娜,BERNSTEINSIKKEMA算子及其导数的逼近性质J,河北师大学学报,302006,24925212田均、陈洪昭,多元BERNSTEINSIKKEMA多项式对无界函数的逼近J,河南科学,131995,11511913李松,多元BERNST
7、EINSIKKEMA算子的逼近性质J,应用数学学报,201997,476014DITZIANZ,TOTIKVMODULIOFSMOOTHNESSMNEWYORKSPRINGERVERLAG,198715郭顺生，刘丽霞，刘喜武POINTWISEESTIMATEFORMODIFIEDBERNSTEINOPERATORSJSTUDIASCIMATHHUNGARICAL,2001,37698116PCSIKKEMAUBERDIESCHURERSCHENLINEARENPESITIVENOPERATORENJ,INDAYMATH,1975,372432534毕业论文文献综述数学与应用数学关于BERNST
8、EINSIKKEMA算子逼近性质的研究一、国内外研究现状BERNSTEIN于1912年提出了BERNSTEIN算子，它在逼近论、计算数学以及概率论等相关领域都有着重要的影响，与其有关的研究一直以来从未间断过，其中一个研究分支就是从各个方面对BERNSTEIN算子就行推广，如BERNSTEINSIKKEMA算子，这是由SIKKEMA于1975年首先在UBERDIESCHURERSCHENLINEARENPESITIVENOPERATOREN一文中提出，近几十年来该方面的研究也一直受到众多学者的光顾。熟知，对于0,1FC，其对应的BERNSTEIN算子为0,NNNKKKBFXPXFNNN其中1,0
9、,1KNKNKNPXXXXK骣桫PCSIKKEMAX修改BERNSTEIN算子为如下的BERNSTEINSIKKEMA算子0,1NKNKNKNKLFXXXFKNNA骣轾犏犏桫臌并讨论了他的一些逼近性质。对K维单纯形上的BERNSTEINSIKKEMA算子，应用“扩张乘数法”研究了无界函数的逼近定理，之后，又对0,1上只有第一类间断点的函数用BERNSTEINSIKKEMA算子逼近，得到了逼近定理。李松研究并证明了该算子逼近的正逆定理的基础上，熊庆良利用光滑模和K泛函改进了李松的结论并巧妙的给出了强型正定理。DITZIAN研究了BERNSTEIN算子,0,1,0,1NKNKNNKNKKNKBFX
10、PXFPXXXFCKN骣轾臌桫得出如下正结果1212,0,1NBFXFXCFNXXILJWLJ5其中220011,SUPHHTXXXFXFXLJLJWLJ时有61311241,0021,1,300112NNXXXXXLFXFXFXXXGTNXXNMGMMDTNNTFEMFXFXNXXNXXWAWP、其中01MAXXFFX0,10,0,0XFTFXXTGTTXFTFXTX。2PLP空间的K泛函定义为2,INF,0PPPGCKFTFGTGTP。定义121，BERNSTEIN算子定义对于自然数N，称0,NNNKKKBFXPXFNNN为BERNSTEIN算子，其中1,0,1,0,1KNKNKNPXXX
11、XFCK骣挝桫。PCSIKKEMA修改BERNSTEIN算子为如下的BERNSTEINSIKKEMA算子定义122，对于自然数N，称0,1NKNKNKNKLFXXXFKNNA骣轾犏犏桫臌为BERNSTEINSIKKEMA算子。我们研究BERNSTEINSIKKEMA算子本身的性质142BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近问题21BERNSTEINSIKKEMA算子性质的研究2211原函数保持性质1凸凹性如果F是定义在0,1上的连续凸函数，则BERNSTEINSIKKEMA算子,NLFX在0,1上也是连续凸函数；同样的，如果F是定义在0,1上的连续凹函数，那么BERNSTEINSIKKEM
12、A算子,NLFX在0,1上也是连续凹函数。2单调性若F是定义在0,1上的单调增（或减）函数，则BERNSTEINSIKKEMA算子,NLFX在0,1上也是关于X的单调增（或减）函数。利用BERNSTEIN算子的保凸性，得到下面的性质3保LIPSCHITZ性若F是定义在0,1上的01LIPSCHITZAA并且LIM0NNL，以及对于01S骣桫邋181244,2100212NNXFNXAPXFFXFXENNXXNAP得到一个逼近定理定理5设FT是定义在0,1上，只有第一类间断点的有界函数，则对任意的0,1X，当11NXX时有1311241,0021,1,300112NNXXXXXLFXFXFXXX
13、GTNXXNMGMMDTNNTFEMFXFXNXXNXXWAWP其中01MAXXFFX。0,10,0,0XFTFXXTGTTXFTFXTX然后再引入S上的K泛函,KFT222222,INF11CSGCSCSCSCSCSCSGGGKFTFGTXXYXYXGGGYXYXYYXY抖抖骣抖抖桫据此，我们得到多元BERNSTEINSIKKEMA算子的一个逼近阶（1）若,PQPQFXYCSXY抖则,11212,MAX,MAX,PQPQNPQPQXYSPQPQPQPQXYSLFXYFXYXYXYMFNMNFXYXYXYW抖抖抖骣抖桫其中,FTW是连续模21,MM是仅依赖于,PQ的正数。并且由此得到多元BER
14、NSTEINSIKKEMA算子导数的收敛性质（2）若,PQPQFXYCSXY抖则,PQNPQLFXYXY抖在CS一致收敛于PQPQFXY抖22然后我们得到一个高阶渐进展开式（3）设,FXYCS若F在点,XY处有2R阶连续的偏导数，则有2,11,NIRIIJJNNIJJRIJSXYLFXYFXYFXYIJJXYNE抖邋其中,0,NPQPQNSXYLXYXYNPQ壮而0NNE。（4）设,FXYCS则1,NCSKFTLFFMTNKFN其中C不依赖F以及N。（5）若01,A则22NCSNCSEFONLFFONAA。另外，我们得到BESOV空间的几个等价关系（6）若01,1,QA则下列范数等价1）21Q
15、NCSLNEFA；2）1QNCSCSLNLFFFA；3）1122220,1,SUP,QQCSCSTDTTKFTFQTKFTFQTAA禳镲镲睚镲镲铪；其中0CSCSEFF。（7）若01,A则2222,NCSNNCSCSKFTOTEFONLFFONLFFAAA然后，我们讨论单形上的BERNSTEINSIKKEMA算子对无界函数的逼近8首先我们引入M维空间的第一“卦限”ME的定义12,|01,2,MMIEXXXXIM对于MXE,我们令1221KIIXX23以及界限函数XW的定义1,LIMXXXW砏用CW表示满足下列条件的连续函数所成的类1在ME中每个有界闭球锥上FX有界；2当X时，FX满足界限条件F
16、XOXW然后给出如下结论定理6设0,LIM,MXTXTXXE又设存在数列LIMNNA及LIMNNB满足（1）LIM0NNNAB；（2）2LIM0NNNNNAABW。其中EXP,XTXW则对任何,FXC蜽均有1LIMNNNNLFTXFXAA，且在ME中的任意有界子集上收敛是一致的。定理7设01,Q则对任意的EXP,MFXCXXE挝均有LIMNNLFNTNXFXQQ，且在ME中的任意有界子集上收敛是一致的。引入记号2LNLNLN,NN1LNLNLN,LLNNEXP,XXE1EXPEXPEXPLLXX定理8对于EXP,MFXCXXE“挝，我们有221LIMLNLNNNLFNTXFXN24且在ME中的
17、任意有界子集上收敛是一致的。定理9对于EXP,LMFXCXXE“挝，我们有111LIMLNLNLNLNLFNTXFXN且此极限式在ME的任一有界子集上一致成立。参考文献1PCSIKKEMAUBERDIESCHURERSCHENLINEARENPESITIVENOPERATORENJ,INDAYMATH,1975,372432532丁春梅,广义BERNSTEIN多项式的若干性质J,海南大学学报自然科学版,212003,3043073李松,BERNSTEINSIKKEMA算子的正逆定理J,应用数学学报,191996,1441484熊庆良,曹飞龙,BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近J,数学研
18、究与评论,191999,2612655李翠香,刘雅娜,BERNSTEINSIKKEMA算子及其导数的逼近性质J,河北师大学学报,302006,2492526王国明,SIKKEMABERNSTEI算子对只有第一类间断点的有界函数的逼近J,河北大学学报,11997,71747葛金辉,关于SIKKEMABERNSTEIN多项式导数的迭代极限J,太原理工大学学报,362005,3783808李松,多元BERNSTEINSIKKEMA算子的逼近性质J,应用数学学报,201997,47609田均、陈洪昭,多元BERNSTEINSIKKEMA多项式对无界函数的逼近J,河南科学,131995,11511910
19、刘丽霞,郭顺生,刘秋菊,BERNSTEINSIKKEMA算子的点态逼近J,四川大学学报,412006,45846111DITZIANZ,TOTIKV,MODULIOFSMOOTHNESSM,NEWYORKSPRINGVERLAG,1987INDAGMATH,371975,24325312郭顺生,BERNSTEINSIKKEMA算子逼近有界函数的点态估计J,科学通报,201986,1521152613徐淳宁,何甲兴,关于BERNSTEINSIKKEMA算子的导数逼近J,数学研究与评论,141994,15315414DITZIANZ,TOTIKVMODULIOFSMOOTHNESSMNEWYORK
20、SPRINGERVERLAG,198715郭顺生,刘丽霞,刘喜武POINTWISEESTIMATEFORMODIFIEDBERNSTEINOPERATORSJSTUDIASCIMATHHUNGARICAL,2001,37698116谢庭藩,周颂平实函数逼近论M杭州杭州大学出版社,199825THEAPPOROXIMATIONPROPERTIESFORBERNSTEINSIKKEMAOPERATORS【ABSTRACT】THISPRESENTTHESISDEALSWITHBERNSTEINSIKKEMAOPERATORBERNSTEINSIKKEMAOPERATORWASINTRODUCEDFI
21、RSTBYSIKKEMAIN16,1975ITISAKINDOFGENERALIZATIONOFTHECLASSICALBERNSTEINOPERATORFORTHEPASTFEWYEARS,NUMEROUSOFSCHOLARSRESEARCHEDITWIDELYANDGETLOTSOFSIGNIFICATIVERESULTSINTHEFIRSTSEERTION,THEBACKGROUNDOFBERNSTEINSIKKEMAOPERATORISGIREN,TOGETHERWITHTHENECESSARYDECLARATIONSOFTHEDEFINITIONSINTHESECONDSECTION
22、,WERESEARCHTHEPROPERTIESFORBERNSTEINSIKKEMAOPERATORBYUSINGMODULUSOFSMOOTHNESS,KFUNCTIONAL,WEDISCUSSTHEPROPERTIESFORBERNSTEINSIKKEMAOPERATORANDITSDIFFERENTIALCOEFFICIENTINTHETHIRDSECTIONWEGETTHEPROPERTIESFORMULTIDIMENSIONALBERNSTEINSIKKEMAOPERATOR【KEYWORDS】BERNSTEINSIKKEMAOPERATORAPPOROXIMATIONKFUNCTIONALDIFFERENTIALCOEFFICENT
